第二十讲　矩形、菱形、正方形 2025年九年级中考数学人教版一轮复习专题练习（广西专版）

第二十讲　矩形、菱形、正方形 A层·基础过关 1.在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是( ) A.AB∥CD　 B.AD=BC C.∠A=∠B　 D.∠A=∠D 2.如图所示,在矩形ABCD中,AB>AD,AC与BD相交于点O,下列说法正确的是( ) A.点O为矩形ABCD的对称中心 B.点O为线段AB的对称中心 C.直线BD为矩形ABCD的对称轴 D.直线AC为线段BD的对称轴 3.如图,菱形ABCD中,连接AC,BD,若∠1=20°,则∠2的度数为( ) A.20°　 B.60°　 C.70°　 D.80° 4.(2024·成都)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是( ) A.AB=AD　 B.AC⊥BD C.AC=BD　 D.∠ACB=∠ACD 5.如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°,则AC的长为( ) A.　 B.1　 C.　 D. 6.(2024·上海)在菱形ABCD中,∠ABC=66°,则∠BAC= °.  7.(2024·龙东)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件 ,使得菱形ABCD为正方形.  8.(2024·遂宁)康康在学习了矩形定义及判定定理1后,继续探究其他判定定理. (1)实践与操作 ①任意作两条相交的直线,交点记为O; ②以点O为圆心,适当长为半径画弧,在两条直线上分别截取相等的四条线段OA,OB,OC,OD; ③顺次连接所得的四点得到四边形ABCD. 于是可以直接判定四边形ABCD是平行四边形,则该判定定理是: .  (2)猜想与证明 通过和同伴交流,他们一致认为四边形ABCD是矩形,于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法:对角线相等的平行四边形是矩形.并写出了以下已知、求证,请你完成证明过程. 已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,AC=BD. 求证:四边形ABCD是矩形. B层·能力提升 9.(2024·泸州)如图,在边长为6的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC上的动点,且满足AE=BF,AF与DE交于点O,点M是DF的中点,G是边AB上的点,AG=2GB,则OM+FG的最小值是( ) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.4　 B.5　 C.8　 D.10 10.(2024·贵州)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别是BC,CD的中点,连接AE,AF.若sin∠EAF=,AE=5,则AB的长为 .  11.(2024·天津)如图,正方形ABCD的边长为3,对角线AC,BD相交于点O,点E在CA的延长线上,OE=5,连接DE. (1)线段AE的长为 ;  (2)若F为DE的中点,则线段AF的长为 .  C层·挑战冲A+ 12.(2024·济宁)综合与实践 某校数学课外活动小组用一张矩形纸片(如图1,矩形ABCD中,AB>AD且AB足够长)进行探究活动. 【动手操作】 如图2,第一步,沿点A所在直线折叠,使点D落在AB上的点E处,折痕为AF,连接EF,把纸片展平. 第二步,把四边形AEFD折叠,使点A与点E重合,点D与点F重合,折痕为GH,再把纸片展平. 第三步,连接GF. 【探究发现】 根据以上操作,甲、乙两同学分别写出了一个结论. 甲同学的结论:四边形AEFD是正方形. 乙同学的结论:tan∠AFG=. (1)请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确.若正确,写出证明过程;若不正确,请说明理由. 【继续探究】 在上面操作的基础上,丙同学继续操作. 如图3,第四步,沿点G所在直线折叠,使点F落在AB上的点M处,折痕为GP,连接PM,把纸片展平. 第五步,连接FM交GP于点N. 根据以上操作,丁同学写出了一个正确结论: FN·AM=GN·AD. (2)请证明这个结论. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十讲　矩形、菱形、正方形 A层·基础过关 1.在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是(C) A.AB∥CD　 B.AD=BC C.∠A=∠B　 D.∠A=∠D 2.如图所示,在矩形ABCD中,AB>AD,AC与BD相交于点O,下列说法正确的是(A) A.点O为矩形ABCD的对称中心 B.点O为线段AB的对称中心 C.直线BD为矩形ABCD的对称轴 D.直线AC为线段BD的对称轴 3.如图,菱形ABCD中,连接AC,BD,若∠1=20°,则∠2的度数为(C) A.20°　 B.60°　 C.70°　 D.80° 4.(2024·成都)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是(C) A.AB=AD　 B.AC⊥BD C.AC=BD　 D.∠ACB=∠ACD 5.如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°,则AC的长为(D) A.　 B.1　 C.　 D. 6.(2024·上海)在菱形ABCD中,∠ABC=66°,则∠BAC=　57　°.  7.(2024·龙东)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件　AC=BD(答案不唯一)　,使得菱形ABCD为正方形.  8.(2024·遂宁)康康在学习了矩形定义及判定定理1后,继续探究其他判定定理. (1)实践与操作 ①任意作两条相交的直线,交点记为O; ②以点O为圆心,适当长为半径画弧,在两条直线上分别截取相等的四条线段OA,OB,OC,OD; ③顺次连接所得的四点得到四边形ABCD. 于是可以直接判定四边形ABCD是平行四边形,则该判定定理是:　　　　　　.  【解析】(1)∵OA=OC,OB=OD, ∴四边形ABCD的对角线互相平分, ∴四边形ABCD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形). 答案:对角线互相平分的四边形是平行四边形 (2)猜想与证明 通过和同伴交流,他们一致认为四边形ABCD是矩形,于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法:对角线相等的平行四边形是矩形.并写出了以下已知、求证,请你完成证明过程. 已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,AC=BD. 求证:四边形ABCD是矩形. 【解析】(2)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC, ∴在△BAD和△ABC中,, ∴△BAD≌△ABC(SSS), ∴∠BAD=∠ABC, ∵AD∥BC, ∴∠BAD+∠ABC=180°, ∴∠BAD=∠ABC=90°, ∴四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形). B层·能力提升 9.(2024·泸州)如图,在边长为6的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC上的动点,且满足AE=BF,AF与DE交于点O,点M是DF的中点,G是边AB上的点,AG=2GB,则OM+FG的最小值是(B) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.4　 B.5　 C.8　 D.10 10.(2024·贵州)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别是BC,CD的中点,连接AE,AF.若sin∠EAF=,AE=5,则AB的长为 　.  11.(2024·天津)如图,正方形ABCD的边长为3,对角线AC,BD相交于点O,点E在CA的延长线上,OE=5,连接DE. (1)线段AE的长为　2　;  (2)若F为DE的中点,则线段AF的长为 　.  C层·挑战冲A+ 12.(2024·济宁)综合与实践 某校数学课外活动小组用一张矩形纸片(如图1,矩形ABCD中,AB>AD且AB足够长)进行探究活动. 【动手操作】 如图2,第一步,沿点A所在直线折叠,使点D落在AB上的点E处,折痕为AF,连接EF,把纸片展平. 第二步,把四边形AEFD折叠,使点A与点E重合,点D与点F重合,折痕为GH,再把纸片展平. 第三步,连接GF. 【探究发现】 根据以上操作,甲、乙两同学分别写出了一个结论. 甲同学的结论:四边形AEFD是正方形. 乙同学的结论:tan∠AFG=. (1)请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确.若正确,写出证明过程;若不正确,请说明理由. 【继续探究】 在上面操作的基础上,丙同学继续操作. 如图3,第四步,沿点G所在直线折叠,使点F落在AB上的点M处,折痕为GP,连接PM,把纸片展平. 第五步,连接FM交GP于点N. 根据以上操作,丁同学写出了一个正确结论: FN·AM=GN·AD. (2)请证明这个结论. 【解析】(1)甲同学和乙同学的结论都正确,证明如下, ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠D=∠BAD=90°, ∵折叠,∴∠D=∠AEF=90°=∠DAE,AD=AE,∴四边形AEFD是正方形; 故甲同学的结论正确. 过点G作GK⊥AF于点K, 设AE=2x,则AG=EG=x, ∵四边形AEFD是正方形, ∴∠EAF=45°, ∴AF=2x,AK=KG=AG=x, ∴KF=AF-AK=x, ∴tan∠AFG==; 故乙同学的结论也正确. (2)方法一:过点G作GQ⊥PM,交PM的延长线于点Q, ∵折叠, ∴FP=PM,FG=GM,GH=GQ,∠FPG=∠MPG,PH=PQ, ∵AB∥CD,∴∠FPG=∠PGM, ∴∠PGM=∠MPG, ∴PM=GM, ∴PF=GM=PM=FG, ∴四边形FGMP是菱形, ∴∠FNG=90°, ∵∠GQP=90°=∠FNG,∠FGN=∠GPQ, ∴△GFN∽△PGQ, ∴=, ∴FN·PQ=GN·GQ, ∵AM=AG+GM=HF+FP=PH, ∴AM=PQ, ∵GQ=GH=AD, ∴FN·AM=GN·AD. 方法二:连接DM,证△ADM∽△NFG也可. 学科网（北京）股份有限公司 $$