2025年四川省聚焦九年级中考数学·必备考点透析课件-第3章　函数的图象与性质 3.3　反比例函数

聚焦新中考·必备考点透析 第三章　函数的图象与性质 3.3　反比例函数 数 学 2025 目录 1 紧贴课标·考点过关 聚焦题型·重难突破 2 四川中考真题精练 3 　紧贴课标·考点过关　 1. 反比例函数的定义 一般地，形如① （k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数，其 中x是自变量，y是x的函数. 易错提示：反比例函数的自变量x的取值范围是x≠0. y＝ 　 返回目录 2. 反比例函数的等价表述 反比例函数的等价形式： （1）y是x的反比例函数. （2）y＝ （k≠0）. （3）y＝kx－1（k≠0）. （4）xy＝k（k≠0）. （5）变量y与x成反比例，比例系数为k. 返回目录 1. 反比例函数y＝ 的图象与性质 k＞0 k＜0 图象 图象 特征 图象无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交 返回目录 k＞0 k＜0 所在 象限 分布在第一、第三象限 分布在第二、第四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而② ⁠ 在每个象限内，y随x的增大而 ③ ⁠ 对称性 （1）关于直线y＝x或y＝－x成轴对称 （2）关于原点成中心对称 减小　 增大　 返回目录 2. 反比例函数y＝ （k 0）中系数k的几何意义如右图，设P（x，y）是 反比例函数y＝ 的图象上的任意一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线 PA、PB，所得矩形PAOB的面积S＝ · ＝ ＝④ ⁠. ｜k｜　 返回目录 常 见 的 三 种 面 积 类 型 S矩形ONPM＝PN·PM＝｜x｜·｜y｜＝｜xy｜＝｜k｜ S△OAP＝ OA·PA＝ ｜x｜·｜y｜＝ S△APP'＝ PA·P'A＝ ×2｜y｜·2｜x｜＝2｜xy｜＝2｜ k｜（点P'为点P关于原点的对称点） 返回目录 待定系数法 （1）设所求反比例函数解析式为y＝ （k≠0） （2）找出图象上一点P（a，b） （3）将点P的坐标代入，得k＝⑤ ⁠ （4）确定反比例函数的解析式y＝ 利用k的 几何意义 利用图形面积求得 ，再结合函数图象所在象限判断k的符号， 确定k值，最后将k值代入解析式 ab　 返回目录 1. 求反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标 步骤 具体操作 联立解析式 联立一次函数与反比例函数的解析式，得到一个二元方程组 代入消元 用代入法消元，得到一个分式方程 化为一元 二次方程 把分式方程转化成一元二次方程（由于反比例函数中 x≠0，分式方程化为整式方程时一般不会产生增根） 解一元二 次方程 如果一元二次方程的Δ＜0，那么一次函数图象与反比例函 数图象无交点；否则，求出一元二次方程的根 返回目录 步骤 具体操作 解方程组得 交点坐标 将一元二次方程的根代入一次（或反比例）函数的解析 式，求出二元方程组的两组解，将解写成点的形式 作答 综述作答 返回目录 方法点拨：解与交点个数相关问题的关键是联立方程组后变形成一元二 次方程，并根据交点个数由根的判别式解题. 返回目录 2. 判断同一坐标系中反比例函数与一次函数图象的方法 根据一次函数的图象确定k、b的正负，再将其代入反比例函数中，观察 图中反比例函数图象是否符合. 3. 求相交的反比例函数与一次函数图象所对应的函数解析式 （1）一般地，只需给出反比例函数图象与一次函数图象的一个交点的坐 标和另一个交点的一个坐标（横坐标或纵坐标），就可以求出两个函数 的解析式. （2）一般步骤如下： 返回目录 Ⅰ.设反比例函数和一次函数的解析式. Ⅱ.将已知点的坐标代入反比例函数的解析式，求出反比例函数的待定系 数，得出反比例函数的解析式. Ⅲ.将另一个交点的已知坐标代入反比例函数的解析式，求出它的完 整坐标. Ⅳ.根据两个点的坐标列出方程组，解出一次函数中的待定系数，求得一 次函数的解析式. Ⅴ.根据要求的内容，综述作答. 返回目录 4. 利用数形结合思想解分式不等式 利用函数的图象确定关于x的不等式ax＋b＞ 或ax＋b＜ 解集的一般 步骤： （1）求出函数图象的交点坐标. （2）过两函数图象的交点分别作y轴的平行线，连同y轴将平面分为四部 分（如下图），即Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ. 返回目录 （3）根据函数图象上方的值总比函数图象下方的值大，在各区域内找相 应的x的取值范围. 如下图，Ⅰ、Ⅲ区域内： ＞ax＋b，自变量取值范围为x＜xB或0＜x＜ xA；Ⅱ、Ⅳ区域内：ax＋b＞ ，自变量取值范围为xB＜x＜0或x＞xA. 返回目录 易错提示：在根据函数图象找解集时，要注意端点值的取舍. 返回目录 5. 相关面积的计算 基本图形 图形割补 面积公式 S△ACB＝S△OCA＋S△OCB 返回目录 5. 相关面积的计算 基本图形 图形割补 面积公式 S△AOB＝S△OCA＋S△OCB S△AOB＝S△ODA＋S△ODB S△PAO＝S△POB－S△OAB 返回目录 解反比例函数的应用题和解一次函数应用题的步骤类似，但解反比例函 数应用题有以下事项需要注意： （1）反比例函数关系在现实世界中普遍存在，在运用反比例函数知识解 决实际问题时，要注意理清变量间的关系，找准等量关系. （2）若问题中没有明确给出严格的变量关系，则需要从一系列数据中概 括近似满足的函数关系. （3）列出函数解析式后，要注意自变量的取值范围. （4）要注意和一次函数拼接成的分段函数的情况. 返回目录 　聚焦题型·重难突破　 　（广西中考）已知反比例函数y＝ （b≠0）的图象如右图所 示，则一次函数y＝cx－a（c≠0）和二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）在 同一平面直角坐标系中的图象可能是（） 返回目录 分析：∵反比例函数y＝ （b≠0）的图象位于第一、第三象限， ∴b＞0.∵选项A、B中抛物线都是开口向下，∴a＜0，根据同左异右， 对称轴应该在y轴的右侧，故选项A、B都是错误的.∵选项C、D中抛 物线都是开口向上，∴a＞0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的左 侧.∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0.由a＞0，c＜0，排除选项C. 答案：D 返回目录 解题技巧：此题考查了一次函数、二次函数及反比例函数的图象和 性质.掌握函数的图象和性质是解题的关键. 返回目录 　（2024·广安中考）如下图，一次函数y＝ax＋b（a、b为常数， a≠0）的图象与反比例函数y＝ （k为常数，k≠0）的图象交于A（2， 4）、B（n，－2）两点. 例2 （1）求一次函数和反比例函数的解析式. （2）直线AB与x轴交于点C，P是x轴上的点.若△PAC的面积大于12，请 直接写出m的取值范围. 返回目录 分析：（1）待定系数法求出两个函数解析式即可. （2）先求出点C的坐标表示出线段PC长，设点P的坐标为 （m，0），根据面积大于12列出不等式，解不等式即可. 解答：（1）把点A（2，4）代入 y＝ ，得 k＝8，∴反比例函数的 解析式为 y＝ . 把点B（n，－2）代入 y＝ ，得n＝－4.即B（－4，－2）. ∵点A（2，4）、B（－4，－2）在一次函数 y＝ax＋b 的图象上， 返回目录 ∴解得 ∴一次函数的解析式为 y＝x＋2. （2）在函数y＝x＋2中，当y＝0时，x＝－2，∴C（－2，0）. 设P（m，0），则PC＝｜m＋2｜. ∵S△PAC＝ ×｜m＋2｜×4＞12， ∴｜m＋2｜＞6， 解得m＞4或m＜－8. 返回目录 解题技巧：本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求 一次函数解析式、反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌 握待定系数法，能求出一次函数和反比例函数的交点坐标. 返回目录 　（2022·雅安中考）如后图，在平面直角坐标系中，等腰 Rt△ABO的直角顶点A的坐标为（m，2），点B在x轴上，将△ABO向右 平移得到△DEF，使点D恰好在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上. （1）求m的值和点D的坐标. （2）求DF所在直线的解析式. （3）若该反比例函数图象与直线DF的另一交点为点G，求S△EFG. 例3 返回目录 分析：（1）根据平移的特点和反比例函数的性质解答即可. （2）利用等腰直角三角形的性质求出点D、F的坐标，再利用待定 系数法解答即可. （3）联立两个函数解析式，求得点G的坐标，根据三角形的面积公 式解答即可. 返回目录 解答：（1）如下图，过点A作AH⊥BO于点H. ∵△ABO是等腰直角 三角形，A（m，2），∴OH＝AH＝2，∴m＝2.由平移可得点D和点A 的纵坐标相同，设D（n，2）.∵点D在反比例函数y＝ 的图象上，∴n ＝4，∴点D的坐标是（4，2）. 返回目录 （2）如下图，过点D作DM⊥EF于点M. ∵△DEF是等腰直角三角 形，∴∠DFM＝45°，∴DM＝MF＝2.由D（4，2）得F（6，0）.设直 线DF的解析式为y＝kx＋b.将D（4，2）和F（6，0）代入，得 解得∴DF所在直线的解析式为y＝－x＋6. 返回目录 （3）延长FD交y＝ 的图象于点G. 联立解得∴G（2，4）.由（1），得 EF＝OB＝2OH＝4，∴S△EFG＝ EF·Gy＝ ×4×4＝8. 返回目录 　通过实验研究发现：初中生在数学课上听课 时的注意力指标随上课时间的变化而变化.上课开始时，学生兴趣激增， 中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散.学生注意力指 标y随时间x（分钟）变化的函数图象如下图所示，当0≤x＜10和10≤x＜ 20时，图象是线段；当20≤x≤45时，图象是反比例函数的一部分. 返回目录 （1）求点A对应的指标值. （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经 过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于 36？请说明理由. 返回目录 分析：（1）设反比例函数的解析式为y＝ ，由C（20，45）求出k的值，可得点D的坐标，从而求出点A对应的指标值. 分析：（2）求出直线AB的解析式，得到y≥36时，x≥ ，由反比例函数y＝ 可得y≥36时，x≤25，根据25－ ＝ ＞17，即可 得到答案. 返回目录 解答：（1）设当20≤x≤45时，反比例函数的解析式为y＝ .将C （20，45）代入，得45＝ ，解得k＝900.∴反比例函数的解析式为y＝ .当x＝45时，y＝20，∴D（45，20），∴A（0，20），即点A对应的 指标值为20. 返回目录 （2）设当0≤x＜10时，直线AB的解析式为y＝mx＋n.将A （0，20）、B（10，45）代入，得解得∴直线AB的解析式为y＝ x＋20.当y≥36时， x＋20≥36，解得x≥ .由（1）知反比例函数的解析式为y＝ ，当y≥36时， ≥36，解得x≤25， ∴ ≤x≤25时，注意力指标都不低于36，且25－ ＝ ＞17，∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低 于36. 返回目录 解题技巧：解题的关键是求出0≤x＜10和20≤x≤45时分别所对应的 函数解析式. 返回目录 　四川中考真题精练　 1. 在反比例函数y＝ （k为常数）上有A（x1， y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）三点，若x1＜0＜x2＜x3，则y1、y2、y3 的大小关系为（　C　） A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y1＜y3＜y2 D. y3＜y2＜y1 C 返回目录 2. （2023·甘孜中考）若反比例函数y＝ （k≠0）的图象位于第一、第三 象限，则k的取值范围是 ⁠. k＞0　 返回目录 3. （2024·遂宁中考）反比例函数y＝ 的图象在第一、第三象限，则点 （k，－3）在第 象限. 4. （2023·乐山中考）定义：若x、y满足x2＝4y＋t，y2＝4x＋t且x≠y（t 为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”. （1）若P（3，m）是“和谐点”，则m＝ ⁠. （2）若双曲线y＝ （－3＜x＜－1）存在“和谐点”，则k的取值范围 为 ⁠. 四　 －7　 3＜k＜4　 返回目录 5. （2023·宜宾中考）如下图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在y 轴、x轴上，BC⊥x轴，点M、N分别在线段BC、AC上，BM＝CM，NC ＝2AN，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过M、N两点，P为x轴正半轴 上一点，且OP∶BP＝1∶4，△APN的面积为3，则k的值为（　B　） A. B. C. D. B 返回目录 6. （2023·攀枝花中考）如上图，在Rt△ABO中，AO＝ ，AB＝1，将 △ABO绕点O顺时针旋转105°至△A'B'O的位置，E是OB'的中点，且点E 在反比例函数y＝ 的图象上，则k的值为 　 　. 第6题 　 返回目录 7. 如下图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D 在y＝ （k＞0）上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E. 若S△ABE＝ ，则k＝ ⁠. 第7题 3　 返回目录 8. （2023·内江中考）如下图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， MN垂直于x轴，以MN为对称轴作△ODE的轴对称图形，对称轴MN与线 段DE相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数y＝ （x＜0）的图 象上，点O、E的对应点分别是点C、A. 若A为OE的中点，且S△EAF＝ ， 则k的值为 ⁠. －6　 第8题 返回目录 （一）反比例函数与一次函数的综合 9. （2024·泸州中考）已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋1－k＝0无实数 根，则函数y＝kx与函数y＝ 的图象交点个数为（　A　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 A 返回目录 10. （2022·德阳中考）一次函数y＝ax＋1与反比例函数y＝－ 在同一 平面直角坐标系中的大致图象是（　B　） B 返回目录 11. （2023·内蒙古中考）如下图，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶 点的坐标分别为O（0，0），A（2 ，0），B（ ，1），△OA'B与 △OAB关于直线OB对称，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象与 A'B交于点C. 若A'C＝BC，则k的值为（　A　） A. 2 B. C. D. 第11题 A 返回目录 12. （2023·达州中考）如上图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝ 的图象 相交于A、B两点，以AB为边作等边△ABC. 若反比例函数y＝ 的图象过 点C，则k的值为 ⁠. 第12题 －6　 返回目录 13. （2024·凉山中考）如下图，正比例函数y1＝ x与反比例函数y2＝ （x＞0）的图象交于点A（m，2）. 第13题 返回目录 （1）求反比例函数的解析式. 解：（1）∵点A（m，2）在正比例函数图象上，∴2＝ m，解得m＝ 4，∴A（4，2）.∵点A（4，2）在反比例函数图象上，∴k＝8，∴反比 例函数的解析式为y2＝ . 第13题 返回目录 （2）把直线y1＝ x向上平移3个单位长度与y2＝ （x＞0）的图象交于点 B，连接AB、OB，求△AOB的面积. 第13题 返回目录 （2）把直线y1＝ x向上平移3个单位长度得到的直线的解析式为y＝ x＋3.如图，设直线与y轴的交点为点D，则D（0，3），连接AD. ∴S△AOB＝S△AOD＝ ×3×4＝6. 答案图 返回目录 14. （2024·雅安中考）如下图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l 与反比例函数y＝ 的图象交于M 、N（n，1）两点. 第14题 返回目录 （1）求反比例函数及一次函数的解析式. 第14题 返回目录 解：（1）∵点M 在反比例函数y＝ 图象上，∴k＝ ×4＝2. ∴反比例函数的解析式为y＝ .又点N（n，1）在反比例函数y＝ 图象 上，∴n＝2，∴N（2，1）.设一次函数的解析式为y＝ax＋b，则 解得∴一次函数的解析式为y＝－2x＋5. 返回目录 （2）求△OMN的面积. 第14题 返回目录 解：（2）如图1，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，又直线l的解析式为y＝－2x＋5，∴A 、B（0，5），∴OA＝ ，OB＝5，∴S△OMN＝S△AOB－S△AON－S△BOM＝ ×OA·OB－ OA·yN－ OB·xM＝ × ×5－ × ×1－ ×5× ＝ . 返回目录 （3）若P是y轴上一动点，连接PM、PN，当PM＋PN的值最小时，求点P 的坐标. 第14题 返回目录 解：（3）如图2，作点M关于y轴的对称点M'，连接M'N交y轴于点P，则 PM＋PN的最小值等于M'N的长.∵点M 与点M'关于y轴对称， ∴M' .又∵N（2，1），易得直线M'N的解析式为y＝－ x＋ .令x＝0，则y＝ ，∴P . 返回目录 15. （2024·眉山中考）如下图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋ b与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于A（1，6）、B（n，2）两点， 与x轴、y轴分别交于C、D两点. 返回目录 （1）求一次函数和反比例函数的解析式. 解：（1）∵一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于 A（1，6）、B（n，2）两点，∴m＝1×6，∴反比例函数的解析式为y ＝ .∴2＝ ，∴n＝3，∴B（3，2），∴解得 ∴一次函数的解析式为y＝－2x＋8. 返回目录 （2）若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，请直接写出点P的坐标. 返回目录 （2）如下图，作点A关于y轴的对称点E，连接EB交y轴于点P，则此时 △PAB的周长最小.∵A（1，6），∴E（－1，6）.设直线BE的解析式为 y＝mx＋c，则解得∴直线BE的解析式为y＝ －x＋5.当x＝0时，y＝5，∴点P的坐标为（0，5）. 返回目录 （3）将直线AB向下平移a（a＞0）个单位长度后与x轴、y轴分别交于 E、F两点，当EF＝ AB时，求a的值. 返回目录 （3）将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E、F两点， ∴直线EF的解析式为y＝－2x＋8－a，∴E 、F（0，8－ a）.∵EF＝ AB，∴ ＝ .解得a＝6或a＝10. 返回目录 （二）反比例函数与几何图形的综合 16. （2024·宜宾中考）如下图，在等腰△ABC中，AB＝AC，反比例函数 y＝ （k≠0）的图象经过点A、B及AC的中点M，BC∥x轴，AB与y轴交 于点N，则 的值为（　B　） A. B. C. D. 第16题 B 返回目录 17. （2021·达州中考）如下图，将一把矩形直尺ABCD和一块等腰直角 三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F 在AD上，EF交BC于点M，反比例函数y＝ （x＜0）的图象恰好经过点 F、M. 若直尺的宽CD＝1，三角板的斜边FG＝4，则k＝ ⁠. 第17题 －12　 返回目录 18. （2022·广元中考）如右图，在平面直角坐标系中，函数y＝x＋b的图 象与函数y＝ （x＞0）的图象相交于点B（1，6），并与x轴交于点A. C 是线段AB上一点，△OAC与△OAB的面积比为2∶3. 第18题 返回目录 （1）求k和b的值. 解：（1）∵函数y＝x＋b的图象与函数y＝ （x＞0）的图象相交于点B （1，6），∴6＝1＋b，6＝ ，∴b＝5，k＝6. 第18题 返回目录 （2）若将△OAC绕点O顺时针旋转，使点C的对应点C'落在x轴正半轴 上，得到△OA'C'，判断点A'是否在函数y＝ （x＞0）的图象上，并说明 理由. 第18题 返回目录 解：（2）点A'不在函数y＝ （x＞0）的图象上.理由：如下图，过点C作CM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，过点A'作A'G⊥x轴于点G. 返回目录 ∵点B（1，6），∴ON＝1，BN＝6.∵△OAC与△OAB的面积比为2∶3， ＝ ＝ ，∴ ＝ ，∴CM＝ BN＝4，即点C的纵坐标为4. 把y＝4代入y＝x＋5，得x＝－1，∴C（－1，4），∴OC'＝OC＝ ＝ ＝ .∵y＝x＋5中，当y＝0时，x＝－5， ∴OA＝5.由旋转的性质，得△OAC≌△OA'C'， 返回目录 ∴ OA·CM＝ OC'·A'G，∴A'G＝ ＝ ＝ .在Rt△A'OG中，OG＝ ＝ ＝ ，∴点A'的坐标为 .∵ × ≠6，∴点A'不在函数y＝ （x＞0）的图象上. 返回目录 19. （2024·宜宾中考）如后图，一次函数y＝ax＋b（a≠0）的图象与反 比例函数y＝ （k≠0）的图象交于A（1，4）、B（n，－1）两点. 第19题 返回目录 （1）求反比例函数和一次函数的解析式. 第19题 返回目录 解：（1）将点A、B的坐标代入反比例函数解析式，得k＝4×1＝－n， 解得k＝4，n＝－4.即反比例函数的解析式为y＝ ，∴B（－4，－1）. 将点A、B的坐标代入一次函数解析式，得解得 ∴一次函数的解析式为y＝x＋3. 返回目录 （2）利用图象，直接写出关于x的不等式ax＋b＜ 的解集. 第19题 解： （2）观察函数图象知，当0＜x＜1或x＜－4时，ax＋b＜ 成立. 返回目录 （3）已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上.若以A、B、C、D为顶 点的四边形是平行四边形，求点C的坐标. 第19题 返回目录 解： （3）设C 、D（x，0）.当AB为对角线时，由中点坐标公式，得4－1＝ ，解得m＝ ，∴点C的坐标为 ；当AC或AD为对角线时，同理可得4＋ ＝－1或4＝ －1，解得m＝± ，∴点C的坐标为 或 .综上，点C的坐标为 或 或 . 返回目录 20. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：安）与电阻R（单位：欧）是反比例函数关系，它的图象如右图所示.下列说法正确的是（　C　） A. 函数解析式为I＝ B. 蓄电池的电压是18伏 C. 当I≤10安时，R≥3.6欧 D. 当R＝6欧时，I＝4安 第20题 C 返回目录 21. （2023·南充中考）小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂 分别为1000牛和0.6米，当动力臂由1.5米增加到2米时，撬动这块石头可 以节省 牛的力.（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂） 100　 返回目录 核心素养·模型观念 22.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压（如图1），加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（千帕）与汽缸内气体的体积V（毫升）成反比例，p关于V的函数图象如图2所示.若压强由75千帕加压到100千帕，则气体体积压缩了 毫升. 20　 返回目录 $$