2025年四川省聚焦九年级中考数学·必备考点透析课件第3章　函数的图象与性质3.1　平面直角坐标系与函数

聚焦新中考·必备考点透析 第三章　函数的图象与性质 3.1　平面直角坐标系与函数 数 学 2025 目录 1 知识概览·主题构建 紧贴课标·考点过关 2 聚焦题型·重难突破 3 四川中考真题精练 4 　知识概览·主题构建　 返回目录 　紧贴课标·考点过关　 1. 坐标平面内点的坐标 已知平面内一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对 应的数a、b分别叫作点P的横坐标和纵坐标，则有序实数对（a，b）叫作 点P的坐标. 返回目录 方法点拨：点到坐标轴和原点的距离：若已知坐标平面内的点P（a， b），则点P到x轴的距离是｜b｜，点P到y轴的距离是｜a｜，点P到原点 的距离是 . 返回目录 2. 点的坐标特征 （1）平面直角坐标系中各部分点的坐标特征. 点的位置 坐标规律 图示 象限中 若已知点P（x，y），则有以下规律：x＞0，y＞0⇔第一象限；x＜0，y＞0⇔第二象限；x＜0，y＜0⇔第三象限；x＞0，y＜0⇔第四象限 返回目录 点的位置 坐标规律 图示 坐标轴上 若点M（x，y）在x轴上，则y＝0；若点N（x，y）在y轴上，则x＝0；原点的坐标为O（0，0） 返回目录 点的位置 坐标规律 图示 各象限角 平分线上 （1）若点M（x，y）在第一、第三象限的平分线上，则x＝y （2）若点N（x，y）在第二、第四象限的平分线上，则x＝－y 返回目录 点的位置 坐标规律 图示 平行于坐标轴的直线上 平行于x轴的直线上的点形如M（x，b），其中x为任意非零实数，b为一个定值； 平行于y轴的直线上的点形如N（a，y），其中a为一个定值，y为任意非零实数 返回目录 易错提示：坐标轴上的点不属于任何一个象限，所以平面直角坐标系把 坐标平面上的点分成了五部分，分别是第一、第二、第三、第四象限内 的点和坐标轴上的点. 返回目录 （2）两点间的距离. 位置 点的坐标 距离公式 水平 线上 平行于x轴的直线上两点P1 （x1，y1）、Q（x2，y1） P1Q＝｜x2－x1｜ 铅垂 线上 平行于y轴的直线上两点P2 （x2，y2）、Q（x2，y1） P2Q＝｜y2－y1｜ 任意 两点 坐标平面内任意两点P1 （x1，y1）、P2（x2，y2） P1P2＝ 返回目录 位置 点的坐标 距离公式 任意点和原点 坐标平面内任意一点P（x，y）和原点O（0，0） OP＝ 返回目录 （3）图形变换与点的坐标规律. 图形变换 点的坐标规律 图示 对称 变换 关于 x轴 点A（a，b）关于x轴的对称点为B ① ⁠ 关于 y轴 点A（a，b）关于y轴的对称点为C ② ⁠ ⁠ 关于原点 点A（a，b）关于原点的对称点为D ③ ⁠ （a，－b）　 （－ a，b） （－a，－b）　 返回目录 图形变换 点的坐标规律 图示 对称 变换 点关 于直 线的 对称 （1）若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）关于y＝x对称，则x1＝y2，y1＝x2 （2）若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）关于y＝－x对称，则x1＝－y2，y1＝－x2 （3）点（a，b）关于直线x＝m对称的点为 （2m－a，b） （4）点（a，b）关于直线y＝n对称的点为 （a，2n－b） 返回目录 图形变换 点的坐标规律 图示 平移 变换 左右 平移 将点P（x，y）向右或向左平移a（a＞0）个单位长度， 得到的对应点的坐标是④ 或⑤ ⁠ ⁠ 上下 平移 将点P（x，y）向上或向下平移b（b＞0）个单位长度， 得到的对应点的坐标是⑥ ⁠或 ⑦ ⁠ （x＋a，y）　 （x－ a，y） （x，y＋b）　 （x，y－b）　 返回目录 图形变换 点的坐标规律 图示 放缩 图形上各点横、纵坐标分别乘n（n≠0）后，所得图形形状不变： （1）当n＞1时，图形变大，对应线段的长扩大到原来的n倍 （2）当0＜n＜1时，图形缩小，对应线段的长缩小到原来的n 返回目录 方法点拨：对称变换时点的坐标规律可记为：关于谁对称谁不变，另一 个变号；关于原点对称都变号.平移变换时点的坐标规律可简记为：上 加下减，左减右加. 返回目录 1. 常量和变量 在某一变化过程中，保持一定数值不变的量叫作常量，可以取不同数值 的量叫作变量. 2. 函数的相关概念 （1）函数：在某一变化过程中，如果有两个变量x、y，并且对于x在某 一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说y 是x的函数，x叫作自变量. （2）函数自变量的取值范围： 返回目录 Ⅰ.函数自变量取值范围应使函数解析式有意义. Ⅱ.实际问题中，自变量的取值范围还应具有实际意义. 返回目录 Ⅲ.几种常见函数形式自变量的取值范围如下： 函数解析式的形式 一般形式 自变量的取值范围 整式型 y＝ax＋b 全体实数 分式型 y＝ x≠a 二次根式型 y＝ x≥－ 分式＋二次根式型 y1＝ ；y2＝ x1≥－ 且x1≠0；x2＞－ 返回目录 方法点拨：函数自变量取值范围的求法：一般是列出不等式（组），通 过解不等式（组）求出函数自变量的取值范围. 返回目录 （3）函数值：当函数自变量x取某一数值时，与之对应的唯一确定的y 值，叫作这个函数在函数自变量取该值时的⑧ ⁠. 函数值　 返回目录 1. 画函数图象的步骤 （1）列表：根据函数的解析式给出自变量的一些值，计算出对应的函数 值，并列出表格. （2）描点：把给出的自变量的值和对应的函数值分别作为点的横坐标和 纵坐标，在坐标平面内描出这些点. （3）连线：把描出的这些点按自变量从小到大的顺序用平滑的曲线连接 起来，就得到了函数的图象. 返回目录 2. 函数的表示方法 列表法、解析式法、图象法. 返回目录 　聚焦题型·重难突破　 题型1　平面直角坐标系及坐标平面内的坐标特征 　（2024·广元中考）如果单项式－x2my3与单项式2x4y2－n的和仍 是一个单项式，则在平面直角坐标系中点（m，n）在（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 返回目录 分析：∵单项式－x2my3与单项式2x4y2－n的和仍是一个单项式， ∴2m＝4，2－n＝3， 解得m＝2，n＝－1. 故点（2，－1）所在的象限为第四象限. 答案：D 解题技巧：本题考查了各象限内点的坐标的符号特征.四个象限的符 号特征分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限 （－，－）；第四象限（＋，－）. 返回目录 　（2023·广安中考）函数y＝ 的自变量x的取值范围是 　. 分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分 母不等于0，可得 解得x≥－2且x≠1. 答案：x≥－2且x≠1 返回目录 解题技巧：本题考查了函数自变量的取值范围.函数自变量的取值范 围一般从三个方面考虑： （1）当函数解析式是整式时，自变量可取全体实数. （2）当函数解析式是分式时，分式的分母不能为0. （3）当函数解析式是二次根式时，被开方数非负. 返回目录 　（2024·广安中考）向下图所示的空容器内匀速注水，从水刚接 触底部时开始计时，直至把容器注满，在注水过程中，设容器内底部所 受水的压强为y（单位：帕），时间为x（单位：秒），则y关于x的函数 图象大致为（） 返回目录 分析：根据图象可知，底层圆柱的直径较大，上层圆柱的直径较 小，所以注水过程的水的高度增加速度是先慢后快，则容器内底部所受 水的压强随时间增加的速度也是先慢后快，故选项B正确. 答案：B 解题技巧：解决分段函数图象的判断问题时，常考虑用排除法，即 根据图象某一段的特征判断哪一个选项符合题意. 返回目录 　四川中考真题精练　 （一）各象限内点的坐标特征 1. （2022·乐山中考）点P（－1，2）在（　B　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. （2023·巴中中考）若a为正整数，点P（4，2－a）在第一象限，则a ＝ ⁠. B 1　 题型1　平面直角坐标系及其点的坐标特征 返回目录 （二）点的对称性 3. 在平面直角坐标系中，点A（－3，－1）关于y轴的 对称点的坐标是（　C　） A. （－3，1） B. （3，1） C. （3，－1） D. （－1，－3） 4. （2024·雅安中考）在平面直角坐标系中，将点P（1，－1）向右平移2 个单位长度后，得到的点P1关于x轴的对称点坐标是（　B　） A. （1，1） B. （3，1） C. （3，－1） D. （1，－1） C B 返回目录 5. （2024·凉山中考）点P（a，－3）关于原点对称的点是P'（2，b），则a＋b的值是（　A　） A. 1 B. －1 C. －5 D. 5 6. （2024·成都中考）在平面直角坐标系中，点P（1，－4）关于原点对 称的点的坐标是（　B　） A. （－1，－4） B. （－1，4） C. （1，4） D. （1，－4） A B 7. （2023·泸州中考）在平面直角坐标系中，若点P（2，－1）与点Q （－2，m）关于原点对称，则m的值是 ⁠. 1　 返回目录 （三）点的平移 8. （2024·资阳中考）在平面直角坐标系中，将点（－2，1）沿y轴向上 平移1个单位长度后，得到的点的坐标为（　B　） A. （－2，0） B. （－2，2） C. （－3，1） D. （－1，1） B 返回目录 9. 在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段 A'B'，点A（2，1）的对应点A'的坐标为（－2，－3），则点B（－2， 3）的对应点B'的坐标为（　C　） A. （6，1） B. （3，7） C. （－6，－1） D. （2，－1） C 返回目录 10. 在平面直角坐标系中，将点A（－3，－2）向右平 移5个单位长度得到点B，则点B关于y轴对称的点B'的坐标为（　C　） A. （2，2） B. （－2，2） C. （－2，－2） D. （2，－2） 11. （2023·绵阳中考）在平面直角坐标系中，将点A（－1，2）先向右平 移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点B（a，b），则a＋b ＝ ⁠. C 0　 返回目录 核心素养·抽象能力 12.（2024·甘肃中考）敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦 煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土 地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面 积，极大地提高了农田面积的测量效率.如图2所示是复原的部分《田积 表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步、宽16 步的田地面积为一亩，用有序数对记为（15，16），那么有序数对记为 （12，17）对应的田地面积为（　D　） A. 一亩八十步 B. 一亩二十步 C. 半亩七十八步 D. 半亩八十四步 D 返回目录 13. （2024·巴中中考）函数y＝ 自变量的取值范围是（　C　） A. x＞0 B. x＞－2 C. x≥－2 D. x≠－2 14. 函数y＝ 中，自变量的取值范围是 （　C　） A. x＞－3 B. x＜3 C. x≠－3 D. x≠3 C C 返回目录 15.函数y＝ 的自变量x的取值范围是（　B　） A. x＜1 B. x＞1 C. x≤1 D. x≥1 16. （2023·广安中考）函数y＝ 的自变量x的取值范围是 ⁠ ⁠. B x≥－2 且x≠1　 返回目录 17. （2024·凉山中考）匀速地向下图所示的容器内注水，直到把容器注 满.在注水过程中，容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是 （　C　） C 返回目录 18. 一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始 匀速行驶.过了一段时间，汽车到达下一个车站.乘客上、下车后汽车开 始加速，一段时间后又开始匀速行驶.下面近似地刻画出汽车在这段时间 内的速度变化情况的图是（　B　） B 返回目录 19. 甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路 程s（千米）与所用的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示.根据图中 信息，下列说法错误的是（　D　） A. 前10分钟，甲比乙的速度慢 B. 经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米 C. 甲的平均速度为0.08千米/分钟 D. 经过30分钟，甲比乙走过的路程少 D 返回目录 20. （2023·自贡中考）如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上. 小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家.小亮 离家距离y与时间x之间的关系如图2所示.下列结论错误的是（　D　） A. 小亮从家到羽毛球馆用了7分钟 B. 小亮从羽毛球馆到报亭的平均速度是75米/分钟 C. 报亭到小亮家的距离是400米 D. 小亮打羽毛球的时间是37分钟 D 返回目录 核心素养·数据分析 21.（2024·青海中考）化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水 后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的.实验得出加入 絮凝剂的体积与净水率之间的关系如下图所示，下列说法正确的是 （　D　） A. 加入絮凝剂的体积越大，净水率越高 B. 未加入絮凝剂时，净水率为0 C. 絮凝剂的体积每增加0.1毫升，净水率的增加量相等 D. 加入絮凝剂的体积是0.2毫升时，净水率达到76.54％ D 返回目录 核心素养·模型观念 22.（2023·资阳中考）如下图，在▱ABCD中，∠D＝120°，AD＝2 厘米，AB＝4 厘米，点P从点D出发以每秒 厘米的速度，沿 D→C→B→A在平行四边形的边上匀速运动至点A. 设点P的运动时间为t 秒，△ADP的面积为S平方厘米，下列图中表示S与t之间函数关系的是 （　B　） B 返回目录 $$