2025年四川省聚焦九年级中考数学·必备考点透析课件-第3章　函数的图象与性质 3.5　二次函数的应用

第三章　函数的图象与性质 3.5　二次函数的应用 数 学 2025 目录 1 紧贴课标·考点过关 聚焦题型·重难突破 2 四川中考真题精练 3 　紧贴课标·考点过关　 1. 二次函数与一元二次方程 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x 轴的交点的横坐标. （1）二次函数的图象与x轴有两个交点⇔方程ax2＋bx＋c＝0有① ⁠ 的实数根⇔b2－4ac② 0. 两 个不相等　 ＞　 返回目录 （2）二次函数的图象与x轴有且只有一个交点⇔方程ax2＋bx＋c＝0有 两个相等的实数根⇔b2－4ac③ 0. （3）二次函数的图象与x轴无交点⇔方程ax2＋bx＋c＝0④ ⁠实数 根⇔b2－4ac＜0. ＝　 无　 返回目录 2. 二次函数与一元二次不等式 （1）y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象在x轴⑤ ⁠的点的横坐标都 满足ax2＋bx＋c＞0（a≠0），所以图象在x轴上方的点的横坐标x的取 值范围就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集. （2）y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象在x轴⑥ ⁠的点的横坐标都 满足ax2＋bx＋c＜0（a≠0），所以图象在x轴下方的点的横坐标x的取 值范围就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集. 上方　 下方　 返回目录 1. 解题的基本方法 利润 最值 问题 在“每每问题”中，单价每涨a元，少卖b件，若涨价y元，则 少卖的数量为 件，然后根据二次函数的性质求最值 抛物 线型 问题 如求过网、扣球或投篮能否成功等问题，就是将对应点的横坐 标代入抛物线的解析式得到该点的纵坐标，即该点抛物线的高 度，然后根据题意比较即可 返回目录 2. 用二次函数解决实际问题的步骤 （1）分析问题：明确题中的常量与变量及它们之间的关系，确定自变量 及因变量. （2）建立模型：根据题意确定合适的解析式或建立恰当的坐标系. （3）求函数解析式：用变量间的数量关系表示. （4）解决问题：利用二次函数的性质解决问题，注意a的正负及自变量 的取值范围. 返回目录 在中考中，二次函数与几何图形综合问题常出现在最后一题中，常考查 角、线段间的数量关系或最值；图形面积之间的数量关系；特殊三角 形、特殊四边形的存在性等问题.在本书P211中，我们将详细讲解（练 习）二次函数与几何图形综合的各种类型. 返回目录 　聚焦题型·重难突破　 　（2024·德阳罗江区中考模拟）如下图，二次函数y＝ax2＋bx ＋c的图象与y轴交于点A（0，2），其对称轴是直线x＝ ，则不等式 ax2＋bx＋c≤2的解集是（） A. x≤0 B. x≤－1或x≥2 C. 0≤x≤1 D. x≤0或x≥1 返回目录 分析：∵点A（0，2），抛物线的对称轴是直线x＝ ， ∴点A关于对称轴对称的点的坐标为（1，2）， ∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝2的交点坐标为 （0，2），（1，2）， ∴不等式ax2＋bx＋c≤2的解集是x≤0或x≥1. 答案：D 返回目录 题型2　二次函数图象与一元二次方程的关系 　已知关于x的一元二次方程x2＋x－m＝0. （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围. （2）二次函数y＝x2＋x－m的部分图象如下图所示，求一元二次方 程x2＋x－m＝0的解. 返回目录 分析：（1）由Δ＞0即可列出关于m的不等式，从而求出m的取 值范围. （2）根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点，从而得 出y＝0时x的值，即一元二次方程x2＋x－m＝0的解. 返回目录 解答：（1）∵一元二次方程x2＋x－m＝0有两个不相等的实数 根，∴Δ＞0，即1＋4m＞0，∴m＞－ . （2）∵二次函数y＝x2＋x－m图象的对称轴为直线x＝－ ，∴抛 物线与x轴的两个交点关于直线x＝－ 对称.由图可知抛物线与x轴的一 个交点为（1，0），∴另一个交点为（－2，0），∴一元二次方程x2＋ x－m＝0的解为x1＝1，x2＝－2. 返回目录 　（2024·遂宁中考）某酒店有A、B两种客房，其中A种24间， B种20间.若全部入住，一天营业额为7 200元；若A、B两种客房均有10 间入住，一天营业额为3 200元. （1）A、B两种客房每间定价分别是多少元？ （2）酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住 满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当A种客房 每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大？最大营业额为多 少元？ 返回目录 分析：（1）根据题意，设A种客房每间定价是x元，B种客房每间 定价是y元，进而建立方程组求解. （2）依据题意，设A种客房每间定价为m元，从而可得W＝ m ＝－ （m－220）2＋4840，再结合二次函数的性质即 可判断得解. 返回目录 解答：（1）设A种客房每间定价是x元，B种客房每间定价是y元. 由题意，得 解得 故A、B两种客房每间定价分别是200元、120元. （2）设A种客房每间定价为m元.由题意，得W＝m ＝－ （m－220）2＋4840. 返回目录 ∵－ ＜0，∴当m＝220时，W取最大值，最大值为4840. 故当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额W最大， 最大营业额为4840元. ∵－ ＜0，∴当m＝220时，W取最大值，最大值为484 解题技巧：本题主要考查了二次函数与二元一次方程组的应用，解 题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键. 返回目录 　四川中考真题精练　 1. 直线l过点（0，4）且与y轴垂直，若二次函数y＝（x－a）2＋（x－2a）2＋（x－3a）2－2a2＋a（其中x是自变量）的图象与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（　D　） A. a＞4 B. a＞0 C. 0＜a≤4 D. 0＜a＜4 D 返回目录 2. 在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝x2＋2x＋ k与x轴只有一个交点，则k＝ ⁠. 1　 3. （2023·巴中中考）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称 这两个函数互为“Y函数”.例如：函数y＝x＋3与y＝－x＋3互为“Y 函数”.若函数y＝ x2＋（k－1）x＋k－3的图象与x轴只有一个交点， 则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 ⁠. （3，0）或（4，0）　 返回目录 4. （2024·自贡中考）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平 整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点O（如下图），其中AB上的EO段 围墙空缺.同学们测得AE＝6.6米，OE＝1.4米，OB＝6米，OC＝5 米，OD＝3米，班长买来可切断的围栏16米，准备利用已有围墙，围出 一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 平方米. 第4题 46.4　 返回目录 5. （2024·内江中考）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上猪肉 粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5 000元购进的猪肉粽盒 数与3 000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售 价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒. （1）求猪肉粽每盒、豆沙粽每盒的进价. 解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a－20）元.根据 题意，得 ＝ .解得a＝50.经检验，a＝50是方程的解且符合题 意，此时a－20＝30.故猪肉粽每盒进价50元，豆沙粽每盒进价30元. 返回目录 （2）设猪肉粽每盒售价x元（52≤x≤70），y表示该商家销售猪肉粽的 利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求出y的最大值. 解： （2）当x＝52时，每天可售出180盒.当猪肉粽每盒售价x元 （52≤x≤70）时，每天可售[180－10（x－52）]盒，∴y＝ （x－50）·[180－10（x－52）]＝（x－50）（－10x＋700）＝－10x2＋ 1 200x－35 000＝－10（x－60）2＋1 000.∵－10＜0，52≤x≤70， ∴当x＝60时，y取最大值，最大值为1 000元.故y关于x的函数解析式为y ＝－10x2＋1 200x－35 000（52≤x≤70），且最大利润为1 000元. 返回目录 6. （2024·南充中考）2024年五一假期期间，阆中古城景区某特产店销售 A、B两类特产.A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件.已知购买1 件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需 540元. （1）A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ 解：（1）设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为 （132－x）元.根据题意，得3x＋5（132－x）＝540.解得x＝60.则132－60＝72.故A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件. 返回目录 （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件.市场调查反映， 若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）.设每件A类 特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变 量x的取值范围. 解： （2）∵每件A类特产降价x元，又每降价1元，每天可多售出10件， ∴y＝60＋10x＝10x＋60（0≤x≤10）. 返回目录 （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且 能按原价售完.设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的 函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时，总利润w最大，最大利 润是多少元？（利润＝售价－进价） 解： （3）∵w＝（60－50－x）（10x＋60）＋100×（72－60）＝－10x2＋40x＋1 800＝－10（x－2）2＋1 840.∵－10＜0，∴当x＝2时，w有最大值1 840.故A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1 840元. 返回目录 核心素养·应用意识 7.（2024·湖北武汉中考）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙 出水”，它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭 运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行. 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图，以发射点为原点，地 平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到 抛物线y＝ax2＋x和直线y＝－ x＋B. 其中，当火箭运行的水平距离为 9km时，自动引发火箭的第二级. 第7题 返回目录 （1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6千米. ①直接写出a，b的值； 　 解：（1）①∵y＝ax2＋x经过点（9，3.6），∴81a＋9＝3.6.解得a＝ － .∵y＝－ x＋b经过点（9，3.6），∴3.6＝－ ×9＋b.解得b＝ 8.1. 第7题 返回目录 　　②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低 1.35千米，求这两个位置之间的距离. ②由①，得y＝－ x2＋x＝－ ＋ （0≤x≤9）.∴火箭运 行的最高点是 千米.∴ －1.35＝2.4（千米），∴2.4＝－ x2＋x. 整理，得x2－15x＋36＝0.解得x1＝12＞9（不合题意，舍去），x2＝3. 由①，得y＝－ x＋8.1.∴2.4＝－ x＋8.1.解得x＝11.4.∴11.4－3 ＝8.4（千米）.故这两个位置之间的距离为8.4千米. 返回目录 （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过 15千米. 解：（1）①∵y＝ax2＋x经过点（9， 3.6），∴81a＋9＝3.6.解得a＝ － .∵y＝－ x＋b经过点（9，3.6），∴3.6＝－ ×9＋b.解得b＝ 8.1. （2）当x＝9时，y＝81a＋9，∴火箭第二级的引发点的坐标为（9， 81a＋9）.设火箭落地点与发射点的水平距离为15千米，∴y＝－ x＋ 返回目录 （2）当x＝9时，y＝81a＋9，∴火箭第二级的引发点的坐标为（9， 81a＋9）.设火箭落地点与发射点的水平距离为15千米，∴y＝－ x＋ b经过点（9，81a＋9），（15，0），∴ 解 得∴－ ＜a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距 b经过点（9，81a＋9），（15，0），∴ 解 得 ∴－ ＜a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过 15千米. 返回目录 8. （2024·达州中考）如图1，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A （－3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点. 返回目录 （1）求抛物线的解析式. 解：（1）由题意，得y＝a（x＋3）（x－1）＝a（x2＋2x－3）＝ax2 ＋bx－3，解得a＝1，则抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3. 返回目录 （2）如图2，连接AC、DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M. 若P是 直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标. 返回目录 解： （2）由抛物线的解析式知，C（0，－3）、D（－1，－4），抛物线的对称轴为直线x＝－1.如下图，过点D作直线DG∥AC交y轴于点G， 在点C上方取点L使CL＝2CG，过点L作直线BP∥AC交抛物线于点 P，则点P为所求点.由点A、C的坐标得直线AC的解析式为 y＝－x－3.∵DG∥AC，∴直线DG的解析式为y＝－（x＋1）－4， ∴G（0，－5）， 返回目录 ∴CG＝5－3＝2，∴CL＝4，∴L（0，1），∴直线LP的解析 式为y＝－x＋1.联立上式和抛物线的解析式，得x2＋2x－3＝－x＋1， 解得x＝1或－4.即点P的坐标为（1，0）或（－4，5）. 返回目录 （3）若N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N、 A、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点 N的坐标；若不存在，请说明理由. 返回目录 （3）存在，理由：设点N（－1，m）.由点A、C、N的坐标，得AC2 ＝18，AN2＝4＋m2，CN2＝1＋（m＋3）2，当AC＝AN时，则18＝4＋ m2，解得m＝± ，则点N的坐标为（－1，± ）；当AC＝CN 或AN＝CN时，则18＝1＋（m＋3）2或4＋m2＝1＋（m＋3）2，解得 m＝－3＋ 或－1（不合题意的值已舍去），则点N的坐标为（－1， －1）或（－1，－3＋ ）.综上，点N的坐标为（－1，± ）或 （－1，－1）或（－1，－3＋ ）. 返回目录 9. （2024·泸州中考）如下图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物 线y＝ax2＋bx＋3经过点A（3，0），与y轴交于点B，且关于直线x＝1 对称. 第9题 返回目录 （1）求该抛物线的解析式. 第9题 解：（1）∵A（3，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，则抛物线和x轴 的另外一个交点为（－1，0），∴抛物线的解析式为y＝a（x＋1） （x－3）＝ax2＋bx＋3，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3.c 返回目录 （2）当－1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t－1，求t的值. 第9题 返回目录 解： （2）当x＝－1时，y＝－x2＋2x＋3＝0，取得最小值，则x＝ t（t＜1）时，y取得最大值，则－t2＋2t＋3＝2t－1，解得t＝±2（舍去）.若抛物线的顶点处取得最大值，抛物线的顶点坐标为（1，4），即 2t－1＝4，解得t＝2.5. 返回目录 （3）C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直 线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B、C、D、E为顶点的四 边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，请说明理由. 第9题 返回目录 （3）存在，理由：由抛物线的解析式知，B（0，3）.①当BC为菱形对 角线时，对应菱形为菱形BDCE'，则BD＝CD. 由点A、B的坐标，得 直线AB的解析式为y＝－x＋3.设C（x，－x2＋2x＋3）、D（x，－ x＋3），则CD＝－x2＋2x＋3－（－x＋3）＝－x2＋3x，BD＝ x，BC＝ ，∴－x2＋3x＝ x，解得x＝3－ 或 x＝0（舍去），则BD＝ x＝3 －2，即菱形的边长为3 －2. 返回目录 ②当BD为菱形的对角线时，对应菱形为菱形BCDE，则CD＝BC， ∴－x2＋3x＝ ，解得x＝2或x＝0（舍去），则CD ＝－x2＋3x＝－22＋3×2＝2，即菱形的边长为2.综上，菱形的边长为 3 －2或2. 返回目录 10. （2024·南充中考）已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点 A（－1，0）、B（3，0）. （1）求抛物线的解析式. 解：（1）把A（－1，0）、B（3，0）代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 返回目录 （2）如图1，抛物线与y轴交于点C，P为线段OC上一点（不与端点重 合），直线PA、PB分别交抛物线于点E、D. 设△PAD面积为S1， △PBE面积为S2，求 的值. 返回目录 解： （2）设P（0，p），直线AP的解析式为y＝k1x＋b1.把 A（－1，0）、P（0，p）代入，得解得 ∴直线AP的解析式为y＝px＋p.联立，得解得或∴E（3－p，－p2＋4p）.同 返回目录 理可得D（ ，－ ＋ ），∴S1＝S△ABD－S△ABP＝ AB·（yD－ yP）＝2 ＝ （3p－p2），S2＝S△ABE－S△ABP＝ AB·（yE－yP）＝2（－p2＋4p－p）＝2（3p－p2），∴ ＝ ÷2＝ ，∴ 的值为 . 返回目录 （3）如图2，K是抛物线对称轴与x轴的交点，过点K的直线（不与对称 轴重合）与抛物线交于点M、N，过抛物线顶点G作直线l∥x轴，Q是 直线l上一动点.求QM＋QN的最小值. 返回目录 解： （3）如下图，作点N关于直线l的对称点N'，连接MN'，过点M作MF⊥NN'于点F. ∵y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，∴抛物线y＝－x2＋2x＋3的对 称轴为直线x＝1，∴K（1，0）.设直线MN的解析式为y＝kx＋d.把 K（1，0）代入，得k＋d＝0，∴d＝－k，∴直线MN的解析式为y＝ kx－k.设M（m，－m2＋2m＋3）、N（n，－n2＋2n＋3）. 返回目录 联立可得x2＋（k－2）x－k－3＝0，∴m＋n＝ 2－k，mn＝－k－3.∵点N、N'关于直线l：y＝4对称， ∴N'（n，n2－2n＋5），∴QM＋QN＝QM＋QN'≥MN'. ∵F（n，－m2＋2m＋3），∴N'F＝｜m2＋n2－2（m＋n）＋2｜，FM＝｜m－n｜. 返回目录 在Rt△MFN'中，MN'2＝MF2＋N'F2＝（m－n）2＋[m2＋n2－2 （m＋n）＋2]2＝（m＋n）2－4mn＋[（m＋n）2－2mn－2 （m＋n）＋2]2＝（2－k）2－4（－k－3）＋[（2－k）2－2（－k－3）－2（2－k）＋2]2＝k4＋17k2＋80，∴当k＝0时，MN'2最小，为80，此时MN'＝4 ，∴QM＋QN≥4 ，∴QM＋QN的最小值为4 . 返回目录 $$