2025年四川省聚焦九年级中考数学·必备考点透析课件-第2章　方程（组）与不等式（组） 2.4　一元一次不等式（组）

聚焦新中考·必备考点透析 第二章　方程（组）与不等式（组） 2.4　一元一次不等式（组） 数 学 2025 目录 1 紧贴课标·考点过关 聚焦题型·重难突破 2 四川中考真题精练 3 　紧贴课标·考点过关　 1. 不等式和一元一次不等式 （1）不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫作不等式. （2）一元一次不等式：只含有① 未知数，并且未知数的次数是 ② 的不等式叫作一元一次不等式. 一个　 1　 返回目录 2. 不等式的解与不等式的解集 （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解. （2）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的③ ⁠ ， 组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集. 所有的解 返回目录 （3）不等式的解集在数轴上的表示： 解集 数轴表示 x＜a x＞a x≤a x≥a 返回目录 方法点拨：在数轴上表示不等式解集的步骤： （1）定边界：有等号的用实心圆点，表示包括这一点，无等号的用空 心圆圈，表示不包括这一点. （2）定方向：大于向右，小于向左. 返回目录 文字描述 数学语言 性 质1 不等式的两边都加（或减）同一个数或式 子，不等号的方向④ ⁠ 若a＞b，则a±c＞b±c 性 质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个⑤ ⁠，不等号的方向不变 若a＞b，c＞0，则ac＞bc， ＞ 性 质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个⑥ ⁠，不等号的方向改变 若a＞b，c＜0，则ac＜bc， ＜ 不变　 正数 负数 返回目录 　易错提示：在使用性质3时，一定要注意不等号的方向要改变. 返回目录 1. 解不等式 求不等式的⑦ 的过程叫作解不等式. 2. 解一元一次不等式 （1）基本思路：解一元一次不等式与解一元一次方程的方法类似， 只是在利用不等式的基本性质3对不等式进行变形时，要注意改变不 等号的方向. （2）一般步骤：⑧ ，⑨ ，⑩ ，⑪ ⁠ ，⑫ （注意不等号的方向是否需要改变）. 解集　 去分母　 去括号　 移项　 合并 同类项　 系数化为1　 返回目录 3. 一元一次不等式ax＞b的解集的基本情形 （1）当a＞0时，解集为⑬ ⁠. （2）当a＝0，且b＜0时，x⑭ ；当a＝0，且b≥0时， ⑮ ⁠. （3）当a＜0时，解集为⑯ ⁠. x＞ 　 取一切实数　 无解　 x＜ 　 返回目录 1. 一元一次不等式组及其解集 （1）由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组，叫 作一元一次不等式组. （2）一元一次不等式组的解集：不等式组中各个不等式解集的⑰ ⁠ ，叫作这个不等式组的解集. 公共 部分　 返回目录 （3）两个一元一次不等式构成的不等式组的解集的四种情况（a、b均为 实数，且a＜b）： 类型 图示 解集 口诀 ⑱ ⁠ 两大取大 ⑲ ⁠ 两小取小 ⑳ ⁠ 大小交叉中间找 x＞b　 x＜a　 a＜x＜b　 返回目录 类型 图示 解集 口诀 ㉑ ⁠ 大小分离找不到 无解　 返回目录 2. 解一元一次不等式组的步骤 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集. （2）将各不等式的解集在数轴上表示出来. （3）利用数轴确定各个不等式解集的公共部分，即得不等式组的解集. 方法点拨：确定不等式组的解集（即找不等式组中各个不等式解集的公 共部分），一般借助数轴，这样既直观形象，又不容易出错. 返回目录 　不等式应用题的文字叙述一般较多，对阅读理解、分析问题的能力要 求较高，要能准确捕捉题中信息，寻找解题的突破口，一般可遵循以下 步骤： （1）审：认真审题，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字眼，如 “大于（＞）”“小于（＜）”“不大于（≤）”“不小于 （≥）”“至少（≥）”“至多（≤）”等. （2）设：设出适当的未知数. 返回目录 （3）列：根据题中的不等关系，列出不等式（组）. （4）解：解出所列的不等式（组）的解集. （5）答：写出答案，并检验答案是否符合题意. 返回目录 　聚焦题型·重难突破　 　（2023·山东临沂中考）解不等式5－2x＜ ，并在数轴上表示 解集. 分析：不等式去分母、去括号、移项、合并同类项、把x的系数化为 1，求出解集，然后把解集在数轴上表示即可. 返回目录 解答：去分母，得2（5－2x）＜1－x. 去括号，得10－4x＜1－x. 移项，得－4x＋x＜1－10. 合并同类项，得－3x＜－9. 系数化为1，得x＞3. ∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示： 返回目录 解题技巧：此题考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的 解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键. 返回目录 　（2024·黑龙江大兴安岭）关于x的不等式组恰有3 个整数解，则a的取值范围是 　. 返回目录 分析：解不等式4－2x≥0，得x≤2. 解不等式 x－a＞0，得x＞2a. ∵不等式组恰有3个整数解， ∴这3个整数解是0，1，2. ∴－1≤2a＜0.解得－ ≤a＜0. 答案：－ ≤a＜0 返回目录 解题技巧：本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数 解，能根据不等式组的解集和不等式组的整数解得出a的范围是解此 题的关键. 返回目录 　（2024·泸州中考）某商场购进A、B两种商品，已知购进3件A商品比 购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元. （1）A、B两种商品每件的进价各为多少元？ （2）该商场计划购进A、B两种商品共60件，且购进B商品的件数不 少于A商品件数的2倍.若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销 售，为满足销售完A、B两种商品后获得的总利润不低于1 770元，则购进 A商品的件数最多为多少？ 返回目录 分析：（1）设A商品每件的进价为x元，B商品每件的进价为y元， 根据购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B 商品总费用为620元列出方程组求解即可； （2）设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为（60－m） 件，根据利润不低于1 770元且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍 列出不等式组求解即可. 返回目录 解答：（1）设A商品每件的进价为x元，B商品每件的进价为y元. 由题意，得解得 即A商品每件的进价为100元，B商品每件的进价为60元. （2）设购进A商品为m件，则购进B商品（60－m）件. 由题意，得： ​ 返回目录 解得19≤m≤20. ∵m为整数，∴m的最大值为20. 即购进A商品最多为20件. 解题技巧：本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实 际应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系或不等关 系，并据此列出方程组或不等式组. 返回目录 　四川中考真题精练　 1. （2023·德阳中考）如果a＞b，那么下列运算正确的是（　D　） A. a－3＜b－3 B. a＋3＜b＋3 C. 3a＜3b D. ＜ D 返回目录 2. （2024·乐山中考）不等式x－2＜0的解集是（　A　） A. x＜2 B. x＞2 C. x＜－2 D. x＞－2 3. （2024·内江中考）不等式3x≥x－4的解集是（　A　） A. x≥－2 B. x≤－2 C. x＞－2 D. x＜－2 A A 返回目录 4. （2023·内江中考）在函数y＝ 中，自变量x的取值范围在数轴上 表示为（　D　） 5. （2021·眉山中考）若关于x的不等式x＋m＜1只有3个正整数解，则m 的取值范围是 ⁠. D －3≤m＜－2　 返回目录 6. （2024·眉山中考）解不等式： －1≤ ，并把它的解集表示在数 轴上. 第6题 解：去分母，得2（x＋1）－6≤3（2－x）.去括号，得2x＋2－6≤6－ 3x.移项，得2x＋3x≤6＋6－2.合并同类项，得5x≤10.系数化为1，得 x≤2.在数轴上表示解集如下： 返回目录 7. （2024·眉山中考）不等式组的解集是（　D　） A. x＞1 B. x≤4 C. x＞1或x≤4 D. 1＜x≤4 D 返回目录 8. （2024·遂宁中考）不等式组的解集在数轴上表示 为（　B　） B 返回目录 9. （2024·南充中考）若关于x的不等式组的解集为x＜3， 则m的取值范围是（　B　） A. m＞2 B. m≥2 C. m＜2 D. m≤2 B 返回目录 10. （2023·眉山中考）若关于x的不等式组的整数解仅 有4个，则m的取值范围是（　A　） A. －5≤m＜－4 B. －5＜m≤－4 C. －4≤m＜－3 D. －4＜m≤－3 A 返回目录 11. （2023·凉山中考）不等式组的所有整数解的和 是 ⁠. 12. （2022·达州中考）若关于x的不等式组恰有3个整数 解，则a的取值范围是 ⁠. 7　 2≤a＜3　 返回目录 13. （2024·达州中考）解不等式组： 解：解不等式①，得x＞－1.解不等式②，得x≤5. ∴不等式组的解集为－1＜x≤5. 返回目录 14. （2024·凉山中考）求不等式－3＜4x－7≤9的整数解. 解：由题意，得解不等式①，得x＞1.解不等式②，得 x≤4.∴该不等式组的解集为1＜x≤4，∴整数解为2，3，4. 返回目录 15. （2022·自贡中考）解不等式组：并在数轴上表示 其解集. 第15题 解：解3x＜6，得x＜2.解5x＋4＞3x＋2，得x＞－1.∴不等式组的解集为 －1＜x＜2.∴在数轴上表示不等式组的解集如下： 返回目录 16. （2020·宜宾中考）某单位为响应政府号召，需购买分类垃圾桶6个， 市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类 垃圾桶550元/个，总费用不超过3 100元，则不同的购买方式有（　B　） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 B 返回目录 17. （2023·眉山中考）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活 力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气.”某校为提高学生的阅读品 味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种书共100本.已知购买2本甲 种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元. （1）求甲、乙两种书的单价； 解：（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元.根据题意，得 解得即甲种书的单价是35元，乙种书的单价 是30元. 返回目录 （2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3 200元，那么该校最多 可以购买甲种书多少本？ 解：（2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书（100－m）本.根据题 意，得35m＋30（100－m）≤3 200.解得m≤40，∴m的最大值为40.即 该校最多可以购买甲种书40本. 返回目录 18. （2024·成都中考）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基 础，推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收 获的季节，该合作社用17 500元从农户处购进A、B两种水果共1 500千克 进行销售，其中A种水果收购单价为10元/千克，B种水果收购单价为 15元/千克. （1）A、B两种水果各购进多少千克？ 解：（1）设A种水果购进x千克，B种水果购进y千克.根据题意，得 解得即A种水果购进1 000千克，B种 水果购进500千克. 返回目录 （2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4％，若合作社计划A种水 果至少要获得20％的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价. 解：（2）设A种水果的销售单价为a元/kg.根据题意，得1 000 （1－4％）a≥（1＋20％）×1 000×10.解得a≥12.5.即A种水果的最低销售单价为12.5元/kg. 返回目录 19. （2022·泸州中考）某经销商计划购进A、B两种农产品.已知购进A种 农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产 品4件，共需720元. （1）A、B两种农产品每件的价格分别是多少元？ 解：（1）设每件A种农产品的价格是x元，每件B种农产品的价格是y元. 由题意，得解得即每件A种农产品的价格 是120元，每件B种农产品的价格是150元. 返回目录 （2）该经销商计划用不超过5 400元购进A、B两种农产品共40件，且A 种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍.如果该经销商将购进的农产 品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A、B两 种农产品各多少件时获利最多？ 返回目录 （2）设该经销商购进m件A种农产品，则购进（40－m）件B种农产品. 根据题意，得解得20≤m≤30.设这 两种农产品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（160－120）m＋ （200－150）（40－m）＝－10m＋2 000.∵－10＜0，∴w随m的增大而 减小，∴当m＝20时，w取得最大值，此时40－m＝40－20＝20.即当购 进20件A种农产品，20件B种农产品时获利最多. 返回目录 20. （2024·达州中考）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农 户将A、B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售.已知每件A品种柑橘礼 盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元，且出售25件A品种柑橘礼盒和15件B 品种柑橘礼盒的总价共3 500元. 返回目录 （1）A、B两个品种的柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ 解：（1）设A品种柑橘礼盒每件的售价为a元，B品种柑橘礼盒每件的售 价为b元.根据题意，得解得即A品种柑 橘礼盒每件的售价为80元，B品种柑橘礼盒每件的售价为100元. 返回目录 （2）已知加工A、B两个品种的柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元. 该乡镇计划在某农产品展销活动中售出A、B两个品种的柑橘礼盒共1 000 盒，且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍， 总成本不超过54 050元.要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种 柑橘礼盒的销售方案？并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益. 返回目录 （2）设售出A品种柑橘礼盒x盒，则售出B品种柑橘礼盒 （1 000－x）盒.根据题意，得 解得595≤x≤600.设总收益为y元.根据题意，得y＝（80－50）x＋（100－60）（1 000－x）＝－10x＋40 000.∵－10＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝595时，y取得最大值，最大值为－10×595＋ 40 000＝34 050（元）.此时售出B品种柑橘礼盒1 000－595＝405（盒）.即要使农户收益最大，销售方案为售出A品种柑橘礼盒595盒，售出B品种柑橘礼盒405盒，最大收益为34 050元. 返回目录 $$