2025年四川省聚焦九年级中考数学·必备考点透析课件 -第2章　方程（组）与不等式（组） 2.2　一元二次方程

聚焦新中考·必备考点透析 第二章　方程（组）与不等式（组） 2.2　一元二次方程 数 学 2025 目录 1 紧贴课标·考点过关 聚焦题型·重难突破 2 四川中考真题精练 3 　紧贴课标·考点过关　 考点1　一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念 只含有① 未知数（一元）并且未知数的② 为2（二 次）的整式方程，叫作一元二次方程. 一个　 最高次数　 2. 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0），其中③ ⁠是 二次项，④ 为二次项系数；⑤ 是一次项，b为一次项系 数；c为⑥ ⁠. ax2　 a　 bx　 常数项　 返回目录 1. 直接开平方法 （1）思路：形如x2＝p或（nx＋m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采 用直接开平方法求解. 考点2　一元二次方程的解法 返回目录 （2）用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤： 步骤 具体操作 移项整理 左边的常数项移到右边 系数化为1 方程两边同时除以未知数的系数 开方 开平方转化为两个一元一次方程 解一次方程 解得到的两个一元一次方程，即得原方程的解 返回目录 2. 配方法 （1）思路：将一元二次方程配成（x＋m）2＝n（n≥0）的形式，再利 用直接开平方法求解. 返回目录 （2）用配方法解一元二次方程的一般步骤： 步骤 具体操作 化一般式 把原方程化为一般形式 系数化为1 方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边 配常数项 方程两边同时加上一次项系数一半的平方 配平方 把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数 开方 如果右边是非负数，即可进一步通过直接开平方法求出它的解；如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解 返回目录 3. 公式法 （1）思路：用一元二次方程的求根公式⑦ ⁠解一元二 次方程. x＝ 　 返回目录 （2）用公式法解一元二次方程的一般步骤： 步骤 具体操作 化一般式 把方程化成一般形式，进而确定a、b、c的值（注意符号） 求判别式 求出判别式的值，判断根的情况 代公式 若Δ≥0，则把a、b、c的值代入公式x＝ ，求 出方程的根 返回目录 4. 因式分解法 （1）思路：先把一元二次方程的右边化为⑧ ，再把左边化为两个 一次因式的积的形式，那么这两个因式的值都有可能为0，这样就将一元 二次方程转化为两个一元一次方程进行求解. 0　 返回目录 （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 步骤 具体操作 移项 移项，使方程的右边化为0 分解因式 将方程的左边分解为两个一次因式的乘积 化为一次方程 令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程 解一次方程 解这两个一元一次方程，它们的解都是原方程的解 返回目录 1. 一元二次方程根的判别式 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中的⑨ ，称为根的判 别式，用“Δ”来表示，即根的判别式Δ＝b2－4ac. 2. 不解一元二次方程，用根的判别式判断方程根的情况 （1）当⑩ 时⇔方程有两个不相等的实数根. （2）当⑪ 时⇔方程有两个相等的实数根. （3）当⑫ 时⇔方程没有实数根. b2－4ac　 Δ＞0　 Δ＝0　 Δ＜0　 考点3　一元二次方程根的判别式（高频考点） 返回目录 1. 一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为x1、x2，则有x1＋x2＝ ⑬ 　－ 　，x1x2＝⑭ 　 　. 注意：使用此结论的前提是方程的两根存在，即Δ≥0.当Δ＜0时，虽然此 时－ 、 的值也可求出，但已没有了实际意义. － 　 　 考点4　 　*一元二次方程根与系数的关系及其应用（高频考点） 返回目录 2. 一元二次方程根与系数的关系的运用 （1）已知一元二次方程的一根，求另一根. （2）不解方程，求关于一元二次方程的根x1、x2的代数式的值，如： ① ＋ ＝（x1＋x2）2－2x1x2； ② ＋ ＝ ； ③（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2； ④｜x1－x2｜＝ ； ⑤（x1＋1）（x2＋1）＝x1x2＋（x1＋x2）＋1； ⑥ ＋ ＝ ＝ . 返回目录 （3）可以构造两根为x1、x2的一元二次方程x2－（x1＋x2）x＋x1x2＝0. （4）将“已知两数x1、x2的和与积，求此两数的问题”转化为求一元二 次方程x2－（x1＋x2）x＋x1x2＝0的根的问题. 返回目录 1. 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤（与列一元一次方程解应用 题的步骤基本一致） 　（1）审：审题，弄清题意，明确已知量和未知量，找出一个恰当的等 量关系； （2）设：设适当的未知数（要有单位）； （3）列：根据相等关系列出一元二次方程； （4）解：解出所列的方程； 考点5　一元二次方程的应用（高频考点） （5）答：检验所求得的解是否符合实际问题，并给出答案. 返回目录 易错提示：如果一元二次方程有两个不相等的实数解，有时候其中一个 解是不满足题意的，所以写答案前，一定要注意检验所得到的解是否符 合实际问题. 返回目录 2. 平均变化率问题 （1）平均增长率公式：连续两次增长，平均每次的增长率为x，原值为 a，连续两次增长后的值为b，则有⑮ ⁠. （2）平均减少率公式：连续两次减少，平均每次的减少率为x，原值为 a，连续两次减少后的值为b，则有⑯ ⁠. （3）一般解题步骤如下：设增长率；代公式；解方程；检验；作答. a（1＋x）2＝b　 a（1－x）2＝b　 返回目录 3. 利润问题 基本等量关系：利润＝售价－成本，总利润＝单件利润×数量. “每每模型”：成本每件a元，售价为m元时销量是n件，单价每降低d 元，则可多卖出c件.设售价降低了x元，则每件的利润为（m－x－a） 元，销量增加 件，销量变为 件，则降价后的利润为w＝ ⑰ 元. （m－x－a）（n＋ ）　 返回目录 4. 矩形面积问题的两种常见类型 （1）镶边矩形：如图，镶边矩形ABCD中空白区域的面积为S＝ （a－2x）（b－2x）. 返回目录 （2）内嵌十字架矩形：如图，图1中阴影区域可以通过平移的方法变成 图2中的形状，此时易得图1矩形ABCD中空白区域的面积为S＝ （a－x）（b－x）. 返回目录 　聚焦题型·重难突破　 题型1　一元二次方程的解 　（2021·广安中考）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长 是方程x2－6x＋8＝0的根，则这个三角形的周长为 　　　　. 分析：解方程x2－6x＋8＝0，得x1＝2，x2＝4.∵当x＝2时，2＋3 ＝5，不符合题意；当x＝4时，3＋4＞5，符合题意，∴这个三角形的第 三边长是4，∴这个三角形的周长为3＋4＋5＝12. 答案：12 返回目录 解题技巧：解决本题的关键是求出方程的解后要根据三角形的三边 关系判断出三角形的第三边长是4，而不是2. 返回目录 题型2　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 　（2024·内江中考）已知关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0 （p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2. （1）填空：x1＋x2＝ 　，x1x2＝ 　　　　. （2）求 ＋ ，x1＋ 的值. （3）已知 ＋ ＝2p＋1，求p的值. 返回目录 分析：（1）由根与系数的关系，得x1＋x2＝p，x1x2＝1. （2）将式子变形为有关x1＋x2，x1x2的形式，再将（1）中的值代 入计算. （3）先求出p的值，再根据根的判别式进行判断即可. 解答：（1）p　1 返回目录 （2）∵x1＋x2＝p，x1x2＝1， ∴ ＋ ＝ ＝p. ∵关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0（p为常数）有两个不相等 的实数根x1和x2， ∴ －px1＋1＝0， ∴x1－p＋ ＝0， ∴x1＋ ＝p. 返回目录 （3）∵x1＋x2＝p，x1x2＝1， ＋ ＝2p＋1， ∴（x1＋x2）2－2x1x2＝2p＋1， ∴p2－2＝2p＋1， ∴p2－2p－3＝0， 解得p＝－1或p＝3. 当p＝－1时，x2＋x＋1＝0，Δ＝12－4×1×1＝－3＜0，不合题 意，舍去； 当p＝3时，x2－3x＋1＝0，Δ＝（－3）2－4×1×1＝5＞0，符合 题意. ∴p＝3. 返回目录 解题技巧：本题考查了一元二次方程根和系数的关系、根的判别 式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键. 返回目录 题型3　一元二次方程的应用 　（湖北宜昌中考）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发 展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3月、4 月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨. （1）求4月份再生纸的产量. 返回目录 （2）若4月份每吨再生纸的利润为1 000元，5月份再生纸产量比上月 增加m％.5月份每吨再生纸的利润比上月增加 ％，则5月份再生纸项目 月利润达到66万元.求m的值. （3）若4月份每吨再生纸的利润为1 200元，4月至6月每吨再生 纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相 同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25％.6月份每吨再生纸的 利润是多少元？ 返回目录 分析：（1）设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为 （2x－100）吨.根据该厂3月、4月份共生产再生纸800吨，即可得出关 于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，再将其代入（2x－100）中 即可求出4月份再生纸的产量. （2）利用月利润＝每吨的利润×月产量，即可得出关于m的一元二 次方程，解之取其正值即可得出结论. （3）设4月至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸 的产量为a吨，根据6月份再生纸项目月利润比上月增加了25％，即可得 出关于y的一元二次方程，化简后即可. 返回目录 解答：解：（1）设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产 量为（2x－100）吨. 根据题意，得x＋2x－100＝800.解得x＝300.∴2x－100＝2×300 －100＝500. 即4月份再生纸的产量为500吨. （2）根据题意，得1000 ×500×（1＋m％）＝660000. 整理，得m2＋300m－6 400＝0， 解得m1＝20，m2＝－320（不合题意，舍去）.即m的值为20. 返回目录 （3）设4月至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸 的产量为a吨. 根据题意，得1 200（1＋y）2·a（1＋y）＝（1＋25％）×1 200（1 ＋y）·a， ∴1 200（1＋y）2＝1 500. 即6月份每吨再生纸的利润是1 500元. 返回目录 　四川中考真题精练　 1. （2022·雅安中考）若关于x的一元二次方程x2＋6x＋c＝0配方后得到 方程（x＋3）2＝2c，则c的值为（　C　） A. －3 B. 0 C. 3 D. 9 C 题型1　一元二次方程的解及其解法 返回目录 2. （2022·遂宁中考）已知m为方程x2＋3x－2 022＝0的根，那么m3＋ 2m2－2 025m＋2 022的值为（　B　） A. －2 022 B. 0 C. 2 022 D. 4 044 B 返回目录 3. （2021·雅安中考）若直角三角形的两边长分别是方程x2－7x＋12＝0 的两根，则该直角三角形的面积是（　D　） A. 6 B. 12 C. 12或 D. 6或 4. （2024·南充中考）已知m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，则 （m＋5）（m－1）的值为 ⁠. 5. （2021·巴中中考）若关于x的方程2x2＋mx－4＝0的一根为x＝1，则 另一根为 ⁠. D －4　 x＝－2　 返回目录 6. （2022·凉山中考）解方程：x2－2x－3＝0. 解：原方程可以变形为（x－3）（x＋1）＝0，∴x－3＝0或x＋1＝0. 解得x1＝3，x2＝－1. 返回目录 7. （2024·自贡中考）关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0的根的情况是 （　A　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 A 题型2　一元二次方程根的判别式 返回目录 8. （2024·广安中考）若关于x的一元二次方程（m＋1）x2－2x＋1＝0 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　A　） A. m＜0且m≠－1 B. m≥0 C. m≤0且m≠－1 D. m＜0 A 返回目录 核心素养·推理能力 9.（2023·内江中考）对于实数a、b定义运算“ⓧ”为aⓧb＝b2－ ab，例如3ⓧ2＝22－3×2＝－2，则关于x的方程（k－3）ⓧx＝k－1的 根的情况，下列说法正确的是（　A　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 A 返回目录 题型3　一元二次方程根与系数的关系及其应用 10. （2022·乐山中考）若关于x的一元二次方程3x2－2x＋m＝0有两 根，其中一根为x＝1，则这两根之积为（　D　） A. B. C. 1 D. － D 11. （2022·泸州中考）已知关于x的方程x2－（2m－1）x＋m2＝0的两 实数根为x1、x2.若（x1＋1）（x2＋1）＝3，则m的值为（　A　） A. －3 B. －1 C. －3或1 D. －1或3 A 返回目录 12. （2024·乐山中考）若关于x的一元二次方程x2＋2x＋p＝0的两根为 x1、x2，且 ＋ ＝3，则p的值为（　A　） A. － B. C. －6 D. 6 13. （2023·宜宾中考）若关于x的方程x2－2（m＋1）x＋m＋4＝0两根 的倒数和为1，则m的值为 ⁠. 14. （2023·达州中考）已知x1、x2是方程2x2＋kx－2＝0的两个实数根， 且（x1－2）（x2－2）＝10，则k的值为 ⁠. A 2　 7　 返回目录 15. （2022·内江中考）已知x1、x2是关于x的方程x2－2x＋k－1＝0的两 实数根，且 ＋ ＝ ＋2x2－1，则k的值为 ⁠. 16. （2024·泸州中考）已知x1、x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个 实数根，则（x1－x2）2＋3x1x2的值是 ⁠. 2　 14　 返回目录 17. （2024·遂宁中考）已知关于x的一元二次方程x2－（m＋2）x＋m －1＝0. （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根. （1）证明：Δ＝[－（m＋2）]2－4×1×（m－1）＝m2＋8.∵无论m 取何值，m2＋8＞0恒成立，∴无论m取何值，方程都有两个不相等的 实数根. 返回目录 （2）如果方程的两个实数根为x1、x2，且 ＋ －x1x2＝9，求m的值. （2）解：∵x1、x2是方程x2－（m＋2）x＋m－1＝0的两个实数根， ∴x1＋x2＝m＋2，x1x2＝m－1，∴ ＋ －x1x2＝（x1＋x2）2－ 3x1x2＝（m＋2）2－3（m－1）＝9，解得m1＝1或m2＝－2. 返回目录 18. （2023·南充中考）已知关于x的一元二次方程x2－（2m－1）x－ 3m2＋m＝0. （1）求证：无论m为何值，方程总有实数根. （1）证明：∵Δ＝[－（2m－1）]2－4×1×（－3m2＋m）＝ 4m2－4m＋1＋12m2－4m＝16m2－8m＋1＝（4m－1）2≥0，∴无论m为何值， 方程总有实数根. 返回目录 （2）若x1、x2是方程的两个实数根，且 ＋ ＝－ ，求m的值. （2）解：由题意知，x1＋x2＝2m－1，x1x2＝－3m2＋m.∵ ＋ ＝ ＝ －2＝－ ，∴ －2＝－ .整理，得5m2－ 7m＋2＝0.解得m＝1或m＝ . 返回目录 19. （2024·内江中考）某市2021年底森林覆盖率为64％，为贯彻落实 “绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动， 2023年底森林覆盖率已达到69％.如果这两年森林覆盖率的年平均增长率 为x，则符合题意的方程是（　B　） A. 0.64（1＋x）＝0.69 B. 0.64（1＋x）2＝0.69 C. 0.64（1＋2x）＝0.69 D. 0.64（1＋2x）2＝0.69 B 返回目录 20. （2022·眉山中考）“建设美丽城市，改造老旧小区.”某市2019年投 入资金1 000万元，2021年投入资金1 440万元，现假定每年投入资金的增 长率相同. （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率. 解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x.根据题 意，得1 000（1＋x）2＝1 440.解得x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2（不合题 意，舍去）.即该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20％. 返回目录 （2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元.2022年为提高老旧 小区品质，每个小区改造费用增加15％.如果投入资金的年增长率保持不 变，该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？ （2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区.根据题意，得80×（1＋15 ％）y≤1 440×（1＋20％）.解得y≤ .又∵y为整数，∴y的最大值 为18.即该市在2022年最多可以改造18个老旧小区. 返回目录 $$