2025年四川省聚焦中考数学·必备考点透析课件-第2章　方程（组）与不等式（组） 2.1　一次方程（组）

聚焦新中考·必备考点透析 第二章　方程（组）与不等式（组） 2.1　一次方程（组） 数 学 2025 目录 1 知识概览·主题构建 紧贴课标·考点过关 2 聚焦题型·重难突破 3 四川中考真题精练 4 　知识概览·主题构建　 返回目录 　紧贴课标·考点过关　 考点1　等式与方程 1. 等式的定义 用“＝”表示相等关系的式子叫作等式. 易错提示：“＝”本身具有“对称性”和“传递性”，即若A＝B，则 B＝A；若A＝B，B＝C，则A＝C. 返回目录 2. 等式的性质 文字描述 数学语言 性 质 1 等式两边都① ⁠同一个数或式 子，所得结果仍是等式 若a＝b，则a±c＝ b±c 性 质 2 等式两边都乘或除以（除数不能是0）同 一个数或式子，所得结果仍是等式 若a＝b，则ac＝bc；若 a＝b，c≠0，则 ＝ 加或减　 返回目录 3. 方程（组）及其解 （1）方程的定义：含有② 的等式叫作方程. （2）方程的解：使方程左、右两边③ ⁠的未知数的值叫作方程的 解.只含有④ 未知数的方程的解，也叫作方程的根. （3）整式方程：方程的左、右两边都是整式的方程，叫作整式方程. 未知数　 相等　 一个　 返回目录 1. 一元一次方程的定义 在一个方程中，只含有一个（一元）⑤ ，并且未知数的 ⑥ 是1（一次），这样的方程叫作一元一次方程. 未知数　 指数　 考点2　一元一次方程及其解法 返回目录 2. 解一元一次方程的一般步骤 变形 具体操作 去分母 在方程两边都乘各分母的⑦ （不含分母的项也 要乘） 去括号 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号（去括号时，注 意括号内的项是否需要变号） 移项 把方程中含有⑧ 的项都移到方程的一边，⑨ ⁠ 移到另外一边（移项要变号） 最小公倍数　 未知数　 常数项 返回目录 合并同 类项 把方程化成ax＝b（a≠0）的形式（注意合并时，系数相加， 字母及其指数均不变） 系数化 为1 在方程两边都除以a（a≠0），得到方程的解x＝ （注意分子 分母不要颠倒） 返回目录 1. 二元一次方程（组）的相关概念 （1）二元一次方程：含有⑩ 未知数，并且所含未知数的项的次 数都是⑪ 的整式方程叫作二元一次方程. （2）二元一次方程组：两个未知数相同的二元一次方程所组成的一组方 程叫作二元一次方程组. 两个　 1　 考点3　二元一次方程（组）及其解法 返回目录 （3）二元一次方程的解：使二元一次方程两边相等的一组未知数的 值，叫作二元一次方程的一个解.二元一次方程的每一个解都是指一 对数值，而不是指单独的一个未知数的值.一般地，一个二元一次方 程的解有无数个. （4）二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的⑫ ⁠ 解，叫作二元一次方程组的解.通常情况下，二元一次方程组有唯一解或 无解.当两个二元一次方程同解时，方程组有无数个解. 公共　 返回目录 2. 解二元一次方程组的方法和步骤 代入消元法 加减消元法 （1）选取一个系数较简单的二元 一次方程变形，用含有一个未知 数的代数式表示另一个未知数 （1）利用等式的基本性质，将原方 程组中某个未知数的系数化成相等 或相反数的形式 （2）将变形后的方程代入另一个 方程中，消去一个未知数，得到 一个一元一次方程 （2）利用等式的基本性质将变形后 的两个方程相加或相减，消去一个 未知数，得到一个一元一次方程 （3）解这个一元一次方程，求出未知数的值 返回目录 代入消元法 加减消元法 （4）将求得的未知数的值代入 （1）中变形后的方程中，求出另 一个未知数的值 （4）将求得的未知数的值代入原方 程组中的任何一个方程中，求出另 一个未知数的值 （5）用大括号“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解 （6）最后检验（代入原方程组中进行检验，方程是否都满足左边＝右 边） 返回目录 方法点拨：代入消元法和加减消元法的选用：一般来讲，代入消元 法适用于方程组中一个方程的某个未知数的系数为1或－1的情况； 加减消元法适用于两个方程中某个未知数的系数的绝对值相等或成 倍数关系的情况. 返回目录 3. 三元一次方程（组）的相关概念 ①三元一次方程：含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整 式方程叫作三元一次方程. ②三元一次方程组：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数 都是1，并且一共有3个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组. 4. 解三元一次方程组的基本思路 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三 元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程. 这与解二元一次方程组的思路是一致的. 返回目录 1. 列方程（组）解应用题的一般步骤 （1）审：审题，弄清题意，明确已知量和未知量，找出相等关系. （2）设：设适当的未知数（要有单位）. （3）列：根据相等关系列出方程（组）. （4）解：解出所列的方程（组）. （5）答：检验所求得的解是否符合实际问题，并规范作答. 考点4　一次方程（组）的应用（高频考点） 返回目录 方法点拨：当直接设未知数不好列方程时，可以选择间接设未知数，具 体要视情况而定. 易错提示：（1）设未知数和写答案时都要带上单位. （2）写答案前，一定要先检验所得到的解是否符合实际问题. 返回目录 2. 列一元一次方程解实际问题中等量关系的常见类型 类型 重要等量关系 数字问题 10×十位数字＋个位数字＝两位数 定期储蓄 利息＝本金×利率×期数 本息和＝本金＋利息 打折销售 销售价＝标价×折扣 销售额＝销售价×销量 利润＝销售价－进价 利润＝进价×利润率 返回目录 类型 重要等量关系 行 程 问 题 数量关系 路程＝速度×时间 相向而遇 甲走的路程＋乙走的路程＝全程 同向追及 同地不同时：s先行者＝s追及者 同时不同地：s追及者＝s先行者＋两地距离 水中航行 顺水速度＝静水速度＋水流速度 逆水速度＝静水速度－水流速度 返回目录 类型 重要等量关系 工程问题 工作总量＝工作时间×工作效率 购买、分配问题 总数量＝甲数量＋乙数量＝ ＋ 总金额＝甲的金额＋乙的金额＝甲单价×数量＋乙 单价×乙数量 返回目录 　聚焦题型·重难突破　 题型1　一元一次方程的解法 　（2024·绵阳中考模拟）解方程： － ＝ . 分析：先去分母、去括号，然后移项、合并同类项，最后化未知数 的系数为1. 返回目录 解答：去分母，得： 3（2－5x）－4（5＋2x）＝6（1－3x）. 去括号，得6－15x－20－8x＝6－18x. 移项，得－15x－8x＋18x＝6－6＋20. 合并同类项，得－5x＝20. 系数化为1，得x＝－4. 解题技巧：解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、 合并同类项、系数化为1，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为 使方程逐渐向x＝a形式转化. 返回目录 题型2　二元一次方程组的解 　（湖北随州中考）已知二元一次方程组则x－y 的值为 　　　　　　　. 分析：（方法一）由x＋2y＝4可得x＝4－2y， 代入第二个方程中，可得2（4－2y）＋y＝5，解得y＝1. 将y＝1代入第一个方程中，可得x＋2×1＝4，解得x＝2. ∴x－y＝2－1＝1. 返回目录 （方法二） 由②－①，得x－y＝1. 答案：1 解题技巧：此题可以先解出二元一次方程组，再求代数式的值；也 可以观察代数式的特点，由两方程相减直接得到x－y的值，从而省略解 方程的步骤. 返回目录 题型3　一元一次方程的应用 　（2024·吉林长春中考）《九章算术》是我国第一部自成体系的 数学专著，其中“盈不足术”记载：今有共买金，人出四百，盈三千四 百；人出三百，盈一百.问人数、金价各几何？译文：今有人合伙买金， 每人出400钱，剩余3 400钱；每人出300钱，剩余100钱.问合伙人数和金 价各是多少？请解答这个问题. 分析：设合伙人数为x人，根据每人出400钱，剩余3 400钱；每人出 300钱，剩余100钱，列方程求解是解题关键. 返回目录 解答：设合伙人数为x人. 由题意，得400x－3 400＝300x－100. 解得x＝33. 则400x－3 400＝9 800. 即合伙人数为33人，金价为9 800钱. 解题技巧：本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等 量关系，列出一元一次方程. 返回目录 题型4　二元一次方程组的应用 　（2023·湖北宜昌中考）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节 吃粽子的习俗.某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付 款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍. 豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额 小欢妈妈 20 30 270 小乐妈妈 30 20 230 返回目录 　　（1）求豆沙粽和肉粽的单价. （2）超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，上表列出 了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位： 元）.根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价. 返回目录 分析：（1）设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为2x元，由购买 豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，列出方程即可求解.（2）设豆沙 粽优惠后的单价为a元，肉粽优惠后的单价为b元，由题意列出方程组， 即可求解. 解答：（1）设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为2x元. 根据题意，得10x＋12×2x＝136. 解得x＝4，∴2x＝8. 即豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元. 返回目录 （2）设豆沙粽优惠后的单价为a元，肉粽优惠后的单价为b元. 根据题意，得 解得 即豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元. 解题技巧：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的 应用，解题的关键是找准等量关系，分别正确列出二元一次方程组和一 元一次方程. 返回目录 　四川中考真题精练　 1. （2021·广元中考）解方程： ＋ ＝4. 解：去分母，得3（x－3）＋2（x－1）＝24.去括号，得3x－9＋2x－2 ＝24.移项、合并同类项，得5x＝35.系数化为1，得x＝7. 返回目录 2. （2020·凉山中考）解方程：x－ ＝1＋ . 解：去分母，得6x－3（x－2）＝6＋2（2x－1）.去括号，得6x－3x ＋6＝6＋4x－2.移项，得6x－3x－4x＝6－6－2.合并同类项，得－x ＝－2.系数化为1，得x＝2. 返回目录 3. （2023·眉山中考）已知关于x、y的二元一次方程组 的解满足x－y＝4，则m的值为（　B　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. （2022·雅安中考）已知是方程ax＋by＝3的解，则代数式 2a＋4b－5的值为 ⁠. B 1　 题型2　二元一次方程（组）的解及其解法 返回目录 5. （2021·凉山中考）已知是方程ax＋y＝2的解，则a的值 为 ⁠. －1　 返回目录 6. （2024·乐山中考）解方程组： 解：由①＋②，得3x＝9.解得x＝3.把x＝3代入②，得 y＝1.∴原方程组的解是 返回目录 7. （2021·眉山中考）解方程组： 解：方程组整理，得　由①×2－②×3，得－49y ＝－49.解得y＝1.把y＝1代入②，解得x＝－6.∴原方程组的解为 返回目录 核心素养·运算能力 8.（2023·江苏连云港中考）解方程组： 解： 由①＋②，得5x＝15.解得x＝3.将x＝3代入①， 得3×3＋y＝8.解得y＝－1.∴原方程组的解为 解： 由①＋②，得5x＝15.解得x＝3.将x＝3代入①， 得3×3＋y＝8.解得y＝－1.∴原方程组的解为 返回目录 （一）根据实际问题列方程组 9. （2022·南充中考）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同 笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？设鸡有x只，可列方 程为（　D　） A. 4x＋2（94－x）＝35 B. 4x＋2（35－x）＝94 C. 2x＋4（94－x）＝35 D. 2x＋4（35－x）＝94 D 返回目录 10. （2023·成都中考）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是 《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引 绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是： 用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长 木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（　A　） A A. （x＋4.5）＝x－1 B. （x＋4.5）＝x＋1 C. （x＋1）＝x－4.5 D. （x－1）＝x＋4.5 返回目录 11. （2024·南充中考）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问 开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗 中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每 一间客房住9人，那么就空出一间客房.设该店有客房x间、房客y人，下 列方程组中正确的是（　A　） A. B. C. D. A 返回目录 12. （2023·遂宁中考）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中 记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交 易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9 枚（每枚黄金质量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银质量相 同），两袋质量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子质 量忽略不计），问黄金、白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重 y两，根据题意得方程组（　D　） D A. B. C. D. 返回目录 （二）列一次方程（组）解决实际问题 13. （2023·巴中中考）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美 术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部 分，一部分做侧面，另一部分做底面.已知每张卡纸可以裁出2个侧面， 或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡 纸最多可以做成包装盒的个数为（　C　） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 C 返回目录 14. （2024·宜宾中考）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样 一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十 二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天 行150里，慢马先行12天.问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天 数是（　D　） A. 5天 B. 10天 C. 15天 D. 20天 D 返回目录 15. （2023·自贡中考）某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用 同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位.求该客车 的载客量. 解：设该客车的载客量为x人.根据题意，得4x＋30＝5x－10.解得x＝ 40.即该客车的载客量为40人. 返回目录 16. （2022·雅安中考）某商场购进A、B两种商品，已知购进3件A商品 和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元. （1）A、B两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解） 解：（1）设A商品每件的进价为x元，B商品每件的进价为y元.根据题 意，得解得即A商品每件的进价为100元，B 商品每件的进价为60元. 返回目录 （2）若该商场计划购进A、B两种商品共80件，其中A商品m件.若A商 品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，求销售完A、B两种商品 后获得总利润w（元）与m（件）的函数关系式. 解：（2）∵A商品m件，∴B商品（80－m）件，∴w＝（150－100） m＋（80－60）·（80－m）＝30m＋1 600. 返回目录 17. （2022·广元中考）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批 图书.已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类 图书和5本文学类图书需282元. （1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？ 解：（1）设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元.根据题 意，得解得即科技类图书的单价为38元，文 学类图书的单价为26元. 返回目录 （2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推 出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但 不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本 时的单价销售.社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少 于30本，但不超过60本.按此优惠，社区至少要准备多少购书款？ 返回目录 解：（2）设购买科技类图书m本，购买这两种图书的总金额为w元，则 购买文学类图书（100－m）本.①当30≤m≤40时，w＝38m＋26（100 －m）＝12m＋2 600.∵12＞0，∴w随m的增大而增大，∴ 2 960≤w≤3 080.②当40＜m≤50时，w＝[38－（m－40）]m＋26 （100－m）＝－（m－26）2＋3 276.∵－1＜0，∴当m＞26时，w随m 的增大而减小，∴2 700≤w＜3 080.③当50＜m≤60时，w＝[38－（50 －40）]m＋26（100－m）＝2m＋2 600.∵2＞0，∴w随m的增大而增 大，∴2 700＜w≤2 720.综上，当30≤m≤60时，w的最小值为2 700.即 社区至少要准备2 700元购书款. 返回目录 18. （2021·成都中考）为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管 理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行.某区域 原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置 点位进行初筛、压缩等处理.已知一个A型点位比一个B型点位每天多 处理7吨生活垃圾. （1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数； 解：（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾x吨，则每个A型点位每天 处理生活垃圾（x＋7）吨.根据题意，得12（x＋7）＋10x＝920.解得x ＝38.故每个B型点位每天处理生活垃圾38吨. 返回目录 （2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处 理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生 活垃圾比原来少10吨.若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少 需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？ 返回目录 解：（2）设需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾.由 （1），可知《条例》施行前，每个A型点位每天处理生活垃圾45吨，则 《条例》施行后，每个A型点位每天处理生活垃圾45－8＝37（吨）， 《条例》施行前，每个B型点位每天处理生活垃圾38吨，则《条例》施 行后，每个B型点位每天处理生活垃圾38－8＝30（吨）.根据题意，得 37（12＋y）＋30（10＋5－y）≥920－10，解得y≥ .∵y是正整数， ∴符合条件的y的最小值为3，即至少需要增设3个A型点位才能当日处理 完所有生活垃圾. 返回目录 核心素养·模型观念 19.（2024·成都中考）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个 题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三.问人数、琎价各 几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出 钱，会多出4钱；每人出 钱，又差了3钱.问人数、琎价各是多少？设人数为x个，琎价为y钱，则 可列方程组为（　B　） A. B. C. D. B 返回目录 核心素养·应用意识 20.（2022·湖南娄底中考）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分 泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用.已知一 片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍 少4mg，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg. （1）请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量. 解： 返回目录 解：（1）设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为xmg，一片国槐树叶一 年的平均滞尘量为ymg.根据题意，得 解得 即 一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40mg，一片国槐树叶一年的平均滞 尘量为22mg. 解：（1）设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为xmg，一片国槐树叶一 年的平均滞尘量为ymg.根据题意，得 解得 即 一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40mg，一片国槐树叶一年的平均滞 尘量为22mg. 返回目录 （2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据 估计三棵银杏树共有约50000片树叶.问这三棵银杏树一年的平均滞尘总 量约多少千克？ 解：（2）50000×40＝2000000（mg）＝2kg，即这三棵银杏树一年的 平均滞尘总量约2kg. 解：（2）50000×40＝2000000（mg）＝2kg，即这三棵银杏树一年的 平均滞尘总量约2kg. 返回目录 $$