精品解析：北京市东直门中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

北京市东直门中学2024~2025学年度第一学期期中考试 高三数学 2024.11 命题人：李伟峰 审稿人：盛晓艳 考试时间：120分钟 总分：150分 班级_________姓名__________学号__________ 第一部分（选择题） 一､选择题：（本题有10道小题，每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求集合，再根据集合间的关系和运算逐项分析判断. 【详解】由题意可知：， 所以之间没有包含关系，且，故ABC错误，D正确； 故选：D. 2. 已知角的终边在第三象限，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由同角之间的公式可求得，进而得解. 【详解】由角的终边在第三象限，则 由题设知，解得， 所以 故选：C 3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，基本初等函数的单调性，逐项判断即可. 【详解】对于A，函数为奇函数，但在定义域上函数不单调，故A不符合； 对于B，的定义域为，，则为偶函数，故B不符合； 对于C，的定义域为，，则为奇函数，又函数在上均为增函数，故在上为增函数，故C不符合； 对于D，的定义域为，，则为奇函数，又函数在上为减函数，在上为增函数，故在上为减函数，故D符合. 故选：D. 4. 设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 60 B. 80 C. 90 D. 100 【答案】D 【解析】 【分析】先求出等差数列的公差，再由等差数列的求和公式求解. 【详解】等差数列的公差为：， 则. 故选：D 5. 如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】 . 故选：D 6. 已知为等比数列，，公比为，则“”是“对任意的正整数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列通项公式得到的变形式，转化成关于公比的不等式，解得的取值范围，进而判定二者的关系. 【详解】由，即，即， ，可得，即. 所以不能推出，而可以推出， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 7. 点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（ ） A. 最大值为 B. 最小值为 C. 最小值为 D. 最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径的表达式，利用已知条件，得到圆心在直线上，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】由，得， 所以圆心为，半径为， 由题意可得直线经过圆心， 故有，即， 所以半径为， 当时，圆C的半径的最小值为. 故选：C. 8. 已知定点和拋物线是抛物线的焦点，是抛物线上的点，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线定义，数形结合即可求出的最小值. 【详解】 由题拋物线是抛物线的焦点， 则，准线方程为， 是抛物线上的点，过作垂直准线于， 过作垂直准线于交抛物线于， 则由抛物线定义知， 由图像可知, 即的最小值的最小值为， 由，准线方程为， 所以. 故选：C 9. “三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长求三角形面积，即．现有面积为的满足，则的周长是（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知及正弦定理计算即可. 【详解】根据正弦定理可知，不妨设， 由， 所以的周长是. 故选：C 10. 如图，已知BD是圆O的直径，AC是与BD垂直的弦，且AC与BD交于点E，点P是线段AD上的动点，直线交BC于点Q． 当取得最小值时，下列结论中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，由极化恒等式得到当最小时，取得最小值，取的中点，则，此时取得最小值，B正确，在结合中位线及圆中的性质得到ACD错误. 【详解】连接，则， 两式平方后相减可得，由于等于圆的半径，为定值， 故当最小时，取得最小值， 取的中点，则，此时取得最小值，B正确； A选项，因为BD是圆O的直径，AC是与BD垂直的弦，且AC与BD交于点E， 所以为的中点，故是的中位线，故， 因为，所以，则不垂直，A错误； C选项，由中位线可知，所以不平行，C错误； D选项，由中位线可知，所以不平行，D错误. 故选：B 第二部分（非选择题） 二､填空题：（本题有5道小题，每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】依题意，，解得， 所以的定义域为. 故答案为： 12. 已知平面向量，的夹角为120°，且，，则的值为______，的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】直接利用向量数量积的定义求解的值，由已知条件可得，配方后可求得其最小值 【详解】因为平面向量，的夹角为120°，且，， 所以， ， 所以当时，的最小值为， 故答案为： ， 13. 已知等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则数列的公比__________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式及等差数列的性质建立方程可求得结果. 【详解】∵成等差数列， ∴，即， ∴， ∴，解得或（舍）， ∴. 故答案为：3. 14. 在中，，.若，则______；若满足条件的三角形有两个，则的一个值可以是______. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】（1）由正弦定理， 代入条件得：， 解得：，所以， 所以若时，为直角三角形， 所以. （2）由正弦定理， 代入条件化简得：， 因为，所以， 所以， 即， 又，所以为锐角，所以，故可取 . 故答案为：2；. 15. 设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是______. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误. 【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上， 而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确. 对于②，取则均为等比数列， 但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误. 对于③，设，， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为， 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时， 否则，因单调性相反， 方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为， 方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即 否则，因单调性相反， 方程至多一个奇数解， 因为，不可能同时成立， 故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素， 取 ，则,故③正确. 对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势， 后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化. 三､解答题：（本题有6小题，共85分） 16. 已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求的值； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，若对恒成立，求的取值范围． 条件①：； 条件②：的最大值为； 条件③：在区间上单调递增． 注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分． 【答案】（1） （2）选择①②；②③；①③组合，都能得到； 【解析】 【分析】（1）根据题意求出函数的最小正周期，结合正弦型函数的周期公式可求得的值； （2）选①②，根据函数的最大值求出的值，根据结合的取值范围，求出的值，可得出函数的解析式； 选②③，根据函数的最大值求出的值，分析可知，，结合的取值范围，可求出的值，可得出函数的解析式； 选①③，分析可知，，结合的取值范围，可求出的值，再由可得出的值，即可得出的解析式； 再由结合正弦型函数的基本性质可求出的最小值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：因为的图象的相邻两个对称轴的距离为， 所以，函数的最小正周期为，所以． 【小问2详解】 解：选择条件①②． 因为的最大值为，所以，即． 由，得， 又因为，所以，所以函数的解析式为． 选择条件②③． 因为的最大值为，所以， 因为的最小正周期为，且在区间上单调递增， 又因为区间的长度为， 所以，即，得，则， 又因为，所以． 所以的解析式为． 选择条件①③． 因为的最小正周期为，且在区间上单调递增， 又因为区间的长度为， 所以，即， 得，则， 又因为，所以． 由，得，所以． 所以的解析式为． 因为，所以所以，故． 当时，的最小值为． 因为，恒成立，则， 所以的取值范围为． 17. 某种产品按照产品质量标准分为一等品､二等品､三等品､四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 数量 40 30 10 20 （1）根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为，求的分布列及数学期望； （2）若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率； （3）生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择， 方案一：产品不分类，售价均为21元/件. 方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 售价/（元/件） 24 22 18 16 从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由. 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 3 （2） （3）应该选择方案一 由题意得，方案二的产品的平均售价为： （元/件）， ∵， ∴从采购商的角度考虑，应该选择方案一. 【解析】 【分析】（1）利用分层抽样的知识求出抽取的10件产品中一等品和非一等品的数量，求出的所有可能取值及其对应的概率，写出分布列，求出数学期望. （2）由题意得出抽到四等品的数量，即可求解. （3）计算方案二的产品的平均售价，与方案一的产品的售价进行比较，即可得出结论． 【小问1详解】 由题可得，抽取的10件产品中，一等品有4件，非一等品有6件， 所以的可能取值为0，1，2，3． ，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 . 【小问2详解】 从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，记抽到四等品的数量为，则， ∴. 【小问3详解】 略 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，,为的中点，点在上，且． （1）求证：平面; （2）求二面角的余弦值； （3）设点在上，且．判断直线是否在平面内，说明理由． 【答案】（1）因为平面，平面，则， 由题意可知，且，平面， 由线面垂直的判定定理可得平面. （2） （3）直线在平面内，理由如下： 易知，，由，可得， 则，由平面的一个法向量为， 其中，且点在平面内，故直线在平面内. 【解析】 【分析】（1）由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论； （2）建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角的余弦值； （3）首先求得点的坐标，然后结合平面的法向量和直线的方向向量可判断直线是否在平面内. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为坐标原点，平面内与垂直的直线为轴， ，方向为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易知：，，， 由可得点的坐标为， 由可得，设平面的法向量为：， 则， 据此可得平面的一个法向量为：， 很明显平面的一个法向量为， 得到， 而二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点.以的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为. （1）求栯圆的方程； （2）设过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于不同的两点，与直线交于点.点在轴上，为坐标平面内的一点，四边形是菱形.求证：直线过定点. 【答案】（1） （2）证明：设直线的方程为， 令，得，即. 由得. 设，则. 设的中点为，则. 所以. 因为四边形为菱形， 所以为的中点，. 所以直线的斜率为. 所以直线的方程为. 令得.所以. 设点的坐标为，则， 即. 所以直线的方程为，即. 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据焦点三角形的周长以及等边三角形的性质可得且，即可求解得解， （2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，进而根据中点坐标公式可得，进而根据菱形的性质可得的方程为，即可求解，.进而根据点斜式求解直线方程，即可求解. 【小问1详解】 由题意可设椭圆的方程为. 因为以的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为， 所以且， 所以.所以. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法： （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 20. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求a的值； （3）若有两个不同的零点，且，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）求导可得，易知当时不符合题意；当时，利用导数研究函数的单调性可得，设，利用导数研究函数的性质即可求解； （3）易知当时不符合题意，当时，易知不符合题意；若，由（2）可知只需，解之即可. 【小问1详解】 由，得， 因为， 所以曲线在点处的切线方程为； 【小问2详解】 ， ①当时，，不符合题意. ②当时，令，解得， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值； 若恒成立，则， 设，则， 当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减， 所以，即的解为. 所以； 【小问3详解】 当时，，在区间上单调递增， 所以f（x）至多有一个零点，不符合题意； 当时，因为，不妨设， 若，则，不符合题意； 若，则， 由（2）可知，只需，即，解得， 即a的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略： 形如的恒成立的求解策略： 1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可； 3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 21. 如果数列对任意的，，则称为“速增数列”. （1）判断数列是否为“速增数列”？说明理由； （2）若数列为“速增数列”.且任意项，，求正整数k的最大值； （3）已知项数为（）的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于k，若，，证明：. 【答案】（1） 因为，则，， 又，故，数列是“速增数列”. （2） （3） ，故，即； ，故， 即， 同理可得：，，， 故， 故，，得证. 【解析】 【分析】（1）计算，，，得到答案. （2）根据题意得到，，计算当时，，当时，，得到答案. （3）证明，得到，得到，代入计算得到证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 当时，， 即，， 当时，，当时，， 故正整数k的最大值为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据题意利用累加法的思想确定是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市东直门中学2024~2025学年度第一学期期中考试 高三数学 2024.11 命题人：李伟峰 审稿人：盛晓艳 考试时间：120分钟 总分：150分 班级_________姓名__________学号__________ 第一部分（选择题） 一､选择题：（本题有10道小题，每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的终边在第三象限，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 60 B. 80 C. 90 D. 100 5. 如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知为等比数列，，公比为，则“”是“对任意的正整数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（ ） A. 最大值为 B. 最小值为 C. 最小值为 D. 最大值为 8. 已知定点和拋物线是抛物线的焦点，是抛物线上的点，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. “三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长求三角形面积，即．现有面积为的满足，则的周长是（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 36 10. 如图，已知BD是圆O的直径，AC是与BD垂直的弦，且AC与BD交于点E，点P是线段AD上的动点，直线交BC于点Q． 当取得最小值时，下列结论中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题） 二､填空题：（本题有5道小题，每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域为___________． 12. 已知平面向量，的夹角为120°，且，，则的值为______，的最小值为______． 13. 已知等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则数列的公比__________. 14. 在中，，.若，则______；若满足条件的三角形有两个，则的一个值可以是______. 15. 设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是______. 三､解答题：（本题有6小题，共85分） 16. 已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求的值； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，若对恒成立，求的取值范围． 条件①：； 条件②：的最大值为； 条件③：在区间上单调递增． 注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分． 17. 某种产品按照产品质量标准分为一等品､二等品､三等品､四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 数量 40 30 10 20 （1）根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为，求的分布列及数学期望； （2）若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率； （3）生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择， 方案一：产品不分类，售价均为21元/件. 方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 售价/（元/件） 24 22 18 16 从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，,为的中点，点在上，且． （1）求证：平面; （2）求二面角的余弦值； （3）设点在上，且．判断直线是否在平面内，说明理由． 19. 已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点.以的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为. （1）求栯圆的方程； （2）设过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于不同的两点，与直线交于点.点在轴上，为坐标平面内的一点，四边形是菱形.求证：直线过定点. 20. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求a的值； （3）若有两个不同的零点，且，求a的取值范围. 21. 如果数列对任意的，，则称为“速增数列”. （1）判断数列是否为“速增数列”？说明理由； （2）若数列为“速增数列”.且任意项，，求正整数k的最大值； （3）已知项数为（）的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于k，若，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $