精品解析：宁夏银川市景博中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

景博中学 2024-2025学年第一学期期中考试 高一数学试题 班级：________ 姓名：________ 考号：________ 时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是 （ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数与函数是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数满足．若，则（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 0 7. 已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上是单调的函数，则实数a的取值范围是（    ）. A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. “”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象过点 B. 的图象关于y轴对称 C. 在上单调递增 D. 11. （多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则________． 13. 函数的单调递减区间为________． 14. 若存在，使不等式成立，则实数取值范围是__. 四、解答题（共77分） 15. 已知全集，集合，集合. （1）求； （2）求. 16. （1）已知，，求，求的最小值. （2），求的最大值. 17. 已知函数， （1）在同一坐标系里画出函数的图象； （2），用表示中的较小者，记为，请分别图象法和解析法表示函数． 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求，的值； （2）用定义法求函数在上的单调性，并求出值域； （3）设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数为上的增函数，对于任意，都有，且当时，. （1）求； （2）证明函数是奇函数； （3）解关于的不等式， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景博中学 2024-2025学年第一学期期中考试 高一数学试题 班级：________ 姓名：________ 考号：________ 时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用并集概念计算即可. 【详解】，，则. 故选：A. 2. 命题“”的否定是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题即可求解. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：D. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据0的0次幂无意义，分母不为0和偶次根式下不小于0列出不等式组，解出即可. 【详解】要使函数有意义，需满足，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 4. 下列函数与函数是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】定义域和对应关系均相同才是同一函数，从而对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】对于A，，对应关系不同，与函数不是同一函数； 对于B，，与函数的定义域和对应关系都相同，所以它们是同一函数； 对于C，，对应关系不同，与函数不是同一函数； 对于D，，与函数的定义域不同，所以与函数不是同一函数. 故选：B 5. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察四个选项函数图像的差别，发现在定义域上取值不同，故利用特殊值点的函数值来确定函数大致图像. 【详解】定义域为： ， ， 故选：D 6. 已知函数满足．若，则（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】中令，结合可得答案. 【详解】令， 因为，且， 所以，可得， 故选：C. 7. 已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义确定函数的单调性，再结合偶函数的性质求解不等式. 【详解】由，都有成立，得函数在上单调递增， 又函数是上的偶函数，则， 因此，解，得或， 解，得，于是， 所以实数m的取值范围为. 故选：B 8. 已知函数在上是单调的函数，则实数a的取值范围是（    ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，按函数为增函数和减函数两种情况讨论，分别求出的取值范围，综合可得答案． 【详解】因为在上是单调的， 当时，，不满足条件； 当时，若在上单调递增，则，解得， 当时，若在上单调递减，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：B. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. “”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据充分不必要条件逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，“”是“”的一个必要不充分条件，故A错误； 对于B，“”是“”的一个充分不必要条件，故B正确； 对于C，“”是“”的一个充分不必要条件，故C正确； 对于D，“”是“”的一个必要不充分条件，故D错误. 故选：BC. 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象过点 B. 的图象关于y轴对称 C. 在上单调递增 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数的性质求解即可. 【详解】对于选项A，因为，所以的图象过点，故A正确； 对于选项B，函数定义域为R，且，所以为偶函数，图象关于y轴对称，故B正确； 对于选项C，当时，，根据幂函数性质可知，在上单调递增，故C正确； 对于选项D，因为，所以，故D错误. 故选：ABC 11. （多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三个二次关系，待定系数可确定参数之间的关系及符号一一判定选项即可. 【详解】关于的不等式的解集为或， ，故A错误； 对于B、C选项，已知和3是关于的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则，， 不等式，即，又，解得，B正确； 且，C错误； 对于D选项，不等式，即，即， 解得或， 故不等式的解集为或，D正确. 故选：BD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则________． 【答案】-2 【解析】 【分析】由奇函数的性质求解即可； 【详解】由题意可得， 又当时，， 所以， 所以， 故答案为：-2. 13. 函数的单调递减区间为________． 【答案】， 【解析】 【分析】化简为分段函数，去掉绝对值．利用二次函数的图象及性质即可得到答案． 【详解】函数 化简为： ，开口向上，对称轴，所以在是减区间，在是增区间； ，开口向上，对称轴，所以在是增区间，在是减区间； 所以：的单调递减区间和． 故答案为：，． 14. 若存在，使不等式成立，则实数取值范围是__. 【答案】. 【解析】 【分析】 对不等式进行参变量分离得到，然后令，， 即可以得到的取值范围. 【详解】由题意，可知：，可得： 令，. 在上单调减，在上单调增，而，. . 根据题意 故答案为:. 【点睛】本题考查能成立问题的解决思路以及参变量分离方法，属中档题. 四、解答题（共77分） 15. 已知全集，集合，集合. （1）求； （2）求. 【答案】（1）， （2）, 【解析】 【分析】（1）根据并集、交集的知识求得正确答案. （2）根据补集、交集、并集的知识求得正确答案. 【小问1详解】 依题意，，. 【小问2详解】 ，所以， ，所以. 16. （1）已知，，求，求的最小值. （2），求的最大值. 【答案】（1）；（2）1 【解析】 【分析】（1）利用常值代换法和基本不等式易求得的最小值； （2）根据“和定积最大”，由基本不等式易求的最大值. 【详解】（1）因，，， 则 当且仅当时取等号，由，解得. 即当，时，有最小值为； （2）因，则，由， 当且仅当时取等号. 即时有最大值为1. 17. 已知函数， （1）在同一坐标系里画出函数的图象； （2），用表示中的较小者，记为，请分别图象法和解析法表示函数． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）结合二次函数与一次函数图象分别为抛物线和直线，画出函数图象； （2）先根据（1）中两函数图象得到的图象，再写出的解析式. 【小问1详解】 结合函数， 画出对应的图像 【小问2详解】 由图可知： 解析法表示函数. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求，的值； （2）用定义法求函数在上的单调性，并求出值域； （3）设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）函数在上单调递增， （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质以及，代入函数解析式后可求得a，b的值. （2）用定义法设，，比较与大小即可得出单调性，再根据单调性求出函数在定义域上的最大最小值即可得出函数值域. （3）因为（2）已经求出的值域，所以要使得对任意的，对任意的，成立，只需要对任意的，即可，从而将问题转化为不等式恒成立问题，再讨论当k在不同区间时满足不等式的条件即可得出最终k的取值范围. 【小问1详解】 由题意得，因为是定义在的奇函数，所以，即， 所以， 又，所以，解得.所以. 【小问2详解】 由（1）可知， 设， 则， 因为，所以，，， 所以． 所以函数在上单调递增． 所以的最小值为，最大值为， 所以函数在上的值域为． 【小问3详解】 由（2）可得，， 所以要使得对任意的，对任意的，成立， 只需要对任意的，即可， 所以问题可转化为：当时，恒成立． ① 若，则在上为增函数， 由； ② 若，则，此时在上恒成立； ③ 若，则在上为减函数， 由. 综上可知：． 即实数k的取值范围是：． 19. 已知函数为上的增函数，对于任意，都有，且当时，. （1）求； （2）证明函数是奇函数； （3）解关于的不等式， 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据抽象函数关系式采用赋值法求解的值； （2）根据奇函数的定义验证即可； （3）根据知己确定函数的单调性，将不等式转化为含参一元不等式，分类讨论解不等式即可得结论. 【小问1详解】 对于任意，都有. 令得即 【小问2详解】 函数定义在上， 由（1）并令得，即 所以函数是奇函数 【小问3详解】 原不等式即， 由（2）是奇函数及对，都有， 得即， 任取、，且， 则， 由，．， ，即， 从而在上是增函数； 所以，即， 当时不等式即，解集为， 当时，方程的两根为或， ①当时，，所求不等式的解集为； ②当时，，所求不等式的解集为； ③当时，，所求不等式的解集为； 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $