精品解析：广东省佛山市南海区南执高级中学2024-2025学年高二上学期10月阶段性考试数学试题

南执高级中学2024-2025学年上学期10月份阶段性考试试卷 高二数学 考试时间：120分钟；卷面分值：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 某人打靶时，连续射击两次，事件A＝“至少有一次中靶”，B＝“两次都不中靶”，则（ ） A. A⊆B B. B⊆A C. A∩B＝∅ D. ∩B＝∅ 【答案】C 【解析】 【分析】列举射击2次的基本事件，分析A、B的关系. 【详解】连续射击两次，用，（ x、y取0,1，取0表示射中，取1表示未射中）表示基本事件，包括： 其中 故A∩B＝∅，其他都不对. 故选：C 【点睛】判断两个事件是否互斥（对立）： ①定义法；②直接法：利用生活常识直接判断；③集合法：把事件A、B对应的基本事件用集合表示，根据两个集合的交集为空集，可判断A、B互斥；若两个集合的交集为空集，同时二者的并集为全集，则A、B为对立事件. 2. 某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本事件的概念一一列举即可得出选项. 【详解】解析：该生选报的所有可能情况是：数学和计算机、数学和航空模型、 计算机和航空模型，所以样本点有3个. 故选：C 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的运算法则即可求解. 【详解】. 故选：C. 4. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=“抽到一等品”，事件B = “抽到二等品”，事件C =“抽到三等品”，且已知 P（A）= 0.65 ,P(B)=0.2 ,P(C)=0.1．则事件“抽到的不是一等品”的概率为 A. 0.65 B. 0.35 C. 0.3 D. 0.005 【答案】B 【解析】 【详解】分析：根据对立事件的概率公式求解. 详解：由题得事件“抽到的不是一等品”的概率为P=1-0.65=0.35. 点睛：(1)本题主要考查对立事件的概率公式，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)对立事件的概率公式为. 5. 设OABC是四面体，若D为BC的中点，，则（x，y，z）为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量加减法与数乘运算，即可得到结果. 【详解】, 又， ∴（x，y，z）， 故选：B 6. 设x，，向量，，，且，，（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，可得，即可求得x，根据，可得对应坐标成比例，即可求得y，即可得坐标，代入公式，即可得答案. 【详解】因为，所以，解得，所以， 因为，所以，解得，所以， 所以， 所以. 故选：B 7. 《列子》中《歧路亡羊》的内容为：杨子之邻亡羊(亡：丢失)，既率其党，又请杨子之竖(竖：书童)追之.杨子曰：“嘻!亡一羊，何追者之众？”邻人曰：“多歧路(歧路：岔路口).”既反，问：“获羊乎？”曰：“亡之矣”﹒曰：“奚亡之？”曰：“歧路之中又有歧焉，吾不知所之，所以反也.”这是一篇古人杨子的邻居寻羊的故事，寓意深刻，假定所有分岔口都有两条新的歧路，且歧路等距离出现，丢失的这只羊在每个分岔口走两条新歧路的可能性是相等的，当羊走过5个岔路口后，杨子的邻人动员了7个人去找羊，则找到羊的可能性为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得规律为：第n个分岔口时，共有条歧路，当羊走过n个分岔口后，找到羊的概率为，然后根据题中数据进行计算即可得解. 【详解】当到第n个分岔口时，共有条歧路，当羊走过n个分岔口后，找到羊的概率为， 当时，每个人找到羊的概率为，故派出7个人去找羊，找到羊的概率为. 故选：A. 8. 如图，在菱形ABCD中，，线段AD，BD的中点分别为E，F．现将沿对角线BD翻折，则异面直线BE与CF所成角的取值范围（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可设菱形的边长为1，从而由条件可得到，，根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义可得到，，然后进行向量数量积的运算可求出，从而可得到，而由可得，从而可以得到向量，夹角的范围，进而便可得出异面直线BE与CF所成角的取值范围． 【详解】可设菱形的边长为1，则，； 线段AD，BD的中点分别为E，F； ∴，； ∴ ； ∴； 由图看出； ∴； ∴； 又因为异面直线夹角范围是， 即异面直线BE与CF所成角的取值范围是． 故选：C． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.） 9. 概率是对随机事件发生可能性大小的度量，通过试验和观察的方法可以得到试验中某事件发生的频率，进而用频率得到某事件的概率的估计．利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件“一个正面朝上，一个反面朝上”．发生的频数和频率表如下： 序号 频数 频率 频数 频率 频数 频率 1 12 0.6 56 0.56 261 0.522 2 9 0.45 50 0.55 241 0.482 3 13 0.65 48 0.48 250 0.5 4 7 0.35 55 0.55 258 0.516 5 12 0.6 52 0.52 253 0.506 用折线图表示频率的波动情况如下图所示： 根据以上信息，下面说法正确的有（ ） A. 试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性； B. 试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小；所以试验时，试验次数越少越好； C. 随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值（即随机事件发生的概率）附近； D. 我们要得到某事件发生的概率时，只需要做一次随机试验得到事件发生的频率即为概率． 【答案】AC 【解析】 【分析】根据频率、概率的知识确定正确选项. 【详解】“试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性”，A正确； “试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小；所以试验时，试验次数越多越好”，B错误； “随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值（即随机事件发生的概率）附近”，C正确、D错误. 故选：AC 10. 某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，则下列说法错误的是：（ ） A. 两人均获得满分的概率为 B. 两人至少一人获得满分的概率为 C. 两人恰好只有甲获得满分的概率为 D. 两人至多一人获得满分的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用独立事件同时发生的概率公式和对立事件概率公式计算各自的概率，进而作出判定. 【详解】∵甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立， 分别记甲、乙得满分的事件为，则独立. ∴两人均获得满分的概率为: ,故正确; 两人至少一人获得满分的概率为: ，故错误； 两人恰好只有甲获得满分的概率为: ，故错误； 两人至多一人获得满分的概率为: ，故错误. 故选：. 11. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与是平行直线 B. 直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 平面截正方体所得的截面面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法可判断A、B、C，作出平面截正方体所得的截面即可求出面积判断D. 【详解】对于A，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，． ∵分别为棱的中点，∴、， 则，，∴和不共线，故A错误； 对于B，∵，，∴， ∴，∴直线与所成的角为，故B正确． 对于C，由于平面的一个法向量为， ， ∴，直线与平面所成的角为，故C正确； 对于D，连接，易知，则平面截正方体所得的截面为等腰梯形， ∵棱长为2，∴，，， ∴等腰梯形的高为， ∴，故D正确， 故选：BCD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知随机事件，互斥，且，，则________. 【答案】0.5 【解析】 【分析】根据两个事件是互斥事件，得到两个事件的和事件的概率等于两个事件的概率的和，根据所给的两个事件的概率，相减即可得到结果. 【详解】随机事件，互斥， , . 故答案为：0.5. 【点睛】本题主要考查互斥事件的概率加法公式，属于基础题型. 13. 已知P和不共线三点A,B,C,四点共面且对于空间任意一点O，都有 ，则λ＝________. 【答案】－2 【解析】 【分析】由题意结合四点共面的充分必要条件整理计算即可求得最终结果. 【详解】由四点共面的充分必要条件可得：，解得：. 故答案为． 【点睛】本题主要考查四点共面的充分必要条件及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14. 已知，则函数在区间(1，+∞)上为增函数的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】由于，所以基本事件总数，然后分和讨论函数区间(1，+∞)上为增函数的情况，从而可求得其概率 【详解】解：∵， ∴基本事件总数.用(a，b)表示a，b的取值. 若函数在区间(1，+∞)上为增函数，则①当时，， 符合条件的只有，即； ②当时，需满足，符合条件的有，共4种. ∴函数在区间(1，+∞)上为增函数的概率 故答案为： 四、解答题（本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知袋子内装有大小质地完全相同的小球，其中2个红球，m个黄球，1个白球，若从中随机抽取一个小球，抽到每个小球的概率为. （1）求m的值； （2）若从中不放回地随机取出两个小球，求只有一个黄球的概率. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据概率的计算公式可得，进行计算即可； （2）列出摸出两个小球的所有可能，由概率的计算公式即可得解. 【详解】（1）由题意知，. （2）记两个红球分别为，，两个黄球分别为，，一个白球为，从中不放回地随机抽取两个小球的所有情况为，，，，，，，，，， 只有一个黄球的概率为. 16. 如图在边长是2的正方体中，，分别为，的中点. （1）求直线与直线所成角的大小. （2）求证：平面. 【答案】（1） （2）证明：， ，故⊥， ，故⊥， 因为，平面， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两直线夹角的余弦值，得到角的大小； （2）计算出，故⊥，⊥，从而证明出线面垂直. 【小问1详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 则， 故直线与直线所成角的大小为； 【小问2详解】 略 17. 成都市海关对同时从，，三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取5件样品进行检测. 地区 数量 50 50 150 （1）求这5件样品中来自，，各地区商品的数量； （2）若在这5件样品中随机抽取3件送往甲机构进行进一步检测，求这3件商品并非全选自同一地区的概率. 【答案】（1）5件样品中来自地区商品的数量为件，地区商品的数量为件，地区商品的数量为件. （2） 【解析】 【分析】（1）先求出总体数量，再根据抽样比求出各地区抽取的样品数量. （2）先计算出从5件样品中选3件的总数，再求出3件商品全选自同一地区的数，最后根据古典概率公式计算概率. 【小问1详解】 总体数量为件. 因为要抽取件样品，所以抽样比为. 地区抽取的样品数量为件. 地区抽取的样品数量为件. 地区抽取的样品数量为件. 因此这5件样品中来自地区商品的数量为件，地区商品的数量为件，地区商品的数量为件. 【小问2详解】 5 件商品分别记为 . 那么从 5 件商品中选 3 件的所有组合有： 一共 10 种. 其中3件全选自 C 地区的只有这 1 种. 所以 3 件商品并非全选自同一地区的组合有 9 种，概率就是 . 所以这3件商品并非全选自同一地区的概率为. 18. 如图，四棱锥中，底面，，，，，是的中点. （1）求证：； （2）求证：平面； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 证明：因为底面， AB， 平面ABCD，所以，， 又 故以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，所以，， 所以，所以． （2） 证明：由（1），得． 设向量是平面的法向量，则，即， 取，则，所以，所以， 所以平面． （3） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，得到，，计算得到，即证明； （2）先写出坐标，再求出平面ABE的法向量，验证可知∥，即证明平面； （3）利用空间向量中点到面的距离公式，列出计算公式，计算可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （3）由（2）可知平面ABE的法向量，， 设C点到平面ABE的距离为d，则. 19. 在底面是菱形的四棱锥中，已知，，过作侧面的垂线，垂足恰为棱的中点. （1）求平面与平面夹角的余弦值 （2）在棱上是否存在一点，使得平面，若存在求的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，建立如图所示坐标系，分别求出平面和平面的法向量，代入空间向量的二面角公式计算即可； （2）连接AO，证明平面AOD，再过O作于E，证明面SBC，再根据三角形中的关系求解DE的长即可； 【小问1详解】 连接，由可得， 又面，面，所以两两垂直， ，， 所以以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 因为，所以， ，设平面的法向量为， 则，即，取，则， 取平面的法向量为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 【小问2详解】 连接AO，，O是BS的中点，， 面ABS，面ABS，，    又平面AOD，平面AOD， 过O作于E，则， 平面AOD，， 又平面SBC，面SBC， 在中，， ， ∵，∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南执高级中学2024-2025学年上学期10月份阶段性考试试卷 高二数学 考试时间：120分钟；卷面分值：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 某人打靶时，连续射击两次，事件A＝“至少有一次中靶”，B＝“两次都不中靶”，则（ ） A. A⊆B B. B⊆A C. A∩B＝∅ D. ∩B＝∅ 2. 某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=“抽到一等品”，事件B = “抽到二等品”，事件C =“抽到三等品”，且已知 P（A）= 0.65 ,P(B)=0.2 ,P(C)=0.1．则事件“抽到的不是一等品”的概率为 A. 0.65 B. 0.35 C. 0.3 D. 0.005 5. 设OABC是四面体，若D为BC的中点，，则（x，y，z）为（ ） A. B. C. D. 6. 设x，，向量，，，且，，（ ） A. B. 3 C. 4 D. 7. 《列子》中《歧路亡羊》的内容为：杨子之邻亡羊(亡：丢失)，既率其党，又请杨子之竖(竖：书童)追之.杨子曰：“嘻!亡一羊，何追者之众？”邻人曰：“多歧路(歧路：岔路口).”既反，问：“获羊乎？”曰：“亡之矣”﹒曰：“奚亡之？”曰：“歧路之中又有歧焉，吾不知所之，所以反也.”这是一篇古人杨子的邻居寻羊的故事，寓意深刻，假定所有分岔口都有两条新的歧路，且歧路等距离出现，丢失的这只羊在每个分岔口走两条新歧路的可能性是相等的，当羊走过5个岔路口后，杨子的邻人动员了7个人去找羊，则找到羊的可能性为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形ABCD中，，线段AD，BD的中点分别为E，F．现将沿对角线BD翻折，则异面直线BE与CF所成角的取值范围（ ）. A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.） 9. 概率是对随机事件发生可能性大小的度量，通过试验和观察的方法可以得到试验中某事件发生的频率，进而用频率得到某事件的概率的估计．利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件“一个正面朝上，一个反面朝上”．发生的频数和频率表如下： 序号 频数 频率 频数 频率 频数 频率 1 12 0.6 56 0.56 261 0.522 2 9 0.45 50 0.55 241 0.482 3 13 0.65 48 0.48 250 0.5 4 7 0.35 55 0.55 258 0.516 5 12 0.6 52 0.52 253 0.506 用折线图表示频率的波动情况如下图所示： 根据以上信息，下面说法正确的有（ ） A. 试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性； B. 试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小；所以试验时，试验次数越少越好； C. 随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值（即随机事件发生的概率）附近； D. 我们要得到某事件发生的概率时，只需要做一次随机试验得到事件发生的频率即为概率． 10. 某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，则下列说法错误的是：（ ） A. 两人均获得满分的概率为 B. 两人至少一人获得满分的概率为 C. 两人恰好只有甲获得满分的概率为 D. 两人至多一人获得满分的概率为 11. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与是平行直线 B. 直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 平面截正方体所得的截面面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知随机事件，互斥，且，，则________. 13. 已知P和不共线三点A,B,C,四点共面且对于空间任意一点O，都有 ，则λ＝________. 14. 已知，则函数在区间(1，+∞)上为增函数的概率为________. 四、解答题（本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知袋子内装有大小质地完全相同的小球，其中2个红球，m个黄球，1个白球，若从中随机抽取一个小球，抽到每个小球的概率为. （1）求m的值； （2）若从中不放回地随机取出两个小球，求只有一个黄球的概率. 16. 如图在边长是2的正方体中，，分别为，的中点. （1）求直线与直线所成角的大小. （2）求证：平面. 17. 成都市海关对同时从，，三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取5件样品进行检测. 地区 数量 50 50 150 （1）求这5件样品中来自，，各地区商品的数量； （2）若在这5件样品中随机抽取3件送往甲机构进行进一步检测，求这3件商品并非全选自同一地区的概率. 18. 如图，四棱锥中，底面，，，，，是的中点. （1）求证：； （2）求证：平面； （3）求点到平面的距离. 19. 在底面是菱形的四棱锥中，已知，，过作侧面的垂线，垂足恰为棱的中点. （1）求平面与平面夹角的余弦值 （2）在棱上是否存在一点，使得平面，若存在求的长；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $