江西省南昌市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

南昌一中2024-2025学年度上学期高二期中考试 数学试卷 命题人：赵子锋 审题人：喻瑞明 试卷总分：150分 考试时长：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）。 1.直线的倾斜角为(    ) A. B. C. D. 2.圆：和圆：的位置关系是(    ) A. 内切 B. 相离 C. 相交 D. 外切 3.已知椭圆的离心率为，则(    ) A. B. C. D. 4.与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程为(    ) A. B. C. D. 5.若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为(    ) A. B. C. D. 6.若关于的方程有两个不同实数解，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 7.吹奏乐器“埙”如图在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆半椭圆且为常数和半圆组成的曲线如图所示，曲线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，点是半圆上任意一点，当点的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是(    ) A. B. C. D. 8．定义：若点在椭圆上，则以为切点的的切线方程为已知椭圆：，点为直线上一个动点，过点作椭圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点(    ) A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求）。 9．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为(    ) A. B. C. D. 10.已知直线：与圆：，则下列说法中正确的是(    ) A. 直线与圆一定相交 B. 若，则直线与圆相切 C. 当时，直线被圆截得的弦最长 D. 圆心到直线的距离的最大值为 11．曲线是由方程和共同构成，点为曲线上一点，则下列结论正确的是（   ） A．该曲线的图象关于对称 B．曲线围成的图形面积大于7 C．的最大值为2 D．若与直线有4个公共点，则的取值范围是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）。 12．已知直线：，：，则与的距离为          ． 已知是椭圆的左焦点，是椭圆上一动点，若，则的最大值为_________. 14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且轴，过点作的平分线的垂线，与直线交于点，若点在圆上，则的离心率为          ． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。 15（本小题13分）求符合下列要求的曲线的标准方程： 已知椭圆的焦点在轴，且长轴长为，离心率为； 已知双曲线以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点 16（本小题15分）已知圆：． 求过点且与圆相切的直线方程 已知直线被圆截得的弦长为，求实数的值． 17（本小题15分）如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物.现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以AB所在直线为轴，AB中点为原点建立直角坐标系. (1)工人计划将树苗分别沿和两条折线段路线搬运至处，请判断哪条搬运路线最短？并说明理由； (2)工人准备将处树苗运送到苗圃内的点处，计划合理设计点的位置，使得沿和两条折线段路线运输的距离相等.请写出所有满足要求的点的轨迹方程. 18（本小题17分）如图，已知椭圆C:,点P（3,1），斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直. (1)若，求的方程； (2)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值. 19（本小题17分）已知抛物线的焦点为，过圆的圆心的直线交抛物线与圆分别为（从左到右）. (1)若抛物线的焦点与圆心重合，求抛物线的方程； (2)若抛物线和圆只有一个公共点，求的取值范围； (3)在（1）的条件下，的面积满足：，求弦的长. 试卷第1页，共3页 南昌一中2024-2025学年度上学期高二期中考试 数学 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$