精品解析：甘肃省金昌市永昌县第一高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

永昌县第一高级中学2024—2025—1期中考试卷 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：湘教版必修第一册第1章～第3章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 设命题，使得，则为（ ） A. ，都有 B. ，都有 C. ，使得 D. ，使得 3. 如图是函数的图象，其定义域为，则函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 4. 下列选项中的两个函数表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5. 已知关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（ ） A. B. ，或 C. ，或 D. 6. 已知函数为奇函数，则（ ） A. B. ， C. ， D. ， 7. 已知，为正实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 8. 已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列能够表示集合到集合的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 关于x的不等式（其中），其解集可能是（ ） A. B. R C. D. 11. 定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则（ ） A. 方程有且仅有3个解 B. 方程有且仅有3个解 C. 方程有且仅有5个解 D. 方程有且仅有1个解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是__________. 13. 已知函数是一次函数，满足，则的解析式____ 14. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为实数，，． （1）当时，求的取值集合； （2）当为的真子集时，求的取值集合. 16. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 17. 已知函数． （1）简述图象可由的图象经过怎样平移得到； （2）证明：的图象是中心对称图形，并计算的值． 18. 如图所示，为宣传某运动会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为. （1）求关于的函数表达式； （2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸是最少？ 19. 已知函数为奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并证明； （3）解关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永昌县第一高级中学2024—2025—1期中考试卷 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：湘教版必修第一册第1章～第3章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先求得，从而求得正确答案. 【详解】，，所以. 故选：B 2. 设命题，使得，则为（ ） A. ，都有 B. ，都有 C. ，使得 D. ，使得 【答案】A 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题，即可求解. 【详解】为，都有． 故选：A． 3. 如图是函数的图象，其定义域为，则函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像判断单调性，解题时需注意单调区间不能用. 【详解】若函数单调递减，则对应图象呈下降趋势，由图知，的单调递减区间为和， 故选：C. 4. 下列选项中的两个函数表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据相等函数的概念求解. 【详解】对A，函数的定义域为，的定义域为，A错误； 对B，函数的定义域为，的定义域为，B错误； 对C，函数与对应关系不一致，C错误； 对D，与函数定义域，对应关系完全相同，D正确； 故选:D. 5. 已知关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（ ） A. B. ，或 C. ，或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集得出，再化简得出，即可得出不等式的解集. 【详解】关于的一元二次不等式的解集为， 则，且是一元二次方程的两根， 于是，解得， 则不等式化为， 即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A. 6. 已知函数为奇函数，则（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用奇函数的性质，得到对于恒成立，即可求解. 【详解】由题意得，，即， 整理得，即对恒成立， ∴，∴，. 故选：D. 7. 已知，为正实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据差比较法、充分和必要条件等知识来确定正确答案. 【详解】依题意，，为正实数， 由，得，所以，则充分性成立； 由，得，则，所以，则必要性成立． 综上可知，“”是“”的充要条件． 故选：D． 8. 已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意根据函数单调性定义可得在上单调递增，原不等式等价于，即可解出. 【详解】由，得， 令，则，因此函数在上单调递增， 由，得， 由，得， 即，则，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列能够表示集合到集合的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的概念判断各选项即可. 【详解】对于A，在中，当时，对应的函数值为都属于集合，故A正确； 对于B，在中，当时，对应的函数值为都属于集合，故B正确； 对于C，在中，当时，对应的函数值为，与集合不对应，故C错误； 对于D，在中，当时，对应的函数值为都属于集合，故D正确. 故选：ABD. 10. 关于x的不等式（其中），其解集可能是（ ） A. B. R C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，一定满足不等式，A错误；B选项，当，时满足要求；C选项，当，时满足要求；D选项，当，时满足要求. 【详解】A选项，当时，，所以解集不可能为，故A错误； B选项，当，时，不等式恒成立，即解集为R，故B正确； C选项，当，时，不等式的解集为，故C正确； D选项，当，，不等式的解集为，故D正确． 故选：BCD． 11. 定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则（ ） A. 方程有且仅有3个解 B. 方程有且仅有3个解 C. 方程有且仅有5个解 D. 方程有且仅有1个解 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复合函数的零点求解方法，从外到内数形结合分析，即可判断和选择. 【详解】对于选项A：由数形结合可知：令, 或或; 令,, 因为，所以， 由数形结合可知：,都有一个根， 故方程有且仅有3个解，故选项A正确; 对于选项B：由数形结合可知：令, ;令， 因为，由数形结合可知：都有3个根， 方程有且仅有3个解，故选项B正确; 对于选项C: 由数形结合可知：令, 或或; 令,, 由题可知：，， 由数形结合可知，,各有三解， 故方程有且仅有9个解,故选项C错误； 对于选项D：由数形结合可知：令, ;令， 因为，所以只有1解， 故方程有且仅有1个解,故选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数，则可得到函数的零点个数. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式建立不等式求解即可. 【详解】由，即，解得， 即函数的定义域是. 故答案为： 13. 已知函数是一次函数，满足，则的解析式____ 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意设设，进而利用待定系数法求解即可. 【详解】解：设， 由题意可知， 所以，解得或， 所以或. 故答案为：或 14. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性列不等式组，由此求得的取值范围. 【详解】若使在上单调递增，则； 若使在上单调递增，则． 若使函数在上单调递增， 则解得，故实数的取值范围为． 故答案为： 【点睛】方法点睛： 解决分段函数单调性问题，关键是分别分析各段函数的单调性，对于二次函数，根据对称轴与单调性的关系确定参数范围；对于一次函数，根据的系数与单调性的关系确定参数范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为实数，，． （1）当时，求的取值集合； （2）当为的真子集时，求的取值集合. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分、两种情况讨论，求出集合，根据可得出关于的等式，即可求得实数的值； （2）分、、且三种情况，求出集合、，根据可得出关于的等式，即可解得实数的值. 【小问1详解】 解：因为， 所以当时，，当时，． 又，所以，此时，满足． 所以当时，的取值集合为． 【小问2详解】 解：当时，，为的真子集不成立； 当时，，，为的真子集成立； 当且时，，，由为真子集，得，所以． 综上，的取值集合为． 16. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1），的值分别为，，或，. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集得出一元二次方程的根，从而求得值； （2）由判别式可得． 【小问1详解】 由题意可知，，1是方程的两根， 所以，， 解得，或，. 故，的值分别为，，或，. 【小问2详解】 当时，， 若在上恒成立，即的图象与轴至多有一个交点， 则， 即，解得， 故的取值范围是. 17. 已知函数． （1）简述图象可由的图象经过怎样平移得到； （2）证明：的图象是中心对称图形，并计算的值． 【答案】（1）由于， 所以的图象可由的图象先向左平移一个长度单位，再向上平移一个长度单位得到． （2）证明：因为， 所以的图象关于中心对称； 则，，…，， 所以． 【解析】 【分析】（1）变形函数，再利用平移变换求出变换过程. （2）利用中心对称的定义计算推理得证；再利用对称性求出函数值及和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图所示，为宣传某运动会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为. （1）求关于的函数表达式； （2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸是最少？ 【答案】（1） （2）海报长42，宽24时，用纸量最少，最少用纸量为. 【解析】 【分析】（1）由实际问题得出长和宽，建立函数的表达式即可； （2）由（1）知，然后由基本不等式求解最小值，及取得等号的条件即可. 【小问1详解】 由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为， ， 整理得. 【小问2详解】 由（1）知，即， 由基本不等式可得， 令，则，解得（舍去）或. ，当且仅当即时等号成立， 海报长42，宽24时，用纸量最少，最少用纸量为. 19. 已知函数为奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并证明； （3）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 在上单调递增，证明如下： 任取，且，则 ， ， 又，且， 所以，则， 所以，即， 所以在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）由题给条件列出关于的方程，解之即可求得的值，进而得到函数的解析式； （2）利用增函数定义即可证得函数在上的单调递增； （3）利用奇函数在上单调递增将题给不等式转化为，解之即可得到题给不等式的解集. 【小问1详解】 因为函数为奇函数，定义域为， 所以，即恒成立，所以， 又，所以，所以. 【小问2详解】 在上单调递增，证明略； 【小问3详解】 由（2）知在上单调递增， 因为为奇函数，所以在上也单调递增. 令，解得或， 因为，且， 所以， 所以，解得， 所以原不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $