精品解析：江苏省无锡市宜兴市2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试题

宜兴市2024年秋学期期中考试 九年级数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上 考试时间为120分钟，试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、考试号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对姓名、班级、考试号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效 3．作图必须用2B铅笔作答． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中只有一项是正 确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. ， C. D. ， 2. 已知是关于x 的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 2 B. 0 C. D. 3. 下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丁 C. 甲和丙 D. 甲和丁 4. 已知的直径是6，点P到圆心O的距离是6，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P 在内 B. 点 P 在上 C. 点P 在外 D. 点 P是圆心 5. 两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 小亮在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ） A. 1 B. C. D. 1或 7. 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 8. 如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，内接于，点O在上，平分交于D， 连接，若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 10. 如图，是等腰直角三角形，，，点 D，E 分别在，边上运动，连结，交于点F， 连接， 且，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共计24分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）( 11. 已知 ，则的值为___________． 12. 若关于的方程有一个根是，则______． 13. 如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为_____． 14. 在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手．有人统计了一下，大家一共握了45次手，参加这次聚会的同学共有__________人． 15. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 16. 如图，四边形ABCD是的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则的度数是______． 17. 如图，在中，直径于点E，，，则弦的长为______． 18. 在矩形中，，，点E 在直线上，且，则点E 到矩形对角线所在直线的距离是______． 三、解答题（本大题共9小题，共计96分．解答需写出必要的文字说明或演算步骤．） 19. 解下列方程 （1）； （2）； （3） （4） 20. 如图，点E，F 分别在正方形的边，上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图： 某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题： （1）本次调查的样本容量是________，扇形统计图中C对应圆心角的度数为________ （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数． 22. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围． （2）若整数， 且两个实数根中有一个根是整数，求k 的值． 23. 如图，为的直径，点F在上，，点P在的延长线上，与相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E． （1）求证：； （2）若，求的长． 24. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实 验田，墙长为，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为 x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m）， 面积为S（单位：）． 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为 （1）直接写出y 与x，S 与 x 之间的函数解析式（不要求写x 的取值范围）； （2）矩形实验田的面积S 能达到吗？如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由； （3）矩形实验田的面积S 能达到吗？如果不能，请说明理由；你能求出矩形实验田的面 积S 的最大值吗？若能，求出S的最大值并求出此时的x 的值． 25. 如图，已知及边上一点C． （1）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①作，使得圆心O在射线上，且经过A、C两点，交射线于点B； ②在射线上求作点M， 使点M到点C的距离与点M到射线的距离相等； （2）在（1）的条件下，若，， 直接写出的长= ． 26. 如图，中，，，，点D，E 分别在，边上，，连接，将沿翻折得到，连接，． （1）若点E 是的中点，求的长； （2）若的面积是面积的2倍，求的长． 27. 如图，，点P 在的平分线上，于点A点， M在线段上，连接，过点P 作交射线于点N， （1）直接写出、、之间的数量关系； （2）点M 在射线上，连接，过点P 作 交射线于点N，射线与射线 相交于点F，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜兴市2024年秋学期期中考试 九年级数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上 考试时间为120分钟，试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、考试号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对姓名、班级、考试号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效 3．作图必须用2B铅笔作答． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中只有一项是正 确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. ， C. D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．先移项，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， ，， 故选：B． 2. 已知是关于x 的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：由题意，得 ． 解得， 故选：C． 3. 下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丁 C. 甲和丙 D. 甲和丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形． 故选D． 4. 已知的直径是6，点P到圆心O的距离是6，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P 在内 B. 点 P 在上 C. 点P 在外 D. 点 P是圆心 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系． 根据：①点在圆外．②点在圆上．③点在圆内，即可判断 【详解】解：直径为6， 半径， 点P到圆心O的距离d是6， ， 点在外． 故选：C． 5. 两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为，利用现在生产1千克甲种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本年（平均下降率），即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：甲种药品成本的年平均下降率为， 根据题意可得， 故选：B． 6. 小亮在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ） A. 1 B. C. D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 由题意，得，用因式分解法求解即可． 【详解】解：根据题意，得， ， ∴， ∵a为正数， ∴， 故选：C． 7. 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解，熟练掌握勾股定理，利用判别式判断一元二次方程解的情况是解题的关键．设，，假设存在点，且，则，利用勾股定理得到，，，可得到方程，结合，然后根据判别式的符号即可确定有几个解，由此得解． 【详解】解：如图所示，四边形是黄金矩形，，， 设，，假设存在点，且，则， 在中，， 在中，， ， ，即， 整理得， ，又，即， ， ，， ， 方程无解，即点不存在． 故选：D． 8. 如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质．先根据垂径定理，求得，利用圆周角定理求得，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵半径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，内接于，点O在上，平分交于D， 连接，若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长，交于E，根据圆周角定理得到，求得，根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：延长，交于E，如图， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，即 ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 10. 如图，是等腰直角三角形，，，点 D，E 分别在，边上运动，连结，交于点F， 连接， 且，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为斜边在外侧构造等腰，作的外接圆，过点作于，的延长线交于，连接，，过点作交的延长线于，连接交于，证明点在弧上运动，得当点与点重合时，为最小，最小值为线段的长，然后求出线段的长即可 【详解】解：以为斜边在外侧构造等腰，作的外接圆，过点作于，的延长线交于，连接，，过点作交的延长线于，连接交于，如图所示： ， ， 是等腰直角三角形，，， ，， 由勾股定理得：， ， ∵， ， ， 又， ， ， ， ， 点在上运动， ∵等腰，， ∴ 当点与点重合时，为最小，最小值为线段的长， ，，， 四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即的最小值是， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，点与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径问题，圆内接四边形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，构造辅助圆，证明点在上运动，利用点与圆的位置关系求出线段的最小值是解决问题的难点． 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共计24分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）( 11. 已知 ，则的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，对已知等式变形再代入分式约分求值是解题的关键；由已知可得，再代入求值即可． 【详解】， ， ， 故答案为：． 12. 若关于的方程有一个根是，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把代入方程求解即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，解题关键是直接把已知解代入方程求出未知系数． 13. 如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为_____． 【答案】1：16 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解得． 【详解】∵两个相似三角形的相似比为1：4， ∴它们的面积比为1：16． 故答案是：1：16． 【点睛】考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 14. 在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手．有人统计了一下，大家一共握了45次手，参加这次聚会的同学共有__________人． 【答案】10 【解析】 【详解】试题分析：设这次聚会的同学共x人，则每个人握手（x-1）次，而两个人之间握手一次，因而共握手x(x-1)次，即可列方程求解． 解：设这次聚会的同学共x人,根据题意得， x(x−1) =45， 解得x=10或x=−9(舍去)， 所以参加这次聚会的同学共有10人. 故答案为10. 点睛：本题考查列一元二次方程解决实际问题.解题的关键在于分析题意，找出相等关系并建立方程，同时要注意方程的解是否满足实际问题的情境. 15. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 16. 如图，四边形ABCD是的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则的度数是______． 【答案】60° 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到∠AOC＝∠ABC，根据圆周角定理得到∠ADC＝∠AOC，根据圆内接四边形的性质得到∠ADC＋∠ABC＝180°，计算即可． 【详解】解：∵四边形OABC为菱形， ∴∠AOC＝∠ABC， 由圆周角定理得：∠ADC＝∠AOC， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠ADC＋∠ABC＝180°， ∴∠ADC＋2∠ADC＝180°，解得：∠ADC＝60°， 故答案为：60°． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 17. 如图，在中，直径于点E，，，则弦的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 由垂径定理得，设的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：，， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 18. 在矩形中，，，点E 在直线上，且，则点E 到矩形对角线所在直线的距离是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 分两种情况讨论：①当点D在线段上时，如图1，过点作于点，证得，即可求出的值；如图2，过点作于点，证得，即可求出的值．②当点D在线段延长线上时，如图3，过点作的延长线于点，证得，即可求出的值；如图4，过点作的延长线于点，证得，即可求出的值；从而得出答案． 【详解】解：分两种情况讨论：①当点D在线段上时， 如图1，过点作于点， 四边形是矩形， ，，，， ，， 由勾股定理得， ， ，， ， ， ， ； 如图2，过点作于点， ，， ， ，， ， ， ； ②当点D在线段延长线上时， 如图3，过点作的延长线于点， ， ， ， ， ， ； 如图4，过点作的延长线于点， ， ， ， ， ，， ， ， ； 综上，点到矩形对角线所在直线的距离是或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共9小题，共计96分．解答需写出必要的文字说明或演算步骤．） 19. 解下列方程 （1）； （2）； （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解可得答案； （2）利用因式分解法求解即可； （3）整理为一般式，再利用因式分解法求解即可； （4）利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得，； 【小问3详解】 解：整理得：， ， 或， ，； 【小问4详解】 解：∵， ∴ ∴ ∴，． 20. 如图，点E，F 分别在正方形的边，上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，余角的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质得，则，又根据，则，从而得出，即可由相似三角形的判定得出结论； （2）根据正方形的性质得，再根据得，然后代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵正方形， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴． 21. 某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图： 某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题： （1）本次调查的样本容量是________，扇形统计图中C对应圆心角的度数为________ （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数． 【答案】（1）200；36 （2） 补全条形统计图，如图： （3）460人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体： （1）用最喜欢“D羽毛球”的学生人数除以其所占的百分比，可得样本容量，再用360度乘以最喜欢“B足球”的学生人数所占的百分比，即可求解； （2）求出最喜欢“B足球”的学生人数，即可求解； （3）用2000乘以最喜欢“E乒乓球”的学生人数所占的百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量是； 扇形统计图中C对应圆心角的度数为； 故答案为：200；36 【小问2详解】 解：最喜欢“B足球”的学生人数为人； 【小问3详解】 解：人， 即该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数为460人． 22. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围． （2）若整数， 且两个实数根中有一个根是整数，求k 的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的概念，解一元二次方程，熟练掌握方程有两个不相等的实数根即是解题的关键． （1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式，且，建立关于的不等式，求出的取值范围． （2）根据的取值范围确定整数的值为2，3，4，当时，当时，当时，分别 求出方程的解，再根据方程两个实数根中有一个根是整数，确定出k的值即可． 【小问1详解】 解：原方程有两个不相等的实数根， ， 解得： 又∵， ∴， ∴且． 【小问2详解】 解：∵且， ∴整数的值为2，3，4， 当时，方程为，解得：， 当时，方程为，解得：， 当时，方程为，解得：，． ∵方程两个实数根中有一个根是整数， ∴． 23. 如图，为的直径，点F在上，，点P在的延长线上，与相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图：连接， ∵与相切于点C， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）如图：连接，可得，由可得，又可得．再由，则可得即可证明结论； （2）设，则，在中，由勾股定理可得方程，解得．再证明得到，故可解出．在中，由勾股定理可得，进而可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 设，则， ∴， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理可得：，解得：或（舍去）． ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴，即， ∴． 在，由勾股定理有：， ∴． 24. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实 验田，墙长为，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为 x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m）， 面积为S（单位：）． 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为 （1）直接写出y 与x，S 与 x 之间的函数解析式（不要求写x 的取值范围）； （2）矩形实验田的面积S 能达到吗？如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由； （3）矩形实验田的面积S 能达到吗？如果不能，请说明理由；你能求出矩形实验田的面 积S 的最大值吗？若能，求出S的最大值并求出此时的x 的值． 【答案】（1） （2）矩形实验田的面积能达到； （3） 当时，则， 即， ∵， ∴方程无解， ∴矩形实验田的面积S 不能达到． ， 又∵， ∴当时，S有最大值，最大值为800， ∴S的最大值为，此时的x 的值为． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，根的判别式，计算的取值范围是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）先求出的取值范围，再将代入函数中，求出的值； （3）当时，则，根据，得出方程无解，所以矩形实验田的面积S 不能达到；将与的函数配成顶点式，求出的最大值即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， ； 【小问2详解】 解：矩形实验田的面积能达到；理由如下： ， ， ， ， 当时，， ， ， ， 当时，矩形实验田的面积能达到． 【小问3详解】 略 25. 如图，已知及边上一点C． （1）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①作，使得圆心O在射线上，且经过A、C两点，交射线于点B； ②在射线上求作点M， 使点M到点C的距离与点M到射线的距离相等； （2）在（1）的条件下，若，， 直接写出的长= ． 【答案】（1）①如图所示，和点B即为所求作； ②如图所示，点M即为所求作． （2） 【解析】 【分析】（1）①作的垂直平分线交于点．以点O为圆心为半径作，交于点B，即可； ②作的角平分线交于点，点即为所求； （2）先由勾股定理求得，从而得到，再由，得到，求得，然后证明，得到，则，即可由勾股定理求解． 【小问1详解】 解：①∵点O在线段垂直平分线上， ∴， ∴经过A、C两点； ②连接，过点M作于H， 由作图可知：是的直径， ∴， ∴ ∵，是的平分线， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接， 由作图可知：是的直径， ∴ 由勾股定理，得， ∴， ∵由作图可知： ，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ 由勾股定理，得． 【点睛】本题考查基本作图：作线段垂直平分线，作角平分线，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定与性质．正确作出图形是解题的关键． 26. 如图，中，，，，点D，E 分别在，边上，，连接，将沿翻折得到，连接，． （1）若点E 是的中点，求的长； （2）若的面积是面积的2倍，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由勾股定理求得，从而求得，过点E作于，求得，，从而得到是等腰直角三角形，得出，则，再由折叠可得：，，得到，最后在中，由勾股定理求解即可． （2）设，，根据折叠性质得，，过作于，设与相交于，证明，得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形，得到，可得，证明，得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解的值即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵点E 是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点E作于，如图， ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， 由折叠可得：，， ， 在中，由勾股定理，得． 【小问2详解】 解：， 设，， 沿翻折，得到， ，， 过作于，设与相交于， 则， 又， ， ， ，，， ， ，，则， 是等腰直角三角形， ，则， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 的面积是的面积的2倍， ， 则， 解得，（舍去）， 则． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形的面积公式等知识，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 27. 如图，，点P 在的平分线上，于点A点， M在线段上，连接，过点P 作交射线于点N， （1）直接写出、、之间的数量关系； （2）点M 在射线上，连接，过点P 作 交射线于点N，射线与射线 相交于点F，若，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）过作于，证明是正方形，得出，利用证明，得出，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可得出结论； （2）分两种情况，点在线段上，点M线段的延长线上，利用相似三角形的判定与性质分别求解即可． 【小问1详解】 解： 理由：过点P作于点， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点P 在的平分线上，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①当在线段上时，如图，延长、相交于点， 由（2）知， 又， 设，则，， ， ，， ， ， ， ∴， ，， ， ， ， ， ， ； ②当在的延长线上时，如图，过作于，并延长交于， 由（2）知：四边形是正方形， ，，， ， ， 又，， ， ， ， ∵， 设，则，， ∴， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形，合理分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $