河南省许昌市第二高级中学2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试题

2024—2025年度上学期河南省高二年级第一次联考 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（ ） A. B. C. D. 2. 在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，已知，，，则边上的中线长为（ ） A. B. 6 C. D. 7 4. 已知，分别是平面与平面的一个法向量，若，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 在四面体中， B. 非零空间向量与可能不共面 C. 与向量共线的单位向量是 D. 若，，是三个空间向量，则 6. 已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，边长为12的正方形是圆柱的轴截面，为半圆上靠近点的三等分点，则（ ） A. 36 B. 72 C. D. 8. 如图，在正方体中，为的中点，为的中点，在线段上，则直线与平面所成角的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在正方体中，，以为单面正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.已知是直线的方向向量，则下列命题是真命题的是（ ） A. 是直线的一个方向向量 B. 是平面的一个法向量 C. 若平面，则 D. 若平面，则 10. 如图，在正四棱锥中，，，，若，则（ ） A. B. C. D. ，，，四点共面 11. 如图，在正四棱台中，，.若点在棱上运动，点在棱上运动，则点与点之间的距离可能为（ ） A. B. C. D. 6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分共15分. 12. 已知向量，，则_____，_____. 13. 在棱长为4的正方体中，为平面的中心，为的中点，则点到直线的距离为_____. 14. 如图，在直四棱柱中，，，，为侧面上的动点.若点在某线段上运动且满足，则该线段的长度的最大值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为上靠近点的三等分点.设，，，，. （1）用，，表示向量； （2）若，，求. 16. 如图，在九面体中，平面平面，平面平面，，，底面为正六边形.设，的中点分别为，，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系. （1）写出点，，，，，的坐标； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 如图，在直三棱柱中，，，且，，直线与交于点F. （1）证明：平面. （2）求二面角的正弦值. 18. 如图1，过球上不在同一大圆上的，，三个点中的任意两点作大圆.可以得到劣弧，与，则这三条劣弧围成的曲面（阴影部分）称为球面，这三条劣弧称为球面的边.，，三点称为球面的顶点.设二面角为，二面角为，二面角为，则球面的面积，其中为球的半径，，，均用弧度制表示.以球心为坐标原点，建立如图2所示的空间直角坐标系.已知，，三点均在球的球面上，其中，. （1）求，的值； （2）求点到平面的距离； （3）求球面的面积. 19. 如图，在多面体中，底面是边长为4的正方形，点为底面的中心，为的中点，平面，，直线与平面所成角的正弦值为，直线与平面所成的角大于. （1）求的长. （2）试问在棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 2024—2025年度上学期河南省高二年级第一次联考 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分共15分. 【12题答案】 【答案】 ①. ②. 【13题答案】 【答案】2 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2）12 【16题答案】 【答案】（1）,,,, （2） 【17题答案】 【答案】（1） 由题意可以为原点，和分别为轴、轴和轴建立 如图所示的空间直角坐标系， 因为，且，， 所以， 所以，，， 设是平面的一个法向量， 则，所以，取得， 所以，即，所以平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $