第十五章 分式 单元练习-2024-2025学年人教版八年级数学上册

2024-2025学年上学期八年级数学 第十五章 分式 1．D 【分析】本题主要考查了分式的定义，根据“分式的定义：形如（A、B是整式，且B中含有字母，）的式子”进行判断即可，掌握其定义是解决此题的关键． 【详解】A、不是分式，故此选项不符合题意； B、不是分式，故此选项不符合题意； C、不是分式，故此选项不符合题意； D、是分式，故此选项符合题意； 故选：D． 2．B 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：米米， 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了分式值为零的条件．利用分式的值为零则分子为零，分母不等于0，进而得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 故选：B． 4．A 【分析】考查了分式的加减法．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减． 进行同分母分式减法运算，最后要注意将结果进行约分． 【详解】解：， 故选：A． 5．D 【分析】本题主要考查了最简公分母的知识，求解所有分母的最大公因式是解题的关键．找系数的最大公因式，所有字母的最高次幂即可得最简公分母，进而可求解． 【详解】解：分式与的最简公分母是． 故选：D． 6．D 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题关键在于掌握其性质． 分式有意义，分母不等于零．据此判定即可． 【详解】解∶A、当即时，该分式无意义，不符合题意； B、当时，该分式无意义，不符合题意； C、当即时，该分式无意义，不符合题意； D、∵， ∴不论x取何值，该分式都有意义，符合题意． 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了分式的基本性质，先根据题意列出算式，再根据分式的性质进行化简即可，能灵活运用分式的性质进行变形是解题的关键． 【详解】解：， 即如果把分式中的和都同时扩大倍，那么分式的值扩大倍， 故选：． 8．A 【分析】根据最简公分母、单项式、0指数幂、最简分式的概念，逐一判断． 【详解】解：A、分母3x2、4x的最简公分母为12x2，本选项正确； B、是多项式，本选项错误； C、任何非0数的0次幂都等于1，本选项错误； D、，本选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了最简公分母、单项式、最简分式、0指数幂的意义．关键是 熟练掌握各知识点的概念． 9．D 【分析】本题考查了分式基本性质的应用，掌握分式的基本性质是关键；根据分式基本性质化简即可判断． 【详解】解：前三个选项的分子分母不能约分，而，则此选项正确； 故选：D． 10．C 【分析】本题考查了分式方程的解及解分式方程，根据方程的解的定义，把代入方程，即可得到一个关于的分式方程，求解检验即可． 【详解】解：把代入方程得：， 在方程两边同乘得：， 解得：， 检验：当时，， 故选：C． 11．C 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形求值，根据代入求值即可． 【详解】解：， ，即， ． 故选：C． 12．C 【分析】先用a、b的代数式表示出甲图和乙图的面积，然后利用分式的约分可得k的值，由即可确定k的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：甲图中阴影部分的面积=，乙图中阴影部分的面积=， ∴， ∵，∴， ∴， 观察4个选项，k的值可以为． 故选：C． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解、分式的约分化简以及用代数式表示图形的面积，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述相关知识是解题的关键． 13．1 【分析】本题考查分式无意义的条件，熟练掌握分母为零时分式无意义的条件是解题的关键．根据分母为零时分式无意义进行解题即可． 【详解】解：要使分式无意义， 则分母为零， 即， 解得． 故答案为：1． 14． 【分析】本题考查了分式方程的解和解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键；把代入方程，求出a即可． 【详解】解：关于的方程的解为， ， 解得：， 经检验，是方程的解， 的值是， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程一定要验根是解题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母，得， 解得， 检验，当时，， ∴原方程的解为， 故答案为：． 16．或2 【分析】本题考查了分式方程的问题，掌握解分式方程的方法是解题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出m的值，由分式方程无解求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解： 去分母得： ①由分式方程无解，得到 即， 当时，，解得 当，去分母后的整式方程无解，解得， 故m的值为或2． 故答案为：或2． 17． 【分析】本题考查了实数的四则运算，根据零指数幂、负整数指数幂，求一个数的立方根，算术平方根，化简绝对值进行计算，然后合并即可求解． 【详解】解： ． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了分式运算，涉及到因式分解，熟记运算法则是关键． （1）根据分式的乘除混合运算运算即可； （2）运用完全平方式、平方差公式、提取公因式因式分解，再约分化简即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 19．(1)原分式方程的解是 (2)原分式方程无解 【分析】本题主要考查了分式方程的解法，掌握分式方程的解法和检查方程的根是解答关键． （1）方程两边同乘去分母，再利用一元一次方程的解法求解，要检验方程的根； （2）方程两边同时乘，再根据一元一次方程的解法求解，要检验方程的根． 【详解】（1）解：方程两边同乘， 得， 解得， 检验：当时，是原分式方程的根， ∴原分式方程的解是． （2）解：方程两边同时乘， 得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程无解． 20．(1)二 (2) 【分析】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则； （1）小明的解答从第二步开始出现错误，错误的原因是去分母； （2）根据分式的混合运算顺序和运算法则化简可得． 【详解】（1）二 （2） 21．， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 22．(1)甲每小时做的零件个数；甲做90个所用的时间 (2)见解析 【分析】（1）明明是根据时间列出的方程，所以x表示甲每小时做的零件个数；亮亮是根据甲每小时比乙多做6个列出的方程，所以y表示甲做90个所用的时间； （2）选择明明的方程，解得分式方程即可． 【详解】（1）明明是根据时间列出的方程，所以x表示甲每小时做的零件个数；亮亮是根据甲每小时比乙多做6个列出的方程，所以y表示甲做90个所用的时间； 故答案为：甲每小时做的零件个数，甲做90个所用的时间； （2）， ， ， ， 检验：把代入， ∴是分式方程的解， ， 答：甲每小时做18个零件，乙每小时做12个零件． 【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是弄清题目中的等量关系． 23．(1)甲工厂每天可加工这种画图工具300套，乙工厂每天可加工这种画图工具200套 (2)4500套 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设乙工厂每天可加工这种画图工具x套，则甲工厂每天可加工这种画图工具套，根据甲厂单独加工这批画图工具所需要的天数比乙厂单独加工这批画图工具所需要的天数少10天，列出分式方程，进行求解即可； （2）设小李向甲工厂购买y套，根据题意，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设乙工厂每天可加工这种画图工具x套，则甲工厂每天可加工这种画图工具套，根据题意，可得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ． 答：甲工厂每天可加工这种画图工具300套，乙工厂每天可加工这种画图工具200套． （2）设小李向甲工厂购买y套． 根据题意，得， 解得． 答：小李最多能向甲工厂购买4500套画图工具． 24．(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形求值： （1）根据进行求解即可； （2）先利用完全平方公式得到，则，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 25．(1)每辆型客车可载45人，则每辆型客车可载35人； (2)有3种租车方案，租A型客车7辆，B型客车9辆，租A型客车8辆，B型客车8辆，租A型客车9辆，B型客车7辆；租A型客车7辆，型客车9辆较省钱，费用为17400元． 【分析】（1）设每辆型客车可载人，则每辆型客车可载人，由题意：单独租用型客车护送900人，与单独租用型客车护送700人所用车辆数一样多，列出分式方程，解方程即可； 由（2）设租型客车辆，则租型客车辆，由题意：有630位支援人员需护送，总租金不超过17800元，列出一元一次不等式组，解得，即可解决问题． 【详解】（1）设每辆型客车可载人，则每辆型客车可载人， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：每辆型客车可载45人，则每辆型客车可载35人； （2）设租型客车辆，则租型客车辆， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 取值为7，8，9， 有3种租车方案， ①租型客车7辆，型客车9辆，费用为：（元； ②租型客车8辆，型客车8辆，费用为：（元； ③租型客车9辆，型客车7辆，费用为：（元； ， 租型客车7辆，型客车9辆较省钱，费用为17400元． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年上学期八年级数学 第十五章 分式 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列代数式中，属于分式的是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示的是某绿色植物细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为0.0009米，将数据0.0009米用科学记数法表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．要使分式的值为0，则x应满足（    ） A．x＝2 B． C． D． 4．计算： 结果为（     ） A．1 B． C．2 D．0 5．分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 6．下列分式中，不论x取何值，一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 7．如果把分式中的和都同时扩大倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．扩大倍 C．缩小 D．扩大倍 8．下列说法中，正确的是（  ） A．与的最简公分母是12 B．是单项式 C．任何数的0次幂都等于1 D．是最简分式 9．若，则下列分式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 10．关于x的方程的根为，则a应取值（　　） A．1 B．3 C． D． 11．已知，则的值为（   ） A．14 B．16 C．18 D．20 12．如图，设，则的值可以为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 13．当 时，分式无意义． 14．若关于的方程的解为，则的值是 ． 15．分式方程的解为 ． 16．已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 三、解答题 17．计算：． 18．计算： (1) ； (2)． 19．解分式方程： (1)； (2)． 20．老师留的作业中有这样一道计算题：，小明完成的过程如下：   第一步   第二步   第三步 老师发现小明的解答过程有错误． (1)小明的解答从第______步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程． 21．先化简，再求值：，其中． 22．如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程. 甲乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等.求甲、乙每小时各做零件多少个. 明明： 亮亮： 根据以上信息，解答下列问题. (1)明明同学所列方程中的x表示__________，亮亮同学所列方程中的y表示___________. (2)两个方程中任选一个，解方程并回答老师提出的问题. 23．经销商小李需要购进一批学生画图工具6000套，为此考察了甲、乙两个文具加工厂．已知甲厂的加工能力是乙厂的1.5倍，且甲厂单独加工这批画图工具所需要的天数比乙厂单独加工这批画图工具所需要的天数少10天，还了解到这种画图工具甲厂的出厂价格为6元/套，乙厂的出厂价格为5.6元/套． (1)求甲、乙两个加工厂每天能加工这种画图工具各多少套？ (2)小李计划从甲、乙两厂购买这种画图工具，且费用不超过35400元，他最多能向甲工厂购买多少套这种画图工具？ 24．阅读材料，解决问题：在解决某些代数式运算问题，特别是单项式除以多项式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即先求其倒数，再对结果求倒数，进而求得原式，以达到计算目的． 【问题解决】已知，求下列代数式的值． (1)求的值． (2)求的值． 25．某校计划组织学生前往太空中心开展研学活动．该校准备向某客运公司租用A、B两种类型客车，已知每辆A型客车的载客人数比每辆B型客车多10人，如果单独租用A型客车承载90人，与单独租用B型客车承载70人所用车辆数一样多、（特别注明：本题中载客人数不考虑客车司机） (1)问每辆A、B型客车分别可载多少人？ (2)该校共有630名师生，客运公司根据需要，安排了A、B型汽车共16辆，每辆A型客车的租金为1200元，每辆B型客车的租金为1000元，总租金不超过17800元，问有哪几种租车方案，哪种方案较省钱，费用多少？ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$