15.3 等腰三角形 【课时作业】2024-2025学年沪科版数学八年级上册

15.3　第3课时　等腰三角形的判定 【基础达标】 1下列能断定△ABC为等腰三角形的是 ( ) A.∠A=40°,∠B=50° B.∠A=2∠B=70° C.∠A=40°,∠B=70° D.AB=3,BC=6,周长为14 2已知等腰三角形的一边长为6,一个内角为60°,则它的周长是 ( ) A.12 B.15 C.18 D.20 3如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,CD⊥AB,则BD的长是 ( ) A.3 B.4 C.4.2 D.4.5 4如图,在△ABC中,AB=AC, ∠A=36°,BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线,则图中等腰三角形的个数为 ( ) A.12 B.10 C.9 D.8 5直角三角形的一条直角边为8 cm,它所对的角是60°,则其斜边上的高是 .  【能力巩固】 6如图,这是屋架设计图的一部分,立柱BC垂直于横梁AC,AB=8 m,∠A=30°,则立柱BC的长度为 ( ) A.4 m B.8 m C.10 m D.16 m 7如图,在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=72°,BD平分∠ABC,CE∥AB交BD的延长线于点E,则图中共有等腰三角形 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 8如图,△ABC是等边三角形,D,E,F分明是边AB,BC,AC的中点,则图中等边三角形的个数是 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9一灯塔P在小岛A的北偏西25°的方向上,从小岛A沿正北方向前进30海里后到达小岛B,此时测得灯塔P在小岛B北偏西50°方向上,则灯塔P与小岛B相距 .  10等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则它的一个底角为 .  11如图,在△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB和BC上的点,连接DE并延长,与AC的延长线交于点F,若DE=EF,求证:BD=CF. 12如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,BE平分∠ABC,且分别交CD、AC于点F、E.求证:CE=CF. 【素养拓展】 13如图,∠AOB=30°,P为∠AOB内一点,OP=10,点M、N分别在OA、OB上,则△PMN周长的最小值为 ( ) A.5 B.10 C.15 D.20 14如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,E是AB的中点. (1)点E一定在 的垂直平分线上;  (2)如果AD=16 cm,AC=20 cm,点F在AC边上从点A向点C运动,速度是2 cm/s,求当点F运动几秒时,△ADF是等腰三角形? 参考答案 1.C　2.C　3.D　4.D 5.4 cm 6.A　7.D　8.D 9.30海里 10.15°或75° 11.证明:如图,过点D作DG∥AC交BC于点G, ∴∠1=∠F,∠4=∠5. ∵AB=AC,∠5=∠B, ∴∠4=∠B,BD=GD. 又易得△DGE≌△FCE, ∴GD=CF,∴BD=CF. 12.证明:∵∠ACB=90°, ∴∠ACD+∠BCD=90°. ∵CD为AB边上的高, ∴∠ADC=90°, ∴∠A+∠ACD=90°, ∴∠A=∠BCD. ∵BE是∠ABC的平分线, ∴∠ABE=∠CBE, ∴∠CFE=∠BCD+∠CBE=∠A+∠ABE. ∵∠CEF=∠A+∠ABE, ∴∠CEF=∠CFE, ∴CE=CF. 13.B　提示:分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2,连接P1、P2,交OA于点M,交OB于点N,则OP1=OP=OP2,∠P1OA=∠POA,∠POB=∠P2OB,MP=P1M,PN=P2N,则△PMN的周长的最小值=P1P2,∴∠P1OP2=2∠AOB=60°,∴△OP1P2是等边三角形.∴△PMN的周长=P1P2=OP1=OP2=OP=10. 14.解:(1)∵AD⊥BC, ∴∠ADB=90°. ∵E是AB的中点, ∴AE=DE=BE, 即AE=DE,BE=DE,AE=BE, ∴点E一定在AD或BD或AB的垂直平分线上. 故答案为AD或BD或AB. (2)当FA=AD=16 cm时,t==8 s. 当FA=FD时,∠FAD=∠ADF, 又∵∠FAD+∠C=∠ADF+∠FDC=90°, ∴∠C=∠FDC, ∴FD=FC, ∴FA=FC=AC=10 cm, ∴t==5 s. 当DF=AD时,点F不存在. 综上所述,当点F运动5 s或8 s时,△ADF是等腰三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.3　第2课时　等腰三角形的性质的应用 【基础达标】 1等腰三角形的顶角是80°,则一腰上的高与底边的夹角是 ( ) A.40° B.50° C.60° D.30° 2在平面直角坐标系中,若等边三角形ABC的顶点A的坐标是(-1,0),顶点B的坐标是(3,0),那么顶点C的横坐标是 ( ) A.-1 B.3 C.1 D.0 3如图,△ABC的周长为18,且AB=AC,AD⊥BC于点D,△ACD的周长为13,那么AD的长为 .  4如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=32°,则∠BAC= .  5如图,P为线段AB上一点,△APC与△BPD均为等边三角形,请你判断AD与BC有何关系,请写出你的结论并证明. 【能力巩固】 6如图,一个等边三角形纸片,剪去一个角后得到一个四边形,则图中∠1+∠2的度数是 ( ) A.180° B.220° C.240° D.300° 7三个等边三角形的摆放位置如图所示,若∠3=15°,则∠1+∠2的度数为 .  8如图,在△ABC中,AB=AC,AD和BE是高,它们交于点H,且AE=BE,求证:AH=2BD. 9如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,BD=2,以AD为一边向右作等边△ADE. (1)求△ABC的周长; (2)判断AC、DE的位置关系,并给出证明. 【素养拓展】 10如图,在一张直角三角形纸片ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,P是边AB上的一动点,将△ACP沿着CP折叠至△A1CP,当△A1CP与△ABC的重叠部分为等腰三角形时,∠ACP的度数为 .  11如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,DE⊥AB. (1)求证:∠BAC=2∠EDB; (2)若AC=6,DE=2,求△ABC的面积. 12(1)如图1,已知△ABC是等边三角形,E是AC延长线上的任意一点,选择一点D,使得△CDE是等边三角形,如果M是线段AD的中点,N是线段BE的中点.求证:△CMN是等边三角形. (2)在(1)中,若A、C、E不共线,其他条件不变,如图2,结论还成立吗?为什么? 参考答案 1.A　2.C 3.4 4.69° 5.解:AD=BC. 证明:∵△APC与△BPD均为等边三角形, ∴AP=PC,BP=PD,∠APC=∠BPD=60°,∴∠APD=∠CPB, ∴△APD≌△CPB,即AD=BC. 6.C 7.165° 8.证明:∵∠DAE+∠C=90°, ∠EBC+∠C=90°, ∴∠DAE=∠EBC. 在△AHE和△BCE中, ∴△AHE≌△BCE(ASA),∴AH=BC. 又∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=DC, ∴BC=2BD,∴AH=2BD. 9.解:(1)∵AD是等边△ABC的高线, ∴AD也是它的中线, ∴BC=2BD=4, ∴△ABC的周长为12. (2)∵AD是等边△ABC的高线, ∴AD也是∠BAC的平分线, ∴∠CAD=∠BAC=30°, ∴AF是∠DAE的平分线, ∴AF也是等边△ADE的高线,即AC⊥DE. 10.40°或70° 11.解:(1)证明:∵AB=AC,D为BC边的中点, ∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=∠BAC, ∴∠B+∠BAD=90°. ∵DE⊥AB, ∴∠B+∠EDB=90°, ∴∠EDB=∠BAD=∠BAC,即∠BAC=2∠EDB. (2)由题意可知,S△ABD=×6×2=6, ∵D为BC边的中点 ∴S△ADC=S△ADB=6, ∴S△ABC=12. 12.解:(1)证明:∵△ABC是等边三角形,△CDE是等边三角形,M是线段AD的中点,N是线段BE的中点, ∴∠ACB=∠ECD=60°, ∴∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD,即∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE中, ∴△ACD≌△BCE(SAS), ∴AD=BE,∠CAD=∠CBE, ∴AM=BN. 在△AMC和△BNC中, ∴△AMC≌△BNC(SAS), ∴CM=CN,∠ACM=∠BCN. 又∵∠NCM=∠BCN-∠BCM, ∠ACB=∠ACM-∠BCM, ∴∠NCM=∠ACB=60°, ∴△CMN是等边三角形; (2)成立. 同(1)可得△ACD≌△BCE,△AMC≌△BNC, ∴CM=CN,∠ACM=∠BCN, ∴∠ACM+∠BCM=∠BCN+∠BCM, ∴∠ACB=∠MCN=60°, ∴△CMN是等边三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.3　第1课时　等腰三角形的性质 【基础达标】 1等边三角形是轴对称图形,它的对称轴有 ( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.6条 2等腰三角形的一边长等于3,另一边长等于6,则此三角形的周长等于 ( ) A.12 B.12或15 C.15 D.15或18 3下列说法中,正确的有 ( ) ①等腰三角形的两腰相等;②等腰三角形两底角相等;③等腰三角形是轴对称图形;④等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,∠A=36°,则∠1的度数为 ( ) A.36° B.60° C.72° D.108° 5若等腰三角形有一个角是50°,那么其他两个角的度数是 .  【能力巩固】 6如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,则下列结论不一定成立的是 ( ) A.AB=BC B.BD=CD C.∠1=∠2 D.∠B=∠C 7如图,在等边△ABC中,D为BC边的中点,AE=AD,则∠EDC的度数为 ( ) A.10° B.15° C.20° D.25° 8如图,在△ABC中,D是BC上一点,AC=AD=DB,∠BAC=102°,则∠ADC= 度.  9如图,∠A=15°,AB=BC=CD=DE=EF,则∠GEF= .  10如图,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AB上, 且BD=AE,AD与CE交于点F. (1)求证:AD=CE; (2)求∠DFC的度数. 11如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,BD是角平分线,DE⊥BC于点E,若BC=10 cm,求△DEC的周长. 【素养拓展】 12在如图所示的钢架中,∠A=18°,P1A=P1P2,焊上等长的钢条P1P2,P2P3,P3P4,P4P5,…,来加固钢架.则∠P5P4B的度数是 ( ) A.80° B.85° C.90° D.100° 13如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AB边上一点,过点C作CF∥AB,交ED的延长线于点F. (1)求证:△BDE≌△CDF; (2)当AD⊥BC,AE=1,CF=2时,求AC的长. 14如图,△ABC、△DEF都是正三角形,点D、E、G、H均在边上. (1)写出图中与∠AGF必定相等的所有角; (2)对于(1)中的几个角,请你选择一个角证明其与∠AGF相等. 参考答案 1.C　2.C　3.D　4.C 5.50°,80°或65°,65° 6.A　7.B 8.52 9.75° 10.解:(1)证明:由AE=BD,∠EAC=∠B,AC=BA,可证△AEC≌△BDA, ∴AD=CE. (2)∵△AEC≌BDA,∴∠ACE=∠BAD,∴∠DFC=∠DAC+∠ACE=∠DAC+∠BAD=60°. 11.解:∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD. ∵∠A=90°,DE⊥BC, ∴△ABD≌△EBD. ∴AB=BE,AD=DE. ∵△DEC的周长=DE+CE+CD=AD+CD+CE=AC+CE,AC=AB=BE, ∴△DEC的周长=BE+CE=BC=10 cm. 12.C 13.解:(1)证明:∵CF∥AB, ∴∠B=∠FCD,∠BED=∠F. ∵AD是BC边上的中线, ∴BD=CD, ∴△BDE≌△CDF. (2)∵△BDE≌△CDF,∴BE=CF=2, ∴AB=AE+BE=1+2=3. ∵AD⊥BC,BD=CD, ∴AC=AB=3. 14.解:(1)与∠AGF必定相等的角:∠DGH、∠ADE、∠BEH. (2)证明:①∠DGH=∠AGF(对顶角相等); ②在△ADG中,∠AGF=∠A+∠ADG=60°+∠ADG, ∵∠ADE=∠ADG+∠EDF=∠ADG+60°, ∴∠ADE=∠AGF; ③∵△ABC、△DEF均为正三角形, ∴∠F=60°=∠C, ∴∠AGF=∠F+∠GHF=∠C+CHE=∠BEH. 学科网（北京）股份有限公司 $$