浙江省宁波市宁波中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

宁波中学2024学年度第一学期期中 高二数学试卷 一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知直线在轴上的截距是，在轴上的截距是3，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 在日常生活中，可以看见很多有关直线与椭圆的位置关系的形象，如图，某公园的一个窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为（ ） A. B. C. 2 D. 3 4. 双曲线的右顶点到渐近线的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知动直线，圆，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 与值有关，无法确定 6. 在空间直角坐标系中，四面体的顶点坐标分别是，，，.则点到面的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为，定点在棱上(不在端点上)，点是平面内的动点，且点到直线的距离与点到点的距离的平方差为，则点的轨迹所在的曲线为 A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知抛物线，焦点为，准线为，弦过点，则下列说法正确的是（ ） A. 焦点的坐标为 B. 准线的方程为 C. 若，则 D. 弦的长度 10. 在空间直角坐标系中，已知点，为的重心，则（ ） A. 点的坐标是 B. 是平面的法向量 C. 平面过原点 D. 为锐角三角形 11. 已知四边形的四个顶点都在椭圆上，对角线过原点，且，则（ ） A. 是定值 B. 是定值 C. 四边形的面积是定值 D. 四边形的周长是定值 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在平面直角坐标系中，已知某直线沿轴正方向平移3个单位，再沿轴负方向平移2个单位直线回到原来位置，则此直线的斜率__________. 13. 双曲线的左、右焦点分别是，直线与曲线C交于A，B两点，，且，则双曲线C的离心率是___________． 14. 如图，已知是相互垂直的两条异面直线，直线与相交且垂直，垂足为，且线段，动点分别位于直线上，若直线与所成的角，线段的中点为，则以下结论： ①的长度为定值4. ②三棱锥的体积为定值. ③点的轨迹是圆； 其中正确的有__________（填写编号） 四､解答题（本题共5小题，共T7分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知圆C：． （1）若直线l过点且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程； （2）从圆C外一点P向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且，求的最小值． 16. 如图，为圆柱的轴截面，为底面半圆周上一点，为中点， （1）若，求的长 （2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值 17. 已知椭圆，过点，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，若直线的斜率都存在且分别为， （1）求椭圆的方程 （2）求的值 18. 已知抛物线，直线交抛物线于两点， （1）若线段中点的纵坐标为2，求直线的方程； （2）若抛物线上存在两点关于直线轴对称，求的取值范围. （3）若存在定点，使以为直径的圆上的任意点，都满足（为原点），求定点的坐标和的值. 19. 阅读下列材料，回答问题： 如图，在空间直角坐标系中，过原点与轴成角的直线绕轴一周，生成以为顶点轴为对称轴的两个圆锥形的几何体，不经过原点与轴成角的平面截几何体的表面得到的截口曲线称为圆锥曲线. 当时，平面截几何体的表面得到的截口曲线在一个圆锥上，以下证明它是椭圆：如图，在该圆锥内放置两球和，使它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切，切点分别形成圆和圆）且与平面相切（位于平面上下两侧），切点分别为和，在截口曲线上任取一点P，作直线交圆于点，连接和，因为和都是大球的切线段，所以，同理，所以，因为两球外离，和分别是两球的内外公切线段，都为定值且，所以此时平面截圆锥得到的圆锥曲线满足椭圆定义，应为椭圆.依据上述材料所述，请回答： （1）当时，对应的圆锥曲线是什么曲线？（直接回答不必证明） （2）当，对应的圆锥曲线是什么曲线？并根据所给图形利用材料所提供的思路进行证明； （3）如图，将等边绕边旋转至，并且使二面角为直二面角，动点在平面上并且，判断动点的轨迹，并求其离心率. 宁波中学2024学年度第一学期期中 高二数学试卷 一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 【9题答案】 【答案】CD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】AC 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】①③ 四､解答题（本题共5小题，共T7分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1）或； （2）. 【16题答案】 【答案】（1）1 （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）-4 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）定点， 【19题答案】 【答案】（1）抛物线（直接回答不必证明） （2）双曲线；证明如下： 当，平面截几何体的表面得到的截口曲线在两个圆锥上各有一支，以下证明它是双曲线： 证明：如图，在该圆锥内放置两球和，使它们都与圆锥相切，     即与圆锥的每条母线相切，切点分别形成圆和圆， 且与平面相切（分别位于上下圆锥平面同侧），切点分别为和. 在截口曲线上任取一点M，作直线交圆于点，连接和， 因为和都是大球的切线段，所以， 同理，所以， 因为两球外离，和分别是两球的内外公切线段，都为定值且， 同理可得，当在圆锥曲线另一支上时， 可得也为定值，且，. 所以有，且，. 此时平面截圆锥得到的圆锥曲线满足双曲线定义， 故当，对应的圆锥曲线是为双曲线. （3）双曲线； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $