广东省深圳市2024-2025学年六年级上学期鹏城能力测评排位赛数学试卷

2024 鹏城能力测评排位赛第 1 页 共 4 页 学 校 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 电 话 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ 密 封 线 内 不 要 答 题 2024 鹏城能力测评排位赛六年级 一、填空题（共 14 小题，每小题 6 分，共 84 分，如果有多个答案，需写出所有答案） 1. 今天是 2024 年 10 月 21 日星期一，今年到 12 月 31 日为止还有_____________个星期一． 【答案】10 【解析】10 月 21 到 12 月 31 日中，十月有 12 天，十一月有 30 天，十二月有 31 天，共 73 天， 73 7 10...3 = ，除去第一个星期一还有 10 个． 2. 设 m 和 n分别是由数字 0 到 4 各一个组成的五位数的最大值和最小值，它们没有两个相邻的数字是连 续的，求m n− = ____________． 【答案】29007 【解析】首先最大的五位数首位为 4，然后第二位最大为 2，剩下的 0、1、3 三个数字只能 0 挨着 2，所以 最大的五位数 m=42031； 同理，最小的五位数首位为 1，然后第二位最小为 3，剩下的 0,2,4 三个数字钟只能 0 挨着 3，所以最小的五 位数 n=13024； 综上 m-n=42031-13024=29007． 3. 一条船从上游甲地到下游乙地需要 20 天，从下游乙地到上游甲地需要 24 天，那么一块木板，从甲地 漂浮到乙地需要____________天． 【答案】240 【解析】把问题看成工程问题，其中，船速为完成工作，水速有时候是完成工作，有时是破坏工作 1 20 v v+ = 水船 ， 1 24 v v− = 水船 ，解得 1 240 v = 水 ，所以木板漂流下来的时间为 1 1 240 240  = ． 4. 数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5…第 2024 项除以 5 的余数为____________． 【答案】4 【解析】每个数字出现这个数字的次数，所以要先估计1 2 ... n+ + + 恰好不超过 2024 的最大的正整数 n，又 1 2 ... 63 2016+ + + = ，所以第 2024 项为 64, 64 5 12...4 = ，所以余数是 4． 5. 某班教室全部是双人课桌，被学生坐满没有空位．其中，40%的男学生的同桌也是男生，而 60%的女 学生的同桌也是女生．那么，这个班的女生占全班学生总数的____________%． 【答案】60 【解析】这里考虑男女同桌是 1:1，其中男生的 60%与女生的 40%人数一样多，所以 2 : 3=男生：女生 ， 所以女生占全班人数的 3 100% 60% 3 2  = + ． 6. 有一个最简分数，若给分子加 1，化简后为 1 3 ；若给分母加 1，化简后为 1 4 ，这个最简分数是 ____________． 【答案】 4 15 【解析】设这个最简分数为 b a ，由题意知 1 1 3 b a + = ， 1 1 4 b a = + ，解得 15 4 a b =  = ，所以这个最简分数是 4 15 ． 7. 有这样的五位数，它的任意两个相邻数字按顺序组成的两位数均为 19 的倍数，所有这样的五位数之 和为____________． 【答案】19576 【解析】19 的两位数倍数有 19、38、57、76、95，所以可能得五位数为 19576． 8. 2024 年 8 月 12 日巴黎奥运会圆满落幕，中国国家代表队取得了金牌榜第二名的好成绩，已知中国队 的金牌数量多于银牌数量，银牌数量多于铜牌数量，且银牌数量为立方数，铜牌比金牌数量少 40%， 三种奖牌的总数为两个质数的积且小于 100，则金牌的数量为____________． 【答案】40 【解析】因为铜牌比金牌数量少 40%，设金牌有 5x个，铜牌有 3x个，银牌有 3a 个，所以 3 1 2 8 100x a p p+ = +  ，经尝试 x=8，a=3， 38 8 3 91 2 89 + = = + ，所以 5x=40． 9. 深圳舰开放日让我们近距离感受军舰的独特魅力，对于它的船锚我们可以用简单的尺规进行绘画，一 个梯形的边长为 10、10、10 和 22．梯形的每条边都是一个半圆的直径，两个半圆在梯形的两个平行 边上，面向梯形外部，另外两个半圆面向梯形内部．由这四个半圆围成的区域的面积为 ____________．（结果保留 π） 考 试 须 知 1．试卷总分为 150 分，考试时间 90 分钟． 2．本考试内容分为两道大题． 3．每道解答题请一定认真书写解答过程，评卷时按照过程逐步给 分． ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ 2024 鹏城能力测评排位赛第 2 页 共 4 页 【答案】128 48π+ 【解析】 1 2 3 4S S S S S S= + + − −阴影 梯 扇 扇 扇 扇 ，其中 2 1 2 3 5 π 2 S S S= = = 扇 扇 扇 ， 2 11 π 2 S = 扇4 ，由勾股定理知 高为 2 2 2 22 10 10 64 2 h −  = − =    ，所以 8h = ， ( )10 22 8 128 2 S +  = = 梯 ， 2 2 2 2 5 π 11 π 5 π 5 π 128 128 48π 2 2 2 2 S = + + − − = + 阴影 ． 10. 已知 abcd 的组成数字为 1、2、3 中的一个或者几个，已知10 20a b c d     ，则符合题意的四位数 abcd 有____________个． 【答案】24 【解析】10 到 20 之间，质因子只由 2 和 3 的只由 12 和 18 （1）若 12abcd = ，则组成数字为 1、2、2、3，可组成的四位数有 2 2 4 2 12C A = 个 （2）若 18abcd = ，则组成数字为 1、2、3、3，可组成的四位数有 2 2 4 2 12C A = 个 共有12 12 24+ = 个． 11. 只由数字 0 和 7 组成的数叫做“鹏排数”，例如 7、707、7077 都是“鹏排数”．小鹏写了若干个鹏排数， 并算出和，小排看到和为为 2024□，其中个位被弄脏看不清楚了，小鹏至少写了____________个“鹏 排数”． 【答案】9 【解析】首先 2024 一定是 7 的倍数，所以先利用整除特征得知 2024 20244= 原题等价于用由 0、1 组成 的整数加成20244 7 2892 = ，而能使得十位是 9 的至少有 9 个“鹏排数”． 12. 从数量不限的苹果、香蕉、橘子和梨中，选取 2024 个水果装成一袋，且选取的苹果数是偶数，香蕉 数是 5 的倍数，橘子最多有 4 个，而梨最多有 1 个．共有____________种不同的装法． 【答案】2025 【解析】考虑 2024 个水果随意的分成两堆，其中一堆为苹果与梨，另外一堆为香蕉与橘子，然后考虑带余 除法中余数小于除数知，每一堆的分配方式都是固定的，所以本题的不同的装法即 2024 拆分成两个自然数 的方法数有 2025 种． 13. 2024 年 10 月 1 日是中华人民共和国 75 岁的生日，小明发现，若将 75 拆成两个两位数的和，并将这 两个两位数顺次写成一个四位数，这个四位数与 1949 的和的平方刚好是 20241001，则这个四位数是 ____________． 【答案】2550 【解析】 220241001 4499= ，所以这个四位数为4499 1949 2550− = ． 14. 桌子上放着 8 张同样大小的正方形白纸，纸张的边缘构成如下图案．其中，完全露在外面的白纸只有 1 张，被标上了数字 1．找出第二层白纸并标上 2，找出第三层纸并标上 3，以此类推，请问：右上角 的白纸应标_____________． 【答案】8 【解析】各白纸标数如图： 43 2 1 1 8 7 6 54 3 2 1 2024 鹏城能力测评排位赛第 3 页 共 4 页 学 校 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 电 话 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ 密 封 线 内 不 要 答 题 二、解答题（共 5 小题，15、16 小题每题 12 分，17、18、19 小题每题 14 分，共 66 分） 15. 解决以下问题： （1）已知 11 15 29 1 8 11 23 n ， ， ， 的平均数为 1，求正整数 n 的值． （2）记 2 2 2 2 2 2 3 4 4 4 13 4 ... 3 4 4 4 13 4 S + + + = + + + − − − ，求与 S 最接近的整数． 【答案】（1）2024；（2）15 【解析】（1）由题意知 11 15 29 1 4 1 8 11 23 n   + + +  =    ，解得 2024n = ； （2） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 4 4 13 4 8 8 8 ... 1 1 ... 1 3 4 4 4 13 4 3 2 4 2 13 2 8 8 8 8 1 1 1 1 1 1 1 11 ... 11 2 1 1 5 2 6 3 7 11 15 2 3 4 12 13 14 15 1 1 1 1 1 1 14 2 3 4 12 13 14 15 S + + + = + + + = + + + + + + − − − − − −   = + + + + + = + + + + − − − −          = + + − − − −    其中 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 3 4 12 3 4 12 13 14 15 3 4 12 2 = + −   + − − − −  + − = 所以 1 1 14 2 14 2 4 2 S+    +  ，故与 S最接近的整数是 15． 16. 给一群队长发放物资，一等队长比二等队长少 3 人，二等队长比三等队长少 5 人；每个一等队长分到 的物资比每个二等队长多 10 个单位，每个二等队长分到的物资比每个三等队长多 10 个单位；结果， 一等队长分到的物资之和比二等队长的少 30 个单位，二等队长分到的物资之和比三等队长的少 50 个 单位． 求一等队长的数量． 【答案】12 【解析】设一等队长有 x 人，每个三等队长 y 个单位 ( ) ( ) ( )20 3 10 30x y x y+ = + + − ( ) ( ) ( )3 10 8 50x y x y+ + = + − 解得 12 40 x y =  = ． 17. 图 1、图 2 所示六边形 ABCDEF 均为正六边形． 图 1 图 2 （1）如图 1，连接 AC、CE、AE，若三角形 ABC面积为 12，求三角形 ACE面积； （2）如图 2，在 DE 上取一点 G，连接 BG，再在 BG 上取一点 H，连接 AH、FH，将图形分成四个部分， 各部分面积已在图中标出． ①求 :DG EG ； ②求 :BH HG ． 【答案】（1）36；（2）①1:2；②2:1 【解析】（1） 1 6 ABC ABCDEFS S=△ ，故 12 6 72ABCDEFS =  = ，进而 1 36 2 CAE ABCDEFS S= =△ ； （2）①易知 15 12 13 14 54ABCDEFS = + + + = ， 连接 AD，则三角形 BCD 面积为 54 6 9 = ，即 15 9 6BDGS = − =△ ，而 1 18 3 BDE ABCDEFS S= =△ ，故可知 ( ): : 6 : 18 6 1: 2BDG BEGDG EG S S= = − =△ △ ; ②连接 AG，则 1 18 3 ABG ABCDEFS S= =△ ，故可知 ( ): : 12 : 18 12 2 :1ABH AHGBH HG S S= = − =△ △ ． 18. 我们约定双阶乘为当 m 是自然数时，表示不超过 m 且与 m 有相同奇偶性的所有正整数的乘积，例如： 9!! 9 7 5 3 1=     ，12!! 12 10 8 6 4 2=      ， A F B C D E 14 13 12 15 A F B C D E G H 14 13 12 15 A F B C D E G H ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ 2024 鹏城能力测评排位赛第 4 页 共 4 页 （1）求10!!的值． （2）小王认为双阶乘与阶乘之间存在着紧密联系并开始探究，他发现对于偶数的双阶乘都可以变形， 例如 36!! 2 3!=  ，请回答下面两个问题： ①100!中含有多少个质因子 2； ②100！除以①问中的所有质因子 2 的商是多少？（用双阶乘表示） 【答案】（1）3840；（2）①97②3!! 5!! 11!! 25!! 49!! 99!!     【解析】（1）10!! 10 8 6 4 2 3840=     = （2）① 100 100 100 100 100 100 97 2 4 8 16 32 64             + + + + + =                        ，所以100!中含有 97个质因子 2； ② 50 50 50 25 75 75 12 87 87 6 93 100! 100!! 99!! 2 50! 99!! 2 50!! 49!! 99!! 2 2 25! 49!! 99!! 2 25!! 24!! 49!! 99!! 2 2 25!! 12! 49!! 99!! 2 12!! 11!! 25!! 49!! 99!! 2 2 6! 11!! 25!! 49!! 99!! 2 6!! 5!! 11!! 25! =  =   =    =     =     =      =      =       =     93 3 96 97 ! 49!! 99!! 2 2 3! 5!! 11!! 25!! 49!! 99!! 2 3!! 2 5!! 11!! 25!! 49!! 99!! 2 3!! 5!! 11!! 25!! 49!! 99!!   =        =        =       所以100! 除以所有质因子 2的商为3!! 5!! 11!! 25!! 49!! 99!!     ． 19. 将 30 个苹果任意排成一行，其中有 15 个红苹果和 15 个青苹果．问：是否必定有连续排列的 10 个苹 果，其中恰好是 5 个红苹果和 5 个青苹果？若是，请证明；若不是，请举反例． 【答案】是，证明见解析 【解析】将 30 个苹果依次编号，考虑从 k 到 k+9 的这 10 个苹果，约定将其中的红苹果数减去青苹果数之差 记为 kA ，我们注意到 kA 总是偶数，且 1k kA A+ − 取值只能是0, 2, 2− . （1）若存在 0 i A = ，此时这十个连续的苹果恰好是 5 个红苹果和 5 个青苹果； （2）不妨设 1 2A  ，因为 1 11 21 0A A A+ + = ，所以一定存在某个 0nA  ，不妨设 n 是满足上述要求的最 小编号。因为 1 2 n A −  ，所以 1 2n nA A −− = − ，即 0nA = ，此时从 n 到 n+9 这十个连续的苹果恰好是 5 个 红苹果和 5 个青苹果； 2024 鹏城能力测评排位赛第 1 页 共 2 页 学 校 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 电 话 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ 密 封 线 内 不 要 答 题 2024 鹏城能力测评排位赛六年级 一、填空题（共 14 小题，每小题 6 分，共 84 分，如果有多个答案，需写出所有答案） 1. 今天是 2024 年 10 月 21 日星期一，今年到 12 月 31 日为止还有_____________个星期一． 2. 设 m 和 n分别是由数字 0 到 4 各一个组成的五位数的最大值和最小值，它们没有两个相邻的数字是连 续的，求m n− = ____________． 3. 一条船从上游甲地到下游乙地需要 20 天，从下游乙地到上游甲地需要 24 天，那么一块木板，从甲地 漂浮到乙地需要____________天． 4. 数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5…第 2024 项除以 5 的余数为____________． 5. 某班教室全部是双人课桌，被学生坐满没有空位．其中，40%的男学生的同桌也是男生，而 60%的女 学生的同桌也是女生．那么，这个班的女生占全班学生总数的____________%． 6. 有一个最简分数，若给分子加 1，化简后为 1 3 ；若给分母加 1，化简后为 1 4 ，这个最简分数是 ____________． 7. 有这样的五位数，它的任意两个相邻数字按顺序组成的两位数均为 19 的倍数，所有这样的五位数之 和为____________． 8. 2024 年 8 月 12 日巴黎奥运会圆满落幕，中国国家代表队取得了金牌榜第二名的好成绩，已知中国队 的金牌数量多于银牌数量，银牌数量多于铜牌数量，且银牌数量为立方数，铜牌比金牌数量少 40%， 三种奖牌的总数为两个质数的积且小于 100，则金牌的数量为____________． 9. 深圳舰开放日让我们近距离感受军舰的独特魅力，对于它的船锚我们可以用简单的尺规进行绘画，一 个梯形的边长为 10、10、10 和 22．梯形的每条边都是一个半圆的直径，两个半圆在梯形的两个平行 边上，面向梯形外部，另外两个半圆面向梯形内部．由这四个半圆围成的区域的面积为 ____________．（结果保留 π） 10. 已知 abcd 的组成数字为 1、2、3 中的一个或者几个，已知10 20a b c d     ，则符合题意的四位数 abcd 有____________个． 11. 只由数字 0 和 7 组成的数叫做“鹏排数”，例如 7、707、7077 都是“鹏排数”．小鹏写了若干个鹏排数， 并算出和，小排看到和为为 2024□，其中个位被弄脏看不清楚了，小鹏至少写了____________个“鹏 排数”． 12. 从数量不限的苹果、香蕉、橘子和梨中，选取 2024 个水果装成一袋，且选取的苹果数是偶数，香蕉 数是 5 的倍数，橘子最多有 4 个，而梨最多有 1 个．共有____________种不同的装法． 13. 2024 年 10 月 1 日是中华人民共和国 75 岁的生日，小明发现，若将 75 拆成两个两位数的和，并将这 两个两位数顺次写成一个四位数，这个四位数与 1949 的和的平方刚好是 20241001，则这个四位数是 ____________． 14. 桌子上放着 8 张同样大小的正方形白纸，纸张的边缘构成如下图案．其中，完全露在外面的白纸只有 1 张，被标上了数字 1．找出第二层白纸并标上 2，找出第三层纸并标上 3，以此类推，请问：右上角 的白纸应标_____________． 1 考 试 须 知 1．试卷总分为 150 分，考试时间 90 分钟． 2．本考试内容分为两道大题． 3．每道解答题请一定认真书写解答过程，评卷时按照过程逐步给 分． ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ 2024 鹏城能力测评排位赛第 2 页 共 2 页 二、解答题（共 5 小题，15、16 小题每题 12 分，17、18、19 小题每题 14 分，共 66 分） 15. 解决以下问题： （1）已知 11 15 29 1 8 11 23 n ， ， ， 的平均数为 1，求正整数 n 的值． （2）记 2 2 2 2 2 2 3 4 4 4 13 4 ... 3 4 4 4 13 4 S + + + = + + + − − − ，求与 S 最接近的整数． 16. 给一群队长发放物资，一等队长比二等队长少 3 人，二等队长比三等队长少 5 人；每个一等队长分到 的物资比每个二等队长多 10 个单位，每个二等队长分到的物资比每个三等队长多 10 个单位；结果， 一等队长分到的物资之和比二等队长的少 30 个单位，二等队长分到的物资之和比三等队长的少 50 个 单位． 求一等队长的数量． 17. 图 1、图 2 所示六边形 ABCDEF 均为正六边形． 图 1 图 2 （1）如图 1，连接 AC、CE、AE，若三角形 ABC面积为 12，求三角形 ACE面积； （2）如图 2，在 DE 上取一点 G，连接 BG，再在 BG 上取一点 H，连接 AH、FH，将图形分成四个部分， 各部分面积已在图中标出． ①求 :DG EG ； ②求 :BH HG ． 18. 我们约定双阶乘为当 m 是自然数时，表示不超过 m 且与 m 有相同奇偶性的所有正整数的乘积，例如： 9!! 9 7 5 3 1=     ，12!! 12 10 8 6 4 2=      ， （1）求10!!的值． （2）小王认为双阶乘与阶乘之间存在着紧密联系并开始探究，他发现对于偶数的双阶乘都可以变形， 例如 36!! 2 3!=  ，请回答下面两个问题： ①100!中含有多少个质因子 2； ②100！除以①问中的所有质因子 2 的商是多少？（用双阶乘表示） 19. 将 30 个苹果任意排成一行，其中有 15 个红苹果和 15 个青苹果．问：是否必定有连续排列的 10 个苹 果，其中恰好是 5 个红苹果和 5 个青苹果？若是，请证明；若不是，请举反例． A F B C D E 14 13 12 15 A F B C D E G H