广东省深圳市2024-2025学年五年级上学期鹏城能力测评排位赛数学试卷

2024 鹏城能力测评排位赛第1页共2页 学 校 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 电 话 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ 密 封 线 内 不 要 答 题 2024 鹏城能力测评排位赛五年级 一、填空题（每小题 6 分，共 84 分，如果有多个答案，需写出所有答案） 1. 1770 年，大数学家欧拉在他的《代数的要素》这本书中证明过一个等式：9.999 10= ，缩小十倍就是 “ 0.9 1= ”．请计算： 0.9 0.19 0.29 0.39 0.49+ + + + = _________． 2. 一个各位数字互不相同的两位质数个位、十位上的数字都是质数，且奇偶性不同，这个两位数是 ____________． 3. 小鹏请小城吃糖，他对小城说：“这里有 10 个相同的红盒子，8 个相同的蓝盒子，12 个相同的绿盒子， 我在其中两个相同颜色的盒子里各放了 1 颗糖，但我忘了是哪种颜色了．”小城至少打开____________ 个盒子才能保证吃到全部的 2 颗糖． 4. 小鹏和小城都喜欢吃包子，一天他们各自采购了一批包子，交流之后发现他俩的包子数量之比是 1:3， 在各自吃了自己包子的 7 2024 后他俩剩下包子的数量之比为____________． 5. 如图四边形 ABCD 和 CEFG 均为长方形，其中 E 为长方形 ABCD 上一点且 : 3 : 2AE DE = ，三角形 ABE 的面积为 12，长方形 CEFG 的面积为 28，三角形 DFG 的面积为____________． 6. 2024 年国庆期间，深圳举行了盛大的无人机表演活动，超万台无人机编队连续 7 天的演出向世界展示 了深圳这座“天空之城”的科技实力．在本次表演中，最多同时参与演出的无人机数量达到了五位数， 并凭此斩获了吉尼斯纪录．聪明的小鹏发现，这个五位数既能被 9 整除，又能被 11 整除，且前三位数 字为最小的三位质数．这个五位数是____________． 7. 小鹏、小城分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，15 分钟后，小鹏已走的路程是剩下路程的 2 9 ，小 城已走的路程是剩下路程的 3 8 ，按这样的速度走下去，还需__________分钟两人才能相遇． 8. 计算： 7 31 499917 6 20 255012100 1 2 2 3 3 4 49 50 2 3 3 4 4 5 50 51      − + − + =          ____________． 9. 小鹏会一种魔法，可改变一个数的大小，每施展一次魔法可以将一个数增加 10000、1000、100、10 或 1，也可将一个数减少 10000、1000、100、10 或 1，小城想让小鹏帮他把 2024 变成 9876，至少需要小 鹏使用_____________次魔法． 10. 2024 年父亲、母亲的年龄之和是年龄之差的 23 倍，年龄之差是儿子年龄的五分之一，5 年后母亲和儿 子的年龄都是平方数．2024 年父亲_____________岁． 11. 满足个位上的数字等于前三位的数字之和的四位数有__________个． 12. 两个完全相同的长方形共用一点，其重叠情况如图所示．阴影部分的面积是____________． 13. 已知甲、乙、丙、丁四位同学对某十道判断题的解答情况如下表： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 × √ × × √ × √ √ √ × 乙 × × √ √ × √ √ √ × × 丙 √ √ × √ √ √ × √ × √ 丁 × × √ √ × × √ √ × × 若甲、乙、丙三人均答对 7 题，则丁答对的题数为____________. 14. 对于正整数 n，若 3110n 有 110 个正因数（包括 1 和它本身），则 481n 有_____________个正因数． A B C D F G E 考 试 须 知 1．试卷总分为 150 分，考试时间 90 分钟． 2．本考试内容分为两道大题． 3．每道解答题请一定认真书写解答过程，评卷时按照过程逐 步给分． ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ 2024 鹏城能力测评排位赛第2页共2页 二、解答题（13、14 小题每题 12 分，15、16、17 小题每题 14 分，共 66 分） 15. 现有一根长 2024 米的绳子， （1）若将绳子对折 2 次，再从中间剪开，共可把绳子分成多少段？ （2）若将绳子对折 10 次，再从中间剪开，共可把绳子分成多少段？ （3）若先将绳子对折 3 次，再在中间等距离剪 10 次，得到的绳子中最长的绳子段数与最短的绳子段 数之差是多少？ 16. 我们定义 n 的阶乘为 ! 1 2 3n n=     ． （1） 2024！末尾有多少个 0？ （2）如果 2023 2024 2025 5 n K + + = ！ ！ ！ 是一个整数，那么 n最大值为多少？ 17. 如下图，三角形 DEF 的顶点 D 、 E 分别在三角形 ABC 的 BC 、 AC 边上， FE 与 FD 分别与 AB 相交 于 M 、 N 点．已知 2EC AE= ， 2BD DC= ， 2AM BN MN= = ，三角形 ABC 的面积是180，求： （1）三角形 EDC 的面积． （2）四边形 DEMN 的面积． （3）三角形 FMN 的面积． 18. 分组与配对是一种重要的数学思想，可以帮助我们把很多复杂问题简单化． 著名德国数学家高斯 9 岁时，老师问他从 1 加到 100 等于几，他把 100 与 1、99 与 2 等和为 101 的 50 组数加起来，于是很快得到答案为 50×101=5050，这就是配对思想的一个应用．现在请你解决以下问 题： （1）求从 1 到 10000 的所有整数的数字和的总和． （2）若一个六位数的前三位上的数字之和等于后三位上的数字之和，则称这个六位数是幸运的，证 明：所有幸运的六位数之和能被 13 整除． 19. 小鹏所在的班级要选出 4 位班委，全班每位同学都写了 4 个不同的名字（可以投自己），小鹏把每人 的选票收集起来后发现，任意两人的选票，都有并且只有 1 个重复的名字．那么： （1）得到选票最多的人最多得到几张选票？ （2）小鹏班上共有多少人？ 2024 鹏城能力测评排位赛第1页共3页 学 校 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 电 话 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ 密 封 线 内 不 要 答 题 2024 鹏城能力测评排位赛五年级 一、填空题（每小题 6 分，共 84 分，如果有多个答案，需写出所有答案） 1. 1770 年，大数学家欧拉在他的《代数的要素》这本书中证明过一个等式：9.999 10= ，缩小十倍就是 “ 0.9 1= ”．请计算： 0.9 0.19 0.29 0.39 0.49+ + + + = _________． 【答案】2.4 【解析】原式 1 0.2 0.3 0.4 0.5 2.4= + + + + = ． 2. 一个各位数字互不相同的两位质数个位、十位上的数字都是质数，且奇偶性不同，这个两位数是 ____________． 【答案】23 【解析】两位质数的个位必为奇数，故十位为偶数，可知十位只能为 2，此时个位只能为 3，故该两位数 为 23． 3. 小鹏请小城吃糖，他对小城说：“这里有 10 个相同的红盒子，8 个相同的蓝盒子，12 个相同的绿盒子， 我在其中两个相同颜色的盒子里各放了 1 颗糖，但我忘了是哪种颜色了．”小城至少打开____________ 个盒子才能保证吃到全部的 2 颗糖． 【答案】28 【解析】考虑最不利的情况，当某一种颜色吃到还剩 1 颗糖时还没吃到糖即可确定糖不在该颜色盒子中， 故至少打开9 7 12 28+ + = （个）． 4. 小鹏和小城都喜欢吃包子，一天他们各自采购了一批包子，交流之后发现他俩的包子数量之比是 1:3， 在各自吃了自己包子的 7 2024 后他俩剩下包子的数量之比为____________． 【答案】1:3 【解析】所吃包子占比相同，剩下占比也相同，故剩下的数量之比不变，故还是 1:3． 5. 如图四边形 ABCD 和 CEFG 均为长方形，其中 E 为长方形 ABCD 上一点且 : 3 : 2AE DE = ，三角形 ABE 的面积为 12，长方形 CEFG 的面积为 28，三角形 DFG 的面积为____________． 【答案】6 【解析】 : 2 : 3ABE CDES S AE DE= =△ △： ，故 2 12 8 3 CDES =  =△ ，再根据一半模型可知 28 2 8 6DFGS =  − =△ ． 6. 2024 年国庆期间，深圳举行了盛大的无人机表演活动，超万台无人机编队连续 7 天的演出向世界展示 了深圳这座“天空之城”的科技实力．在本次表演中，最多同时参与演出的无人机数量达到了五位数， 并凭此斩获了吉尼斯纪录．聪明的小鹏发现，这个五位数既能被 9 整除，又能被 11 整除，且前三位数 字为最小的三位质数．这个五位数是____________． 【答案】10197 【解析】易知前三位为 101，故可设这个数为101ab，再根据这个数为 9 和 11 的倍数可知这个数为 99 的倍 数，即99 1 1ab + + ，解得 97ab = ，即这个数为 10197． 7. 小鹏、小城分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，15 分钟后，小鹏已走的路程是剩下路程的 2 9 ，小 城已走的路程是剩下路程的 3 8 ，按这样的速度走下去，还需__________分钟两人才能相遇． 【答案】18 【解析】小鹏已经走了全程的 2 2 2 1 9 9 11    + =    ，小城已经走了全程的 3 3 3 1 8 8 11    + =    ，即两人 5 分钟的路程 和为全程的 5 11 ，还剩全程的 5 6 1 11 11 − = ，还需走15 5 6 18  = （分钟）． 8. 计算： 7 31 499917 6 20 255012100 1 2 2 3 3 4 49 50 2 3 3 4 4 5 50 51      − + − + =          ____________． 【答案】302 【解析】 1 1 1 1 1 1 1 1 100 1 2 2 3 3 4 49 50 2 3 3 4 4 5 50 51     =  + − − + + − + +       原式 1 1 100 1 50 2 51 51 100 2 50 302     =  +         =  +    = 9. 小鹏会一种魔法，可改变一个数的大小，每施展一次魔法可以将一个数增加 10000、1000、100、10 或 1，也可将一个数减少 10000、1000、100、10 或 1，小城想让小鹏帮他把 2024 变成 9876，至少需要小 鹏使用_____________次魔法． 【答案】11 【解析】9876 2024 7852 10000 2148 10000 2000 100 50 2− = = − = − − − + ，共需使用魔法 1+2+1+5+2=11 A B C D F G E 考 试 须 知 1．试卷总分为 150 分，考试时间 90 分钟． 2．本考试内容分为两道大题． 3．每道解答题请一定认真书写解答过程，评卷时按照过程逐 步给分． ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ 2024 鹏城能力测评排位赛第2页共3页 （次）. 10. 2024 年父亲、母亲的年龄之和是年龄之差的 23 倍，年龄之差是儿子年龄的五分之一，5 年后母亲和儿 子的年龄都是平方数．2024 年父亲_____________岁． 【答案】48 【解析】因为父母年龄之差是儿子年龄的五分之一，所以儿子年龄是 5 的倍数．又因为 5 年后儿子年龄是 平方数，所以：儿子年龄+5=25，儿子年龄=20．所以：父母年龄之差=20×五分之一=4，从而：父母年龄之 和=4×23=92．猜测父、母年龄分别在 46 岁左右（因为 92÷2=46），另考虑到母亲年龄+5 是平方数，而与 46 最接近的平方数是 49，所以：母亲年龄+5=49，即母亲年龄=44，故父亲年龄=48． 11. 满足个位上的数字等于前三位的数字之和的四位数有__________个． 【答案】165 【解析】个位为 1，有 1 种； 个位为 2，有 2 2 2 1 3C + − = （种）； 个位为 3，有 2 3 2 1 6C + − = （种）； 个位为 4，有 2 4 2 1 10C + − = （种）； 个位为 5，有 2 5 2 1 15C + − = （种）； 个位为 6，有 2 6 2 1 21C + − = （种）； 个位为 7，有 2 7 2 1 28C + − = （种）； 个位为 8，有 2 8 2 1 36C + − = （种）； 个位为 9，有 2 9 2 1 45C + − = （种）； 共有1 3 6 10 15 21 28 36 45 165+ + + + + + + + = （种）． 12. 两个完全相同的长方形共用一点，其重叠情况如图所示．阴影部分的面积是____________． 【解答】如右图，有 ( )2 2 2 4 2 82x x+ = − + ，解得 x=13． 易知阴影上半部分和下半部分面积相等所以阴影部分面积 ( )2 8 13 4 13 2 8 11 2 68S =   −   +   =   ． 13. 已知甲、乙、丙、丁四位同学对某十道判断题的解答情况如下表： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 × √ × × √ × √ √ √ × 乙 × × √ √ × √ √ √ × × 丙 √ √ × √ √ √ × √ × √ 丁 × × √ √ × × √ √ × × 若甲、乙、丙三人均答对 7 题，则丁答对的题数为____________. 【答案】6 【解析】每人答错 3 题，观察甲、乙有 4 题答案相同，此 4 题同对或同错，6 题不同，这 6 题必为一人答对 一人答错， 6 2 3 = ，可知 4 题答案相同的必为同对，即 1、7、8、10 答案分别为×、√、√、×，由于 丙也错 3 题，可知丙错的题为 1、7、10，即 10 道题答案依次为×、√、×、√、√、√、√、√、×、 ×，故丁答对 6 题． 14. 对于正整数 n，若 3110n 有 110 个正因数（包括 1 和它本身），则 481n 有_____________个正因数． 【答案】325 【解析】对 110 分解质因数： ( ) ( ) ( )110 2 5 11 1 1 4 1 10 1=   = +  +  + ，故 3110n 必有 2、5、11 三个质因子， 而 ( ) ( ) 3 3 4 10 3 9 3 110 ab c abc b c abc bc= = = ，故 3 n bc= ，其中 a、b、c 分别为 2、5、11 中的一个． 即 ( ) 4 4 4 3 4 4 12 81 3 3n ab a b= = ，且 a、b 均不为 3，故有因数 ( ) ( ) ( )4 1 4 1 12 1 325+  +  + = （个）． 二、解答题（13、14 小题每题 12 分，15、16、17 小题每题 14 分，共 66 分） 15. 现有一根长 2024 米的绳子， （1）若将绳子对折 2 次，再从中间剪开，共可把绳子分成多少段？ （2）若将绳子对折 10 次，再从中间剪开，共可把绳子分成多少段？ （3）若先将绳子对折 3 次，再在中间等距离剪 10 次，得到的绳子中最长的绳子段数与最短的绳子段 数之差是多少？ 【答案】（1）5；（2）1025；（3）67 【解析】（1）每产生一个剪开点，绳子多 1 段．对折 2 次，此时有 22 4= （层），中间剪一刀产生 4 个 点，共有 4 1 5+ = （段）； （2）对折 10 次，此时有 102 1024= （层），中间剪一刀产生 1024 个点，共有1024 1 1025+ = （段）； （3）对折 3 次之后有 32 8= （层），在中间等距离剪开后产生两种长度，短的主要位于中间，长的主要 位于两边，需注意两个线头处也各有 1 条短的． 故短绳子共有8 9 2 74 + = （段），长绳子共有8 10 1 74 7 + − = （段），差为 74 7 67− = ． 16. 我们定义 n 的阶乘为 ! 1 2 3n n=     ． （1） 2024！末尾有多少个 0？ （2）如果 2023 2024 2025 5 n K + + = ！ ！ ！ 是一个整数，那么 n最大值为多少？ 【答案】(1)503 个(2)527 个 【解析】(1)末尾 0 的个数取决于 2 和 5 的组数， 2024!中包含的 2 必然比 5 多，因此只需要考虑包含 5 的个数即可， 2024 2024 2024 2024 404 80 16 3 503 5 25 125 625         + + + = + + + =                （个）； 2024 鹏城能力测评排位赛第3页共3页 学 校 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 电 话 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ 密 封 线 内 不 要 答 题 (2) ( ) 22023 2024 2025 2023 1 2024 2024 2025 2023 2025+ + =  + +  = ！ ！ ！ ！ ！ ， 2023！含 503 个 5， 2025 含 2 个 5，故 n 最大为503 2 2 507+  = （个）． 17. 如下图，三角形 DEF 的顶点 D 、 E 分别在三角形 ABC 的 BC 、 AC 边上， FE 与 FD 分别与 AB 相交 于 M 、 N 点．已知 2EC AE= ， 2BD DC= ， 2AM BN MN= = ，三角形 ABC 的面积是180，求： （1）三角形 EDC 的面积． （2）四边形 DEMN 的面积． （3）三角形 FMN 的面积． 【答案】(1) 40；(2) 68 ；(3) 9 【解析】(1)根据鸟头模型可得： 2 1 2 3 3 9 EDC ABC S S  = =  ，所以 2 180 40 9 EDCS =  = ． (2)根据鸟头模型可得： 2 1 2 5 3 15 AME ABC S S  = =  ， 则： 2 180 24 15 AMES =  = ， 2 2 4 5 3 15 BDN ABC S S  = =  ， 则有 4 180 48 15 BDNS =  = ，所以四边形 DEMN 的面积是180 40 24 48 68− − − = ． (3)连结MD ，如下图1， 根据等高模型可得： 1 2 DMN DBN S S = ，所以 1 48 24 2 DMNS =  = ; 连结 EN ，如下图 2 ， 根据等高模型可得： 2 1 EAM ENM S S = ，所以 1 24 12 2 EMNS =  = ; 又有： FMN EFN DMN EDN S S FN S S ND = = ，设 FMNS x= ，则有： 12 24 68 12 x x + = − ，解得： 9x = ． 18. 分组与配对是一种重要的数学思想，可以帮助我们把很多复杂问题简单化． 著名德国数学家高斯 9 岁时，老师问他从 1 加到 100 等于几，他把 100 与 1、99 与 2 等和为 101 的 50 组数加起来，于是很快得到答案为 50×101=5050，这就是配对思想的一个应用．现在请你解决以下问 题： （1）求从 1 到 10000 的所有整数的数字和的总和． （2）若一个六位数的前三位上的数字之和等于后三位上的数字之和，则称这个六位数是幸运的，证 明：所有幸运的六位数之和能被 13 整除． 【答案】（1）18001；（2）见解析 【解析】（1）1 与 9998、2 与 9997、3 与 9996……4999与 5000 配对，每一对数字和之和均为 36，共 4999 对，再加上 9999 数字和为 36，10000 数字和为 1，故数字和总和为36 5000 1 18001 + = ； （2）若六位数 A 为幸运数，则999999 A− 也为幸运数，这两个数和为 999999，假设有 2a 个幸运 数，则所有幸运数和为 999999a，而 3999999 3 7 11 13 37=     ，故13 999999a ，得证． 19. 小鹏所在的班级要选出 4 位班委，全班每位同学都写了 4 个不同的名字（可以投自己），小鹏把每人 的选票收集起来后发现，任意两人的选票，都有并且只有 1 个重复的名字．那么 （1）得到选票最多的人最多得到几张选票？ （2）小鹏班上共有多少人？ 【答案】（1）4 张；（2）13 人 【解析】（1）首先说明没有人得到 5 张选票． 若某个人 A 得到 5 张选票，因为任意两票只有一人相同，所以这 5 张票投的另外 3 人均不相 同．此时必然存在没有投 A 的人，那么这个人的选票和投 A 的选票就会出现矛盾：要么两张票 没有相同人选，要么最后这张选票就会出现 5 个人．即不可能有人得到 5 张票．既然没人得到 5 张或者更多的选票，而每个人投出了 4 张票，那就说明每人得到的也恰好是 4 张票． （2）对于 A 来说，得到了 4 张选票，这四张票出现了 13 个不同的人，因此人数不可能比 13 少．如果人数大于 13，假设第 14 个人是 B，那么 B 和 A 不能出现在同一张选票中，投 B 选票还 需要再选 3 人，那么就必然和投 A 的 4 张选票中的某张票没有共同人选，于题目矛盾．因此不可 能多于 13 人． 所以这个班的人数只能是 13 人．