任意角和弧度制及任意角的三角函数 专项训练-2025届高三数学一轮复习

2025高考数学一轮复习-4.1-任意角和弧度制及任意角的三角函数-专项训练模拟练习 【A级　基础巩固】 一、单选题 1．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( ) A．90°－α B．90°＋α C．360°－α D．180°＋α 2．2022年北京冬奥会开幕式倒计时环节把二十四节气与古诗词、古谚语融为一体，巧妙地呼应了今年是第二十四届冬奥会，更是把中国传统文化和现代美学完美地结合起来，彰显了中华五千年的文化自信．地球绕太阳的轨道称为黄道，而二十四节气正是按照太阳在黄道上的位置来划分的，当太阳垂直照射赤道时定为“黄经零度”，即春分点，从这里出发，每前进15度就为一个节气，从春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏等等．待运行一周后就又回到春分点，此为一回归年，共360度，因此分为24个节气，则今年高考前一天芒种为黄经( ) A．60度 B．75度 C．270度 D．285度 3．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知扇形的周长为100 cm，则该扇形的面积S的最大值为( ) A．100 cm2 B．625 cm2 C．1 250 cm2 D．2 500 cm2 5．已知角α的终边经过点(m，－2m)，其中m≠0，则sin α＋cos α＝( ) A．－ B．± C．－ D．± 6．设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 7．已知点P在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A． B． C． D． 8. 达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷，某爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，B处作圆弧所在圆的切线，两条切线交于点C，测得AB＝12.6 cm，∠ACB＝，则《蒙娜丽莎》中女子嘴唇的长度约为(单位：cm)( ) A．12.6 B．4π C．4.2π D．4.3π 二、多选题 9．下列各式中结果为正值的是( ) A．sin 1 125° B．tan π·sin π C． D．sin|－1| 10．若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线x＋y＝0上，则角α的取值集合是( ) A． B． C． D． 11．在平面直角坐标系xOy中，角α以x的非负半轴为始边，且终边经过点P(－1，m)(m>0)，则下列各式的值一定为负的是( ) A．sin α＋cos α B．sin α－cos α C．sin αcos α D． 三、填空题 12．2 025°角是第　　　　象限角，与2 025°角终边相同的最小正角是 　　　　，最大负角是　　　　. 13．已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为　　　　　　　　　　　　　. 14．如图所示，角的终边与单位圆交于第二象限的点A，则cos α－sin α＝　　　　. 15.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式；弧田面积＝(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中，“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径等于4 m的弧田，则矢是　　　　m，所得弧田面积是　　　　m2. 16．函数y＝的定义域为　　　　　　　　　　　　. 【B级　能力提升】 1．(多选题)下列结论中正确的是( ) A．若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0)，则sin α＝ B．若α是第一象限角，则为第一或第三象限角 C．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度 D．若0<α<，则sin α<tan α 2．设集合M＝，N＝，那么( ) A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅ 3．(多选题)函数f(x)＝＋＋的值可能为( ) A．1 B．－1 C．3 D．－3 4．月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若∠ACB＝，南北距离AB的长大约60 m，则该月牙泉的面积约为 　　　　m2(精确到整数位)(参考数据：π≈3.14，≈1.73) 5．已知＝－，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限； (2)若角α的终边上一点M，且OM＝1(O为坐标原点)，求m及sin α的值． 参考答案 【A级　基础巩固】 一、单选题 1．( C )[解析]　由题意逐一考查所给选项即可求得最终结果．若α是第一象限角，则：90°－α位于第一象限，90°＋α位于第二象限，360°－α位于第四象限，180°＋α位于第三象限，故选C． 2．( B )[解析]　春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏、小满、芒种，所以芒种为黄经15×5＝75度．故选B． 3．( B )[解析]　由题意知tan α<0，cos α<0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选B． 4．( B )[解析]　由扇形的周长和面积公式都和半径和弧长有关，可设出半径和弧长，表示出周长和面积公式，利用配方法即可求解，也可以应用均值定理求解．方法一：设扇形半径为r，弧长为l，则周长为2r＋l＝100，面积为S＝lr，因为S＝lr＝(100－2r)r＝－r2＋50r＝－(r－25)2＋625，所以当r＝25时，Smax＝625；方法二(应用均值定理)：S＝lr＝(100－2r)r＝(50－r)r≤2＝625，当且仅当50－r＝r，即r＝25时等号成立，故选B． 5．( B )[解析]　∵角α的终边经过点(m，－2m)，其中m≠0， ∴当m>0时，sin α＝＝－，cos α＝＝， ∴sin α＋cos α＝－. 当m<0时，sin α＝＝， cos α＝＝－，∴sin α＋cos α＝， ∴sin α＋cos α＝±，故选B． 6．( B )[解析]　∵θ为第三象限角，∴为第二或第四象限角．又∵＝－cos ，∴cos <0，∴是第二象限角． 7．( C )[解析]　因为点P在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tan θ＝＝－，又θ∈[0,2π)，所以θ＝. 8.( C )[解析]　画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，如图，设圆心为O，依题意，OA⊥AC，OB⊥BC，O，A，C，B四点共圆， ∵∠ACB＝，∴∠AOB＝. ∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴OA＝AB＝12.6 cm. ∴《蒙娜丽莎》中女子嘴唇的长度约为OA×＝4.2π(cm)．故选C． 二、多选题 9．( ACD )[解析]　确定一个角的某一三角函数值的符号关键要看角在哪个象限，确定一个式子的符号，则需观察构成该式的结构特点及每部分的符号． 对于A，因为1 125°＝1 080°＋45°，所以1 125°是第一象限角，所以sin 1 125°>0； 对于B，因为π＝2π＋π，则π是第三象限角， 所以tan π>0，sin π<0，故tan π·sin π<0； 对于C，因为5弧度的角在第四象限， 所以sin 5<0，tan 5<0，故>0； 对于D，因为<1<，所以sin|－1|>0. 10．( AD )[解析]　因为直线x＋y＝0的倾斜角是，所以终边落在直线x＋y＝0上的角的取值集合为或α＝2kπ＋或.故选AD． 11．( CD )[解析]　由已知得r＝|OP|＝，则sin α＝>0，cos α＝－<0，tan α＝－m<0，则sin α＋cos α的符号不确定，sin α－cos α>0，sin αcos α<0，＝cos α<0.故选CD． 三、填空题 12．[解析]　因为2 025°＝6×360°－135°，所以2 025°角的终边与－135°角的终边相同．所以2 025°角是第三象限角，与2 025°角终边相同的最大负角是－135°.又－135°＋360°＝225°，故与2 025°终边相同的最小正角是225°. 13．[解析]　∵在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为，∴所求角的集合为. 14．[解析]　由题意得cos2α＋2＝1，cos2α＝.又cos α<0，所以cos α＝－，又sin α＝，所以cos α－sin α＝－. 15.[解析]　根据题意画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系求出矢和弦的值，代入公式计算求值即可．如图所示，由题意可得：∠AOB＝，OA＝4，在Rt△AOD中，可得：∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×4＝2，可得：矢＝4－2＝2，由AD＝AO·sin ＝4×＝2，可得：弦＝2AD＝4，所以：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2. 16．[解析]　∵2sin x－1≥0，∴sin x≥. 由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分)． ∴x∈(k∈Z)． 【B级　能力提升】 1．( BCD )[解析]　当k＝－1时，P(－3，－4)，则sin α＝－，故A错误； ∵2kπ<α<2kπ＋，k∈Z， ∴kπ<<kπ＋，k∈Z， ∴为第一或第三象限角，故B正确； |α|＝＝＝1，故C正确； ∵0<α<，∴sin α<tan α⇔sin α<⇔cos α<1，故D正确． 2．( B )[解析]　由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N. 3．( BC )[解析]　由sin x≠0，cos x≠0，知x终边不在坐标轴上，若x为第一象限角，f(x)＝＋＋＝3. 若x为第二象限角，f(x)＝＋＋＝－1. 若x为第三象限角，f(x)＝＋＋＝－1. 若x为第四象限角，f(x)＝＋＋＝－1. 故选BC． 4．[解析]　设△ABC的外接圆的半径为r，则2r＝＝＝120，得r＝60， 因为月牙内弧所对的圆心角为2π－2×＝， 所以内弧的弧长l＝60×＝40π， 所以弓形ABC的面积为 S1＝×40π×60－×60×60×sin ＝1 200π－900， 以AB为直径的半圆的面积为π×(30)2＝1 350π，所以该月牙泉的面积为 1 350π－(1 200π－900)＝150π＋900≈2 028. 5．[解析]　(1)由＝－，得sin α<0， 由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角． (2)因为OM＝1，所以2＋m2＝1， 解得m＝±. 又α为第四象限角，故m<0， 从而m＝－，sin α＝＝＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$