微专题45 任意角、弧度制及三角函数的定义9种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题45 任意角、弧度制及三角函数的定义9种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 终边相同的角 题型2 判断角所在的象限 题型3 根据图形写出角（范围） 题型4 角度制与弧制度的相互转化 题型5 扇形中弧长、面积的有关计算 题型6 扇形中的最值问题 题型7 由终边或终边上的点求三角函数值 题型8 由三角函数值求终边上的点或参数 题型9 三角函数式的符号的确定 一、任意角的定义 1、定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 2、角的表示： （1）始边：射线的起始位置． （2）终边：射线的终止位置． （3）顶点：射线的端点O． （4）记法：图中的角可记为“角”或“”或“”． 3、角的分类： （1）正角：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角； （2）负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； （3）零角：一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角 二、象限角与轴线角 1、象限角的定义与表示：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角。 象限角 集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 2、轴线角的定义与表示：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角。 角的终边位置 集合表示 轴的非负半轴 轴的非正半轴 轴上 轴非负半轴 轴非正半轴 轴上 三、角度制与弧度制 1、角度制与弧度制的定义 （1）规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. （2）弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. （3）弧度制与角度制的区别与联系 区别 （1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位； （2）定义不同. 联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值. 2、角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 3、一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 四、弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下： 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 五、三角函数的定义与符号 1、三角函数的定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则： 叫做的正弦函数，记作.即； 叫做的余弦函数，记作.即； 叫做的正切函数，记作.即。 【补充】三角函数另一种定义 设点（不与原点重合）为角终边上任意一点， 点P与原点的距离为：，则：，，. 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关 2、三角函数的符号：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 六、象限角的两种判断方法 图象法 在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角 转化法 先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角 七、求或nθ(n∈N*)所在象限的步骤 (1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示． (2)两边同除以n或乘以n． (3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)所在的象限． 八、有关弧长及扇形面积问题的注意点 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 九、三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法 (1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值． 方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解． (2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值． 方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题． (3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值． 方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角函数的定义求解． 十、三角函数值的符号判断 已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况． 题型1 终边相同的角 【例1】下列各角，与角终边相同的角是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用终边相同的角的关系，逐项判断即得. 【详解】对于A，， 角与角终边相同，A是； 对于C，角是第二象限角，角是第四象限角，C不是； 对于B，，即角与角终边相同，B不是； 对于D，角是第三象限角，角是第四象限角，D不是. 故选：A 【变式1】【多选】下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据弧度制与角度值不能混用即可排除AB，根据角度制与弧度制的互化以及终边相同角的概念即可判断CD. 【详解】对A,B在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误． 对C，，则与终边相同，而与终边相同， 且化为角度制即为，则与的终边相同， 则是与的终边相同的角的表达式，故C正确； 对D，由C得与终边相同， 则与终边相同的角可以写成的形式，则D正确． 故选：CD． 【变式2】若角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，则与角终边相同的最小正角为（    ） A．23° B．137° C．223° D．337° 【答案】C 【分析】运用终边相同的角的定义求解即可. 【详解】因为， 所以与角终边相同的最小正角为. 故选：C. 【变式3】且角与终边相同，则角α等于 度. 【答案】 【分析】任意角表示出，结合其所在的范围确定其大小即可. 【详解】由题设且，又， 所以时，. 故答案为： 【变式4】若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分为第一象限角和第三象限角时，求出的取值集合再求并集. 【详解】 根据题意，角的终边在直线上，为第一象限角时，； 为第三象限角时，； 综上，角的取值集合是. 故选：D. 题型2 判断角所在的象限 【例2】角属于第 象限角． 【答案】四 【分析】根据终边相同的角的定义即可得． 【详解】与终边相同． 而为第四象限角，所以为第四象限角. 故答案为：四． 【变式1】2弧度的角所在的象限是第 象限． 【答案】二 【分析】根据象限角的定义判断. 【详解】解：因为， 所以2弧度的角所在的象限是第二象限， 故答案为：二 【变式2】【多选】设为第二象限角，则可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】CD 【分析】为第二象限角，得到，得到答案. 【详解】为第二象限角，故， 所以， 所以可能是第三象限角，也可能是第四象限角,或轴的负半轴. 故选：CD 【变式3】如果角的终边在第三象限，则的终边一定不在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据角的终边在第三象限，得，即，然后分类讨论，再结合象限角定义可判断. 【详解】∵α为第三象限角，∴， ∴， 令，，时，，， 可得的终边在第一象限； 令，时，，， 可得的终边在第三象限， 令，时，，， ∴可得的终边在第四象限， 故选:B． 【变式4】若是第一象限的角，则是第几象限的角？是第几象限的角？ 【答案】是第一象限或第三象限的角，是第一象限或第二象限的角或在y轴的非负半轴上. 【分析】由的范围，求出的范围，分类讨论可得到角的象限． 【详解】因为是第一象限角， 所以， 所以， 当时，，在第一象限； 当时，，在第三象限； 所以是第一象限或第三象限的角． 因为， 所以是第一象限或第二象限的角或在y轴的非负半轴上. 【变式5】已知角第二象限角，且，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【分析】写出象限角的取值范围，可求出是第一象限角或第三象限角，再由可得出选项. 【详解】因为角第二象限角，所以， 所以，所以角是第一象限角或第三象限角． 又因为，即，所以角是第一象限角， 故选：A． 题型3 根据图形写出角（范围） 【例3】如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角的概念以及角的终边所在位置，即可确定角的集合. 【详解】终边落在阴影部分的角为，， 即终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是． 故选：B． 【变式1】已知集合则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是（　　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，由此判断出正确选项. 【详解】令，则，故B选项符合. 故选：B 【点睛】本小题主要考查用图像表示角的范围，考查终边相同的角的概念，属于基础题. 【变式2】用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 【答案】(1)； (2). 【分析】结合图形，由终边相同的角的集合，即可得到结果. 【详解】（1）因为的终边相同，，所以阴影部分所表示的区域位于与之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为. （2）因为，，阴影部分所表示的区域由两部分组成，所以终边落在阴影部分的角的集合为 . 题型4 角度制与弧制度的相互转化 【例4】化成弧度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角度制与弧度制的互化公式求解 【详解】因为，所以. 故选：A 【变式1】化为角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接将换成即可. 【详解】化为角度是. 故选：D. 【变式2】已知，若与的终边相同，且，则 【答案】 【分析】根据已知条件，结合终边相同的角的定义，即可求解. 【详解】因为与的终边相同， 且，即， 所以， 故答案为：或 题型5 扇形中弧长、面积的有关计算 【例5】已知一个扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为 cm. 【答案】 【分析】直接利用弧长公式即可求解. 【详解】因为一个扇形的弧所对的圆心角为，所以该扇形的弧长为， 故答案为： 【变式1】半径为2的扇形中，圆心角为，该扇形的弧长为 ，面积为 ． 【答案】 【分析】代入扇形的弧长和面积公式，即可求解. 【详解】 由弧长公式可得，. 由扇形面积公式可得． 故答案为； ． 【变式2】如图，曲线段是一段半径为的圆弧，若圆弧的长度为，则A，B两点间的距离为（ ） A．R B．R C．R D．2R 【答案】C 【分析】先由弧长公式求出圆心角，再由三角形中计算得出； 【详解】设所对的圆心角为. 则由题意，得.所以， 所以， 故选:C. 【变式3】【多选】已知某扇形的圆心角为，半径为5，则（    ） A．该扇形的弧长为 B．该扇形的弧长为 C．该扇形的面积为 D．该扇形的面积为 【答案】AD 【分析】根据扇形的弧长以及面积公式求得扇形的弧长和面积，即可得答案. 【详解】由题意得该扇形的弧长为，面积为， 故A，D正确，B，C错误， 故选：AD 【变式4】古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某纸扇的扇环如图所示，其中外弧线长与内弧线长之和为，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，且该扇形的中心角的弧度数为，则该扇环的外弧线长为（    ） A．70cm B．75cm C．68cm D．72cm 【答案】A 【分析】根据题意结合弧长公式运算求解. 【详解】如图，设弧长为，弧长为, 因为该扇形的中心角的弧度数为， 所以, 即， 又因为， 所以， 又因为，解得， 所以该扇环的外弧线长为． 故选：A. 【变式5】《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分.若弧田所在圆的半径为2，圆心角为，则该弧田的面积为 . 【答案】 【分析】根据给定条件求出三角形面积和扇形面积，结合图形即可计算作答. 【详解】 法一：如图，过作，垂足为， 已知， ， 则， 依题意，等腰底边， 高， 则的面积为， 因为， 即的面积为. 而扇形的面积为， 则有阴影部分的面积为，所以此弧田的面积为. 法二： 已知， ， 由三角形面积公式可得 的面积为，以下过程同法一. 故答案为： 【变式6】圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据扇形面积公式计算即可得解. 【详解】由扇形面积公式（其中为扇形弧长，为扇形圆心角，为扇形半径）可得，扇环面积. 故选：A 题型6 扇形中的最值问题 【例6】已知一个扇形的周长为20，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设扇形所在圆的半径为r，结合已知，用r表示出扇形面积，再利用二次函数性质求解作答. 【详解】设扇形所在圆的半径为r，则扇形弧长，， 于是扇形的面积，即当时，，此时， 所以所求圆心角的弧度为. 故选：B 【变式1】已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r． (1)若，求扇形的弧长． (2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由扇形弧长公式计算； （2）由扇形面积公式及二次函数求最值即可. 【详解】（1）设扇形的弧长为l． 因为，即， 所以． （2）由题设条件，知，则， 所以扇形的面积． 当时，S有最大值36， 此时， 所以当时，扇形的面积最大，最大面积是36． 【变式2】某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值． 【答案】(1)； (2)当时，y的值最大，最大值为． 【分析】(1)根据弧长公式和周长列方程得出关于的函数解析式； (2)根据面积公式求出关于的函数表达式，根据二次函数性质可得的最大值． 【详解】（1）根据题意，弧的长度为米，弧的长度米， ， ． （2）依据题意，可知， 化简得：，， 当，． ∴当时，y的值最大，且最大值为． 题型7 由终边或终边上的点求三角函数值 【例7】若的终边经过点，则（    ） A． B． C．为锐角 D． 【答案】D 【分析】由角的终边经过点，求得，根据三角函数的定义，即可求解. 【详解】由角的终边经过点，求得， 由三角函数的定义，. 且为第一象限角，非锐角. 故选：D. 【变式1】已知角的终边经过点，则（    ）． A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义求出，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以. 故选：D． 【变式2】已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，点 在角的终边上，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数正弦定义相关知识可求. 【详解】因为角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，点 在角的终边上， 所以， 故选：D 【变式3】【多选】已知角的终边上有一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由题知，因为，所以点在第三象限， 所以，， 故选：BD. 【变式4】【多选】已知角的终边经过点，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据三角函数的概念求解，即可得的值. 【详解】已知角的终边经过点 所以， 则当时，，此时； 当时，，此时； 所以的值可能为或. 故选：CD. 题型8 由三角函数值求终边上的点或参数 【例8】已知点在角终边上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义求出，再由定义计算可得. 【详解】因为点在角终边上，且， 即，解得， 所以. 故选：A 【变式1】若，且角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义，列出方程，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 根据三角函数的定义可得， 所以，，且， 所以，. 故选：D． 【变式2】设为第四象限角，其终边上的一个点是，且，求和. 【答案】， . 【分析】先求得，然后求得. 【详解】依题意，为第四象限角，其终边上的一个点是，则， ，解得，则 所以， . 题型9 三角函数式的符号的确定 【例9】点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先判断在第几象限，进而判断三角函数值的符号，即可得结果. 【详解】因为，则为第三象限角， 可得， 所以位于第四象限. 故选：D. 【变式1】若且，则为第（    ）象限的角. A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义，由三角函数值的符号，判断角所在象限. 【详解】由三角函数的定义可知，时在第一、四象限；时在第二、四象限， 所以且时，在第四象限. 故选：D 【变式2】“角是第三象限角”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】结合角所在象限的性质及充分不必要条件进行判断即可. 【详解】当角是第三象限角时， ，， 于是， 所以充分性成立； 当，即时， 角是第二或第三象限角， 所以必要性不成立， 故选：A． 【变式3】已知角，则的值为 ． 【答案】 【分析】判断角所在象限，确定，从而脱掉绝对值符号，求得答案. 【详解】由题意得：， 故角是第三象限角，则， 故， 故答案为： 【变式4】已知点在第二象限，则角的终边在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】由点M所在的象限，确定正切和余弦的符号，得角终边所在的象限. 【详解】因为点在第二象限，所以，， 所以的终边在第三象限. 故选：C. $$2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题45 任意角、弧度制及三角函数的定义9种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 终边相同的角 题型2 判断角所在的象限 题型3 根据图形写出角（范围） 题型4 角度制与弧制度的相互转化 题型5 扇形中弧长、面积的有关计算 题型6 扇形中的最值问题 题型7 由终边或终边上的点求三角函数值 题型8 由三角函数值求终边上的点或参数 题型9 三角函数式的符号的确定 一、任意角的定义 1、定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 2、角的表示： （1）始边：射线的起始位置． （2）终边：射线的终止位置． （3）顶点：射线的端点O． （4）记法：图中的角可记为“角”或“”或“”． 3、角的分类： （1）正角：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角； （2）负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； （3）零角：一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角 二、象限角与轴线角 1、象限角的定义与表示：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角。 象限角 集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 2、轴线角的定义与表示：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角。 角的终边位置 集合表示 轴的非负半轴 轴的非正半轴 轴上 轴非负半轴 轴非正半轴 轴上 三、角度制与弧度制 1、角度制与弧度制的定义 （1）规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. （2）弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. （3）弧度制与角度制的区别与联系 区别 （1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位； （2）定义不同. 联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值. 2、角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 3、一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 四、弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下： 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 五、三角函数的定义与符号 1、三角函数的定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则： 叫做的正弦函数，记作.即； 叫做的余弦函数，记作.即； 叫做的正切函数，记作.即。 【补充】三角函数另一种定义 设点（不与原点重合）为角终边上任意一点， 点P与原点的距离为：，则：，，. 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关 2、三角函数的符号：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 六、象限角的两种判断方法 图象法 在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角 转化法 先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角 七、求或nθ(n∈N*)所在象限的步骤 (1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示． (2)两边同除以n或乘以n． (3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)所在的象限． 八、有关弧长及扇形面积问题的注意点 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 九、三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法 (1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值． 方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解． (2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值． 方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题． (3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值． 方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角函数的定义求解． 十、三角函数值的符号判断 已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况． 题型1 终边相同的角 【例1】下列各角，与角终边相同的角是（   ）. A． B． C． D． 【变式1】【多选】下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，则与角终边相同的最小正角为（    ） A．23° B．137° C．223° D．337° 【变式3】且角与终边相同，则角α等于 度. 【变式4】若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ） A． B． C． D． 题型2 判断角所在的象限 【例2】角属于第 象限角． 【变式1】2弧度的角所在的象限是第 象限． 【变式2】【多选】设为第二象限角，则可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式3】如果角的终边在第三象限，则的终边一定不在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4】若是第一象限的角，则是第几象限的角？是第几象限的角？ 【变式5】已知角第二象限角，且，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 题型3 根据图形写出角（范围） 【例3】如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知集合则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是（　　　　） A． B． C． D． 【变式2】用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 题型4 角度制与弧制度的相互转化 【例4】化成弧度是（    ） A． B． C． D． 【变式1】化为角度是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，若与的终边相同，且，则 题型5 扇形中弧长、面积的有关计算 【例5】已知一个扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为 cm. 【变式1】半径为2的扇形中，圆心角为，该扇形的弧长为 ，面积为 ． 【变式2】如图，曲线段是一段半径为的圆弧，若圆弧的长度为，则A，B两点间的距离为（ ） A．R B．R C．R D．2R 【变式3】【多选】已知某扇形的圆心角为，半径为5，则（    ） A．该扇形的弧长为 B．该扇形的弧长为 C．该扇形的面积为 D．该扇形的面积为 【变式4】古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某纸扇的扇环如图所示，其中外弧线长与内弧线长之和为，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，且该扇形的中心角的弧度数为，则该扇环的外弧线长为（    ） A．70cm B．75cm C．68cm D．72cm 【变式5】《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分.若弧田所在圆的半径为2，圆心角为，则该弧田的面积为 . 【变式6】圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为（    ） A． B． C． D． 题型6 扇形中的最值问题 【例6】已知一个扇形的周长为20，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【变式1】已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r． (1)若，求扇形的弧长． (2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积． 【变式2】某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值． 题型7 由终边或终边上的点求三角函数值 【例7】若的终边经过点，则（    ） A． B． C．为锐角 D． 【变式1】已知角的终边经过点，则（    ）． A．3 B． C． D． 【变式2】已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，点 在角的终边上，则 （ ） A． B． C． D． 【变式3】【多选】已知角的终边上有一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】【多选】已知角的终边经过点，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 题型8 由三角函数值求终边上的点或参数 【例8】已知点在角终边上，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】若，且角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】设为第四象限角，其终边上的一个点是，且，求和. 题型9 三角函数式的符号的确定 【例9】点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】若且，则为第（    ）象限的角. A．一 B．二 C．三 D．四 【变式2】“角是第三象限角”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式3】已知角，则的值为 ． 【变式4】已知点在第二象限，则角的终边在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 $$