专题2.5 解题技巧专题：圆中有关辅助线的作法（5类题型）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题2.5 解题技巧专题：圆中有关辅助线的作法 目录 【考点一 遇弦作弦心距或连接半径】 1 【考点二 遇直径构造直径所对的圆周角是直角】 6 【考点三 遇切线连接圆心和切点】 17 【考点四 证明切线若有切点，连半径，证垂直】 27 【考点五 证明切线若无切点，作垂直，证半径】 39 【典型例题】 【考点一 遇弦作弦心距或连接半径】 例题：（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 过点O作于E，连接，利用垂径定理，勾股定理求解即可． 【详解】解：过点O作于E，连接，如图， ，， ， ． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）如图，是半径为4的的弦，于点，交于点，若，则弦为    【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理和圆的性质等知识，熟练掌握圆中求线段长的两个定理：垂径定理构造直角三角形，勾股定理求线段长，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示：    是的弦，是的半径，于点，交于点， 由垂径定理可知， 的半径为4，， 在中，由勾股定理可得， 弦的长为， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，的直径和弦相交于点E，已知 ． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，作，连接，先求出半径，进而得出，再根据直角三角形的性质得，然后根据勾股定理求出，最后根据垂径定理得出答案． 【详解】过点O作于点F，连接． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 3．（23-24九年级上·河南新乡·期末）如图，在以点O为圆心，半径不同的两个圆中，大圆和小圆的半径分别为9和5，大圆的弦交小圆于点C，D．若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理，熟记定理内容，理由勾股定理进行计算是解题关键．作，连接，根据求出，再由即可求解． 【详解】解：作，连接，如图所示： 则， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 4．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，，以点C为圆心，为半径的圆与，分别交于点E与点D，则的长为 ． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，过点C作于点H，根据勾股定理得出，即可用等面积法求出，再用勾股定理求出，即可根据垂径定理得出，即可求解． 【详解】解∶过点C作于点H， ∵，，， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2024·黑龙江佳木斯·三模）常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是 ．    【答案】1 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、利用垂径定理求值 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，构造直角三角形是求线段长的常用方法．连接，，作，先证明四边形是矩形，进而得出，再根据勾股定理求出，可得，根据即可得出答案． 【详解】解：连接，，过点O作于点G，交一点E，交于点F．    ∵，， ∴. ∵， ∴四边形是平行四边形. ∵， ∴四边形是矩形， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴圆盘离桌面最近的距离是1cm， 故答案为：1． 【考点二 遇直径构造直径所对的圆周角是直角】 例题：（2024·安徽·二模）如图，为的直径，CD为的一条弦，的平分线交于点E，，的延长线交于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】已知圆内接四边形求角度、半圆（直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）如图，连接，证明，可得，结合圆周角定理可得，从而可得答案； （2）如图，连接．证明，，可得，，从而可得结论． 【详解】（1）解：如图，连接． ， 平分， ． 为的直径， ∴， ， ． （2）证明：如图，连接． 平分， ，而，， ． 是的直径， ∴， ， ，， ． ，， ， ， ． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【变式训练】 1．（2024·甘肃兰州·一模）如图，在中，，与相切于点A，与相交于点C，延长交于点D，连接． (1)求的大小； (2)当时，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】（1）由切线的定义得出，则，，结合，由三角形内角和定理则可以求出． （2）连接，由直径所对的圆周角等于得出，证明为等边三角形，再由含直角三角形的性质得出，进而可得出，，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， （2）连接，则， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的定义，三角形内角和定理，直径所对的圆周角等于，等边三角形的判定以及性质，含直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握这写性质是解题的关键． 2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，点D是的中点，以为直径作，分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了圆和直角三角形综合．正确作出辅助线，熟练掌握圆周角定理推论，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理解直角三角形，等腰三角形性质，是解决问题的关键． （1）根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半推出，根据直径对的圆周角是直角得到，根据等腰三角形三线合一的性质即可得解； （2）根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半推出，根据直径对的圆周角是直角推出，根据勾股定理列出等式，据此求解即可． 【详解】（1）如图，连接， ∵中，，D为中点， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴； （2）如图，连接， ∵，，， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的直径，弦于点E，G是弧上一点，，的延长线交于点F，连接，，．    (1)求证：； (2)已知，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)的半径长是5 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理、利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理．解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角，垂直于弦的直径平分弦，以及正确作出辅助线，构造直角三角形建立方程求解． （1）连接，易得，则，根据题意可得，则，根据，即可求证； （2）连接，设圆的半径是r，则，，进而得出，根据勾股定理可得，列出方程求解即可； 【详解】（1）证明：连接， ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接，设圆的半径是r，    ∵， ∴，， ∵直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或（舍）， ∴的半径长是5； 4．（2023·河南·模拟预测）如图，在中，，以为直径作交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)连接，，当__________时，四边形为菱形； (3)若，，则　　． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】已知圆内接四边形求角度、半圆（直径）所对的圆周角是直角、利用菱形的性质证明、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）设，在圆内接四边形中，，则，得出，即可得证； （2）根据四边形为菱形，得出，进而得出为等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解； （3）连接在，中，勾股定理分别求得，在中，根据斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）证明：， 设． 在圆内接四边形中，． ． ． ； （2）若四边形为菱形，则． ． 同理． ． ． ． 为等边三角形． 故答案为：． （3）如图，连接， ， ． 在中，． 在中，． 如图，连接，则． ． 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）【初识模型】（1）如图1，、是的两条弦，，连接、． 求证：； 【模型应用】（2）如图2，在（1）的条件下，过作交于点，垂足为．若，，求的半径； 【拓展提升】（3）如图3，已知的半径为，弦与相交于点，若，，求的长． 【答案】（1）见解析、（2）的半径为、（3） 【知识点】已知圆内接四边形求角度、半圆（直径）所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相等、圆周角定理 【分析】（1）根据平行线的性质可得则弧弧，得出； （2）连接．可得得出A、E、D、B四点都在上且为的直径．勾股定理即可求解． （3）过作，连接、、、，过作，交的延长线与点．得出，进而勾股定理求得，在中，得出，进而在中，勾股定理求得，得出，由（1）中结论得：． 【详解】（1）连接， ∵， ∴， ∴弧弧， ∴． （2）连接． ∵，， ∴， ∴． ∵A、E、D、B四点都在上， ∴， ∴为的直径． 由（1）可知， 又∵， ∴， ∴的半径为． （3）过作，连接、、、，过作，交的延长线与点． ∵，， ∴， ∴，． ∴ 在中，∵， ∴． 在中，∵， ∴， ∴． ∵， ∴．在中，， ∴． 由（1）中结论得：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，弧与弦的关系，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【考点三 遇圆中的切线连接圆心和切点】 例题：（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，是的直径，为上两点，和过点的切线互相垂直，垂足为点． (1)求证：平分． (2)连接，若，求的半径（提示：连接） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、同弧或等弧所对的圆周角相等、切线的性质定理 【分析】（1）连接，由切线的性质得到，证明，得，由，得，则，即平分； （2）连接交于点，由得，则垂直平分，是的中位线，则，而，设的半径为，则，根据勾股定理列方程求出的值即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：如图，连接交于点， ， ， ，， ， ，，， ， 设的半径为，则， ， 由勾股定理可得，， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 的半径为． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、弧与圆周角之间的关系、等边对等角、垂径定理、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024九年级上·浙江·专题练习）已知为的直径，，C为上一点，连接． (1)如图①，若为的中点，求的大小和的长； (2)如图②，若，为的半径，且，垂足为，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的长． 【答案】(1)， (2) 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、利用垂径定理求值、圆周角定理、切线的性质定理 【分析】（1）由圆周角定理得，由C为的中点，得，从而，即可求得的度数，通过勾股定理即可求得的长度； （2）证明四边形为矩形，，由勾股定理求得的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， 由为的中点，得， ∴，得， 在中，， ∴； 根据勾股定理，有， 又，得， ∴； （2）解：∵是的切线， ∴，即， ∵，垂足为E， ∴， 同（1）可得，有， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，于是， 在中，由，得， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质，垂径定理，勾股定理和矩形的判定和性质等，解题的关键是利用数形结合的思想解答此题． 2．（24-25九年级上·贵州·期中）如图，四边形的顶点A，B，C在以点O为圆心的一个圆上，点C是弧的中点，连接，过点B作的切线交的延长线于点D，． (1)写出图中一个度数为的角：_________． (2)求的度数． (3)判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)(写出其中一个即可) (2)； (3)四边形是菱形，理由见详解 【知识点】等边三角形的判定和性质、证明四边形是菱形、切线的性质定理 【分析】本题考查切线的性质，直角三角形两锐角互余及等边三角形的判定与性质，菱形的判定： （1）根据切线得到，结合，即可得到，结合等边三角形判定即可得到及都是等边三角形即可得到答案； （2）本题考查切线的性质，根据及是等边三角形求解即可得到答案； （3）本题考查菱形的判定，根据弧中点得到，即可得到判定； 【详解】（1）解：(写出其中一个即可)，理由如下， ∵与相切， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴是等边三角， ∴， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：由（1）得，，， ∴； （3）解：四边形是菱形，理由如下， 由（1）得，及都是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知点是外一点，分别与相切于点． (1)如图①，若，则______； (2)如图②，连接，若，则______°； (3)如图③，点是优弧上一点，连接，若，则______°． 【答案】(1)1 (2)56 (3)60 【知识点】应用切线长定理求解、切线的性质定理、圆周角定理 【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线． （1）根据切线长定理即可解答； （2）根据切线的性质得出，进而得出，即可解答； （3）连接，根据切线的性质得出，进而得出为等边三角形，推出，根据三角形的内角和定理和圆周角定理即可解答． 【详解】（1）解：∵分别与相切于点，， ∴， 故答案为：1． （2）解：是的切线， ， ， ， ， ． 故答案为：56． （3）解：连接，如图， 是的切线， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：60． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知直线与相切于点，连接交于点． (1)如图①，点是优弧上一点，连接，若，则______； (2)如图②，延长交于点，连接，若，则______； (3)如图③，点是上一点，且，连接并延长交于点，连接，若，则______． 【答案】(1)40 (2)30 (3)40 【知识点】切线的性质定理、圆周角定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了切线的定义，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线． （1）连接，根据切线的定义得出根据圆周角定理得出，即可解答； （2）连接 根据切线的定义得出，几何圆周角定理得出，即可解答； （3）连接 易得，根据等边对等角得出，最后根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】（1）解：如图①，连接， 是的切线， ， ． 故答案为：40． （2）解：如图②，连接 是的切线， ， ， ， ， 又， ， ． 故答案为：30． （3）解：如图③，连接 是的切线， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：40． 5．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）【认识】 如果一个圆与矩形一边相切（切点不与顶点重合）且经过矩形的两个顶点，那么这个圆叫做矩形的“友好圆”，矩形是圆的“友好矩形”． 【理解】 （1）如图①，四边形是矩形，则它有___________个“友好圆”；如图②，已知，则它有___________个“友好矩形”（从1、2、4、“无数”这四个选项中选填一个）； 【思考】 （2）如图③，矩形中，，，是矩形中经过点C、B的“友好圆”，求的半径． 【探究】 （3）如图④，已知矩形，用无刻度的直尺和圆规作出过点B、C的“友好圆”．（保留作图痕迹，不写步骤） 【答案】（1）4；无数个；（2）（3）见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是矩形、垂径定理的实际应用、切线的性质定理 【分析】（1）根据定义判断即可；经过圆上的任意一点，作圆的切线，经过圆上另外一点，作切线的平行线，与圆有一个交点，过这两个点作切线的垂线，构造的矩形符合题意，这样的点有无数个，故新定义矩形有无数个； （2）设与切点为E，连接并延长交于F，连接，设，则，，由勾股定理，得解答即可． （3）根据新定义，结合圆的基本作图，线段的垂直平分线的基本作图，解答即可． 【详解】解：（1）四边形是矩形，根据定义，判定有4个“友好圆”； 已知，如图，根据圆上有无数个点，故它有无数个“友好矩形”， 故答案为：4，无数． （2）解：如图，，，矩形， 则，，， 设与切点为E，连接并延长交于F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 连接，设， 则，， 根据勾股定理，得， 故， 解得 （3）解：作线段的垂直平分线，交于点F，交于点E， 连接，作线段的垂直平分线，交于点Q， 以点Q为圆心，以为半径作， 则即为所求． 证明：作线段的垂直平分线，交于点F，交于点E， 连接，作线段的垂直平分线，交于点Q， 则，，， 故， ， 故点B，C都在上，且是的切线， 故是过点B、C的“友好圆”． 【点睛】本题考查了新定义，切线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，矩形的判定和性质，线段的垂直平分线，基本作图，熟练掌握垂径定理，线段的垂直平分线性质，勾股定理是解题的关键． 【考点四 证明切线若有切点，连半径，证垂直】 例题：（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，直角三角形中，，点为上一点，以为直径的上一点在上，且平分． (1)证明：是的切线； (2)，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【知识点】证明某直线是圆的切线、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键． （1）连接，根据平行线判定推出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）根据勾股定理求出，再根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ∴， ， ， ， ， 为半径， 是切线； （2）解：设， 在中，，， ， 由勾股定理，得：， 解得：， ， ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，是的外接圆，，过点A作交于点D，连接，延长到点E，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、圆周角定理、垂径定理的推论、用勾股定理解三角形 【分析】（1）连接，利用平行线的性质，同圆的半径相等，平行线的判定和圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接，交于点，利用（1）的结论判定四边形为平行四边形，利用垂径定理和勾股定理求得，设半径的长为，则，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵，过圆心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：连接，设与相交于点F， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又，， ∴，， ∵，过圆心， ∴， ∴， 设的半径为r，则，， ∵， ∴， ∴， 即的半径为． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，平行线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 2．（2024·浙江绍兴·二模）如图，在中，，点在边上，以为直径作交的延长线于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、证明某直线是圆的切线、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了切线的判定，勾股定理，熟练掌握切线的判定和勾股定理是解题的关键． （1）连接，则，由，可得，再根据可得，可推出，即可证明； （2）由，，可得，设半径为，在中，由勾股定理列方程，即可求解． 【详解】（1）（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2），， 利用勾股定理求得， ， 设半径为， 在中，由勾股定理得：， 即 解得：， 的半径为． 3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，是直角三角形的外接圆，直径，过C点作的切线，与延长线交于点D，M为的中点，连接，，且与相交于点N． (1)求证：与相切； (2)当时，在的圆上取点F，使，补全图形，并求点F到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）根据题意可得，根据直径所对的圆周角是直角，得出，进而得出，证明，得出，即可得证； （2）分点在以及半圆上，分别作出图形，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 为的中点，是中点， ， 是的直径， ， ， ∵， ， 又 ， ， 是切线 ， ， ， 是切线； （2）如图所示，当点在上时，连接，交于点， ， ， ， ， 直径， ， ∴， ， ； 当点在半圆上时，过点作，垂足为点，，垂足为点， 四边形是矩形， 在中，， ∵， ∴， ， ∴， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的性质与判定，垂径定理，直径所对的圆周角是直角，综合运用以上知识是解题的关键． 4．（2024·湖南·模拟预测） 如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M．    (1)求证：直线是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)2． 【知识点】证明某直线是圆的切线、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明即可； （2）由，得到，由（1）有，可得，从而，根据“等角对等边”证得； （3）在中，求得，又由（2）有，可得是等边三角形，从而，，因此在中，，根据“三线合一”可得，再求出，证得，从而． 【详解】（1）证明：连接，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在中，． ∵，平分， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆的性质，切线的判定，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，含的直角三角形，平行线的判定与性质等知识．本题的综合性较强，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 5．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在y轴上，边与x轴交于点D，平分交边于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，与y轴相交于另一点G．    (1)求证：是的切线； (2)若点A、D的坐标分别为，求的半径； (3)在（2）的条件下，求的长； (4)试探究线段三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)，见解析 【知识点】证明某直线是圆的切线、利用垂径定理求值、利用矩形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是切线的判定、垂径定理的应用、矩形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，证明结论； （2）连接，设的半径为，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （3）过点作于，利用勾股定理求得、的长，再利用矩形的判定与性质可得答案； （4）作于，得到四边形是矩形，得到，根据垂径定理解答即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是直角三角形，为斜边， ∴， ∵平分交边于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴是的切线． （2）解：连接， ∵点、的坐标分别为，， ∴，， 设的半径为， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为． （3）解：过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴；    （4）解：，证明如下： 由（3）得，四边形是矩形，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 【考点五 证明切线若无切点，作垂直，证半径】 例题：（22-23九年级上·甘肃定西·期末）如图，已知直线经过上的点，且． (1)求证：直线是的切线． (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出再根据切线的判定定理可得出结论； （2）求出的长和的度数，根据勾股定理求出和长 ，再求出答案即可． 【详解】（1）证明：连接， ，， ， ∵是的半径， 是的切线． （2）解：， ∴， ∵， ∴， 同理，， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得，， 阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的判定，扇形面积的计算等知识，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，为正方形对角线上一点，与以为圆心，长为半径的相切于点． (1)求证：与相切； (2)若正方形的边长为1，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为． 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、证明某直线是圆的切线 【分析】此题综合了正方形的性质和圆的切线的性质和判定． （1）根据正方形的性质得到是角平分线，再根据角平分线的性质进行证明； （2）根据正方形的边长可以求得其对角线的长，根据等腰直角三角形的性质得到是圆的半径的倍，从而根据对角线的长列方程求解． 【详解】（1）证明：连接，过作于； 与相切， ， 四边形是正方形， 平分， ， 与相切； （2）解：四边形为正方形， ，，， ，， ， ； 又， ， ． 2．（2024·广西·模拟预测）如图，，，与交于点O，以O为圆心，长为半径作圆． (1)证明：是的切线； (2)已知 ，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过O点作，垂足为点E，证明，推出，即可证明； （2）设的半径为r，，由得，用勾股定理解求出r，再用勾股定理解即可求出的长． 【详解】（1）证明：过O点作，垂足为点E， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵为半径， ∴为半径， 又∵， ∴是的切线； （2）解：在中，由勾股定理得， ∴， 设的半径为r，则， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， 在中，由勾股定理得， 即， ∴． 3．（2024·上海·模拟预测）如图，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：与相切． (2)若正方形的边长为，点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、证明某直线是圆的切线 【分析】（）如图，连接，过点作于，证明，得到，即可求证； （）连接，并反向延长交于，连接，可得，得到，，进而得为等腰直角三角形，得到，设的半径为，则，，可得，即得，得到，即可得，得到，，再由可得，得到，最后利用勾股定理得到，进而利用勾股定理即可求解； 【详解】（1）证明：如图，连接，过点作于， ∵为的切线，点为切点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴与相切； （2）解：连接，并反向延长交于，连接， ∵为的切线，点为切点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设的半径为，则，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 解题技巧专题：圆中有关辅助线的作法 目录 【考点一 遇弦作弦心距或连接半径】 1 【考点二 遇直径构造直径所对的圆周角是直角】 6 【考点三 遇切线连接圆心和切点】 17 【考点四 证明切线若有切点，连半径，证垂直】 27 【考点五 证明切线若无切点，作垂直，证半径】 39 【典型例题】 【考点一 遇弦作弦心距或连接半径】 例题：（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）如图，是半径为4的的弦，于点，交于点，若，则弦为    2．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，的直径和弦相交于点E，已知 ． 3．（23-24九年级上·河南新乡·期末）如图，在以点O为圆心，半径不同的两个圆中，大圆和小圆的半径分别为9和5，大圆的弦交小圆于点C，D．若，则的长为 ． 4．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，，以点C为圆心，为半径的圆与，分别交于点E与点D，则的长为 ． 5．（2024·黑龙江佳木斯·三模）常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是 ．    【考点二 遇直径构造直径所对的圆周角是直角】 例题：（2024·安徽·二模）如图，为的直径，CD为的一条弦，的平分线交于点E，，的延长线交于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【变式训练】 1．（2024·甘肃兰州·一模）如图，在中，，与相切于点A，与相交于点C，延长交于点D，连接． (1)求的大小； (2)当时，求的长． 2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，点D是的中点，以为直径作，分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的直径，弦于点E，G是弧上一点，，的延长线交于点F，连接，，．    (1)求证：； (2)已知，，求的半径长． 4．（2023·河南·模拟预测）如图，在中，，以为直径作交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)连接，，当__________时，四边形为菱形； (3)若，，则　　． 5．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）【初识模型】（1）如图1，、是的两条弦，，连接、． 求证：； 【模型应用】（2）如图2，在（1）的条件下，过作交于点，垂足为．若，，求的半径； 【拓展提升】（3）如图3，已知的半径为，弦与相交于点，若，，求的长． 【考点三 遇圆中的切线连接圆心和切点】 例题：（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，是的直径，为上两点，和过点的切线互相垂直，垂足为点． (1)求证：平分． (2)连接，若，求的半径（提示：连接） 【变式训练】 1．（2024九年级上·浙江·专题练习）已知为的直径，，C为上一点，连接． (1)如图①，若为的中点，求的大小和的长； (2)如图②，若，为的半径，且，垂足为，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的长． 2．（24-25九年级上·贵州·期中）如图，四边形的顶点A，B，C在以点O为圆心的一个圆上，点C是弧的中点，连接，过点B作的切线交的延长线于点D，． (1)写出图中一个度数为的角：_________． (2)求的度数． (3)判断四边形的形状，并说明理由． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知点是外一点，分别与相切于点． (1)如图①，若，则______； (2)如图②，连接，若，则______°； (3)如图③，点是优弧上一点，连接，若，则______°． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知直线与相切于点，连接交于点． (1)如图①，点是优弧上一点，连接，若，则______； (2)如图②，延长交于点，连接，若，则______； (3)如图③，点是上一点，且，连接并延长交于点，连接，若，则______． 5．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）【认识】 如果一个圆与矩形一边相切（切点不与顶点重合）且经过矩形的两个顶点，那么这个圆叫做矩形的“友好圆”，矩形是圆的“友好矩形”． 【理解】 （1）如图①，四边形是矩形，则它有___________个“友好圆”；如图②，已知，则它有___________个“友好矩形”（从1、2、4、“无数”这四个选项中选填一个）； 【思考】 （2）如图③，矩形中，，，是矩形中经过点C、B的“友好圆”，求的半径． 【探究】 （3）如图④，已知矩形，用无刻度的直尺和圆规作出过点B、C的“友好圆”．（保留作图痕迹，不写步骤） 【考点四 证明切线若有切点，连半径，证垂直】 例题：（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，直角三角形中，，点为上一点，以为直径的上一点在上，且平分． (1)证明：是的切线； (2)，，求的长． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，是的外接圆，，过点A作交于点D，连接，延长到点E，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径的长． 2．（2024·浙江绍兴·二模）如图，在中，，点在边上，以为直径作交的延长线于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，是直角三角形的外接圆，直径，过C点作的切线，与延长线交于点D，M为的中点，连接，，且与相交于点N． (1)求证：与相切； (2)当时，在的圆上取点F，使，补全图形，并求点F到直线的距离． 4．（2024·湖南·模拟预测） 如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M．    (1)求证：直线是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 5．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在y轴上，边与x轴交于点D，平分交边于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，与y轴相交于另一点G．    (1)求证：是的切线； (2)若点A、D的坐标分别为，求的半径； (3)在（2）的条件下，求的长； (4)试探究线段三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 【考点五 证明切线若无切点，作垂直，证半径】 例题：（22-23九年级上·甘肃定西·期末）如图，已知直线经过上的点，且． (1)求证：直线是的切线． (2)若，求阴影部分的面积． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，为正方形对角线上一点，与以为圆心，长为半径的相切于点． (1)求证：与相切； (2)若正方形的边长为1，求的半径． 2．（2024·广西·模拟预测）如图，，，与交于点O，以O为圆心，长为半径作圆． (1)证明：是的切线； (2)已知 ，求的长． 3．（2024·上海·模拟预测）如图，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：与相切． (2)若正方形的边长为，点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长 学科网（北京）股份有限公司 $$