第1章一元二次方程同步练习卷-2024-2025学年苏科版数学九年级上册

第1章一元二次方程同步练习卷-2024-2025学年数学九年级上册苏科版 一、单选题 1．若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．m为任何实数 2．一元二次方程配方后正确的是（　　） A． B． C． D． 3．若实数x满足，则的值为（   ） A． B． C．2024 D．2025 4．如图所示，菱形中，的两边长是方程的两个根，则菱形的周长是（    ） A．16 B．12 C．8 D．8或16 5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 6．某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨，若平均每月增长率为x，则可以列出方程（　　） A． B． C． D． 7．在公元前2000年左右，一元二次方程首次出现在古巴比伦人的泥板文书（如图）中．下列方程，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 8．我国的乒乓球“梦之队”在年巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．计划分为4组，每组安排场比赛，设每组邀请个球队参加比赛，可列方程得（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．一元二次方程的解是 ． 10．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 11．为迎接文明城市的验收，开展“新农村”建设，某小区今年8月份改造绿化面积为，到了今年10月份增加到，假设改造绿化面积月平均增长率都相同，则月增长率为 ． 12．著名数学家张景中教授主编的《数学美拾趣》一书中，记载了这样一首民间数学诗：“三百六十一只缸，任君分作几船装．不许一船多一只，不容一船少一缸”，译文为：“361只缸，任君分作几船装，船儿总数是多少，每船便装多少缸，问每船装几只缸？”答：每船所装的缸数为 ． 13．某建筑工程队在工地一边靠墙处（墙长42米）用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．则 米． 14．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；现有下列结论： （1）若关于x的方程是倍根方程，； （2）方程是倍根方程； （3）若关于x的方程，（）是倍根方程，则； （4）若，则关于x的方程（）是倍根方程． 其中正确的结论有 ．（写出所有正确说法的序号） 三、解答题 15．解方程： (1)； (2)． 16．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求实数m的取值范围； (2)若，满足，求实数m的值． 17．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)以这个方程的两个实数根作为中、的边长，当时，是等腰三角形，求此时k的值和的周长． 18．据统计，某红色博物馆开馆的第一个月进馆75000人次，由于红色文化深入人心，进馆人次逐月增加，第三个月进馆108000人次．若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，该红色博物馆月接纳能力不能超过120000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该红色博物馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由． 19．在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿向终点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为．    (1)填空：________，_______（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，的长为？ (3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由． 20．苏科版数学课本九年级上册第1章的“数学活动”《矩形绿地中的花圃设计》中，有如下问题：“在一块长是、宽是的矩形绿地内，要围出一个花圃，使花圃面积是矩形面积的一半，你能给出设计方案吗？” 课本所给的方案是：在绿地中间开辟一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，绿地面积与花圃面积相等（如图）．请你计算出上述方案中绿地的宽． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D A C B B D 1．A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，列出关于的不等式，解之即可． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了配方法的运用，先把等式左边的4移项到右边，再加上一次项系数的一半的平方即可求解． 【详解】解：， 移项得，， 同时加上一次项系数的一半的平方得，， ∴， 故选：C ． 3．D 【分析】本题考查了代数式求值，等式的性质，由可得，，代入代数式，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 4．A 【分析】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，分类讨论是解答的关键．先求得方程的两个解，再根据菱形的性质、等腰三角形的性质和三边关系分类讨论确定菱形的边长，然后求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， 由得，解得，， 在中，若，，但，不构成三角形，舍去， 若，，由，构成三角形， ∴菱形的周长为， 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和解一元一次不等式组，对于一元二次方程，根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；解题时还需注意一元二次方程的“二次项系数不为0”这一条件．据此列出关于k的不等式组，解不等式组即可求出答案． 【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得且， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据该厂今年十月份以及十二月份的总产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：B． 7．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判定即可，熟练掌握一元二次方程的定义“含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程”是解题的关键． 【详解】A、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、，是一元二次方程，故此选项符合题意； C、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、，不是整式方程，即不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：B． 8．D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 根据每组安排比赛的场数每组邀请球队数（每组邀请球队数），列方程即可． 【详解】解：依题意得，， 故选：D． 9．， 【分析】本题考查了解一元二次方程．移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 移项，得， 因式分解得， ∴或， 解得，． 故答案为：，． 10． 【分析】本题主要考查根据一元二次方程根的情况求参数，由有两个相等的实数根，可得，进而可解答． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设月增长率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得出答案． 【详解】解：设月增长率为x， 根据题意得，， 解得：，（舍去）， 则月增长率为， 故答案为：． 12．19 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设船儿总数是，则每船装只缸，根据“361只缸，任君分作几船装，船儿总数是多少，每船便装多少缸”即可列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设船儿总数是，则每船装只缸， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去），， 故答案为：19． 13．11 【分析】本题考查了与图形有关的一元二次方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键；设仓库的宽为x米，则仓库的长为米，由等量关系：仓库总面积为440平方米，列出方程并解方程即可． 【详解】解：设仓库的宽为x米（米），则仓库的长为米， 根据题意得：， （舍），， 故为11米． 故答案为：11． 14．（1）（3） 【分析】本题考查了新定义方程，一元二次方程的解，根与系数的关系，掌握相关知识是解题的关键． （1）把代入原方程，再求出方程的解，根据“倍根方程”的定义即可判断； （2）求出方程的解，根据“倍根方程”的定义即可判断； （3）由，解得，，由方程是“倍根方程”，得到，，即可求解； （4）把代入原方程中，求解即可判断． 【详解】解：（1）当时，， 解得：，， ∴是“倍根方程”， 当时，， 解得：，， ∴是“倍根方程”，故（1）符合题意； （2）方程， 解得：，， ∴方程不是“倍根方程”，故（2）不符合题意； （3）， ∴，， ∵方程是“倍根方程”， ∴或， ∴，， ∴，故（3）符合题意； （4）∵，， ∴方程， ∴， ∴，， ∴不是“倍根方程”，故（4）不符合题意； ∴符合题意的有（1）（3）， 故答案为：（1）（3）． 15．(1) (2)， 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用配方法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：，即：， ∴， ∴； （2）解：原方程可化为：， ， ， ，． 16．(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟知，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键． （1）直接根据判别式直接进行求解即可； （2）利用根与系数的关系可得，，将和联合解二元一次方程，再将、代入即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ∴， ∴； （2）解：由根与系数的关系得：，， 又， ∴， 解得：， ∴ ∴． 17．(1)证明见解析 (2)，的周长为 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，三角形三边的关系以及等腰三角形的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键． （1）先计算出，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）根据，分类讨论：或和另外两边相等，分别求出k的值及三边，再根据构造三角形的条件判定即可得结果． 【详解】（1）证明：， ，即 ∴方程有两个实数根； （2）设，一元二次方程的解， ， ，， ∵中、的边长分别为方程的两个实数根，且，是等腰三角形， ， 有两种可能的情况：或，和， 当或即或时，即方程有两个不相等的实数根． 将，代入中得 ， 解得， 将代入原方程得， 解得，， ∵中、的边长分别为方程的两个实数根，且， 的周长为， 当时，即方程有两个相等的实数根． ，即 解得：， 将代入原方程得， 解得，， 三条边分别为，，1，不能构成三角形，舍去； 综上所述：，的周长为． 18．(1)进馆人次的月平均增长率为 (2)红色博物馆不能接纳第四个月的进馆人次，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设进馆人次的月平均增长率为x，列式，进行计算，即可作答． （2）根据月平均增长率为，算出第四个月的进馆人次为，再与进行比较，即可作答． 【详解】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为x， 根据题意得， 解得：，（不合题意，舍去） 答：进馆人次的月平均增长率为； （2）解：不能，理由如下： 依题意，第四个月的进馆人次， 答：红色博物馆不能接纳第四个月的进馆人次． 19．(1)， (2)当的值为或时，的长为； (3)当时，使得五边形的面积等于． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，利用含t的代数式表示各自线段的关系，根据题干数量关系即可确立等量关系式是解题的关键． （1）根据点从点开始沿边向终点以的速度移动，可以求得； （2）用含的代数式分别表示和的值，运用勾股定理列式，据此求出值； （3）根据题干信息使得五边形的面积等于的值存在，利用长方形的面积减去的面积即可，则的面积为，由此求得值． 【详解】（1）解：点从点开始沿边向终点以的速度移动，，故为， 点从点开始沿向终点以的速度移动，故， 故答案为：，； （2）解：由题意得：， 解得：，； 当的值为或时，的长度等于； （3）解：存在，能够使得五边形的面积等于．理由如下： 长方形的面积是：， 使得五边形的面积等于，则的面积为， ， 解得：（不合题意舍去），． 即当时，使得五边形的面积等于． 20．绿地的宽为4米． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 设绿地的宽为x米，则花圃的长为米，宽为米，根据题意，解方程即可． 【详解】解：设绿地的宽为x米，花圃的长为米，宽为米， 根据题意，得， 解方程，得（舍去）， 故绿地的宽为4米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$