第二章二次函数中考复习2024-2025学年北师大版数学九年级下册

2024-2025年北师大版济南市九年级下册第二章 二次函数中考复习 题型一：二次函数的平移和旋转类问题 1、如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+4交x轴于点A(-1,0),B(4,0)两点，交y轴于点C. (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥BC于点E,过点P作y轴的平行线交直线BC于点F,求△PEF周长的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2,在(2)问的条件下，将该抛物线沿射线CB的方向平移个单位后得到新抛物线y’.点M为平移后的新抛物线y’的对称轴上一点.在平面内确定一点N.使得四边形AMPN是菱形，请求出符合条件的点N的坐标. 2、如图1,抛物线C1：与x轴交于点A(3.0),点B,与y轴交于点C(0,3). (1)求抛物线C₁表达式； (2)连结AC,点D为抛物线C₁在第一象限部分上的点，作ED//x轴交AC于点E,若 DE=1,求D点的横坐标； (3)如图3,将抛物线C₁平移，使得其顶点与原点重合，得到抛物线C₂.过点F(0,-1)作不与x轴平行的直线交C₂于M,N两点.在y轴正半轴上是否存在点P,满足对任意的M,N都有直线PM和PN关于y轴对称?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接、． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）把原抛物线沿射线方向平移8个单位，点为平移后新抛物线对称轴上的一点，连接、，将沿直线翻折，使得点的对应点点落在坐标轴上，写出所有符合条件的点的坐标。 4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点M，过点P作交于点N，求的最大值及此时点P的坐标； （3）把原抛物线）沿射线方向平移8个单位，点E为平移后新抛物线对称轴上的一点，连接，将沿直线翻折，使得点E的对应点点Q落在坐标轴上．写出所有符合条件的点E的坐标． 5、已知抛物线Ci:y=-x²-mx+6m交x轴于点A,B,交y轴于点C. (1)如图1,当点A坐标为(-3,0)时，求抛物线的解析式； (2)在(1)的条件下，点D是第二象限内抛物线上的一点，连接BD,若BD将四边形ABCD平分成面积相等的两部分，求点D的横坐标； (3)如图2,△EFH为等边三角形，点F,H在x轴上，且点E的坐标为(0,6),将抛物线C₁:y=-x²-mx+6m向右平移m个单位，再向下平移6m个单位后得到新的抛物线C₂,若C₂与等边△EFH三边恰有四个交点，求m的取值范围. 6、如图，抛物线M过点E（﹣2，3），与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为（﹣1，4）． （1） 求抛物线M的表达式和点A的坐标； （2） 点F是线段AC上一动点，求周长的最小值； （3） 平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若∠PDQ=4∠DPQ，直接写出点P的坐标． 题型二：线段及线段和的最大值与最小值问题 7、、如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴相交于A(-1,0),B(3, 0)两点，与y轴相交于点C(0,-3),P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点P的横坐标为m,过点P作PH⊥x轴于点H,与BC交于点M. (1)求这个二次函数的表达式； (2)将线段CA绕点C顺时针旋转90°,点A的对应点为A',判断点A'是否落在抛物线上，并说明理由； (3)求PM+2BH的最大值； (4)如果△PMC是等腰三角形，直接写出点P的横坐标m的值. 8、如图1,抛物线y=-x²+bx与x轴交于点A,与直线y=-x交于点B(4,-4),点C(0,-4)在y轴上.点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止. (1)求抛物线y=-x²+bx的表达式； (2)当BP=时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D,连接PC,OD,判断四边形OCPD的形状，并说明理由. (3)如图2,点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动.连接BQ,PC,直接写出CP+BQ的最小值. 题型三：角度存在性问题 9、已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点． （1）求抛物线表达式； （2）如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值； （3）如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10、如图，二次函数y=x²-2mx-2m—1(m>0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D,其对称轴与线段BC交于点E,与x轴交于点F.连接AC、BD. (1)若m=1,求B点和C点坐标； (2)若∠ACO=∠CBD,求m的值； (3)若在第一象限内二次函数y=x²-2mx-2m-1(m>0)的图象上，始终存在一点P,使得∠ACP=75°.请结合函数的图象，直接写出m的取值范围. 11、如图，抛物线y=ax²+bx-(a≠0)与x轴交于点A(-1，0)和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D(1，0).过点B作直线l⊥x轴、过点D作DE⊥CD,交直线l于点E. (1)求抛物线的解析式； (2)点P为第四象限内抛物线上的点，直线BP与DE交于点Q、当时，求点P 的坐标； (3)坐标轴上是否存在点F、使得∠DEF=75°,若存在、请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 12、已知抛物线Q1:y=-x²+bx+c与x轴交于A(-3,0),B两点，交y轴于点C(0,3). (1)请求出抛物线Q1的表达式. (2)如图1,在y轴上有一点D(0,-1),点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E,F使得四边形DAEF为正方形?若存在，请求出点E,F的坐标；若不存在，请说明理由. (3)如图2,将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q₂,抛物线Q₂的顶点为K,与x轴正半轴交于点H,抛物线Q₁上是否存在点P,使得∠CPK=∠CHK?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 13、如图，平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax²+2x+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A(3.0),OA=OC,P是第一象限内二次函数图象上一动点，过点P作PG⊥AB于点G,交AC于点H. (1)求二次函数的表达式. (2)求PH+HC的最大值. (3)如图2,过点H作AC的垂线，交y轴于点M,交二次函数图象的对称轴l于点N,连接GM、GN,是否存在点P使得∠MGN=45°?若存在，直接写出点P的横坐标，若不存在，请说明理由. 14、如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=kx(k≠0)和二次函数y=- x²+bx+3的图象都经过点A(4,3)和点B,过点A作OA的垂线交x轴于点C,D是线段AB上一点(点D与点A、O、B不重合),E是射线AC上一点，且AE=OD,连接DE,过点D作y轴的平行线交抛物线于点F,以DE、DF为邻边作口DEGF. (1)填空：k= ,b= ; (2)设点D的横坐标是t(t>0),连接EF,若∠FGE=∠DFE,求t的值； (3)过点F作AB的垂线交线段DE于点P,若S△DFP=S▱DEGF,求OD的长. 题型四：特殊四边形的存在性问题 15、如图，已知抛物线C1:y=-x²+bx+c与y轴相交于点C(0,1),对称轴为直线x=2.坐标原点为O点，抛物线C1的对称轴交x轴于A点. (1)抛物线的关系表达式； (2)若点P为抛物线上的一动点，连接PO交线段AC于点B,当PB=2BO时，求点P的坐标；(3)将抛物线C₁向左平移2个单位长度得到抛物线C₂,C₂与C₁相交于点E,点F为抛物线C₁对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H,使以点C,E,F,H为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点H的坐标：若不存在，请说明理由. 题型五：相似三角形的存在性问题 16、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax²-3ax+c与x轴分别交于A(-1,0),B两点，与y轴交于点C(0,-2) (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1,点D为第四象限抛物线上一点，连接AD,BC交于点E,求的最大值； (3)如图2,连接AC,BC,过点O作直线l//BC,点P,Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P,Q,使△PQB∽△CAB.若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 题型六：参数的取值范围问题 17、在平面直角坐标系xOy中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线M：经过点A，且顶点在直线AB上． （1）如图，当抛物线的顶点在点B时，求抛物线M的表达式； （2）在（1）的条件下，抛物线M上是否存在点C，满足∠ABC=∠ABO．若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由； （3）定义抛物线N：为抛物线M的换系抛物线，点P（t，p），点Q（t+3，q）在抛物线N上，若对于，都有，求a的取值范围． 18、抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．已知点，．抛物线的对称轴是直线，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）当是等边三角形时，求m的值及此时三角形的边长； （3）过点P作x轴的垂线，垂足为N，设直线交直线于点F，是否存在这样的m值，使？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由． 19、如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，点，且交轴于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； （3）将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求的取值范围． 20、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C. （1）求二次函数的表达式; （2）如图，二次函数图象的顶点为N,对称轴与直线BC交于点D,在直线BC下方抛物线上是否存在一点M(不与点N重合),使得S△NDC=S△MDC?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将线段AB先向右平移一个单位，再向上平移6个单位，得到线段EF,若抛物线y=a(x²+bx+c)(a≠0)与线段EF只有一个公共点，请直接写出a的取值范围。 21、如图，已知抛物线y=ax²+2x+c(a≠0),与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C. (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1,点P是第一象限内抛物线上一动点，连接PC、PB、BC,设点P的横坐标为t.当t为何值时，△PBC是以点C为直角顶点的直角三角形； (3)如图2,过抛物线顶点E作EF⊥x轴于F,若M(m,0)是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°,请求出实数m的取值范围. 22、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax²-2ax+a+3(a<0)与x轴分别交于点A和点B,与y轴交于点C. (1)如图1,若点A的坐标为(-1,0),求抛物线的表达式和点C的坐标； (2)过点C作y轴的垂线l,将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记为图形G. ①在(1)的条件下，在图形G位于x轴上方的部分是否存在点D,使得S△ABD=3? 若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由； ②如图2,已知点P(1+a,p)和点Q(1-a,q)是图形G上的点。设t=p+q, 当-3≤t≤0时，请直接写出a的取值范围。 23、如图，已知A(-2,0)、C(0,4),抛物线y=ax²-ax+c交x轴于点A、点B,交y轴于点C.点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m.过点P作PM⊥x轴，垂足为点M,PM交BC于点Q.过点P作PN⊥BC,垂足为点N. (1)求抛物线的解析式和点B的坐标； (2)①请用含m的代数式表示线段PN的长 ; ②连接PC,在第一象限的抛物线上是否存在点P,使得∠BCO+2∠PCN=90°?若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由； (3)连接AQ,若△ACQ为等腰三角形，请直接写出m的值。 题型七：实际生活问题 24、蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间.如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中E点为抛物线的顶点，OE=4m,AB=3m,BC=4m,取BC中点O,过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E,若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系.请回答下列问题： (1)如图1,求抛物线的解析式； (2)如图2,为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT, SMNR,若FL=NR=0.75m,求两个正方形装置的间距GM的长； (3)如图3,在某一时刻，太阳光线(太阳光线为平行线)透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为CK,求CK的长. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$