福建省福州市鼓山中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

福州市鼓山中学2024-2025学年上学期第一次月考 高二数学试卷 考试时间：120分钟 满分150分 命题人：高二数学集备组 审核人：高二数学集备组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则点关于平面的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线的斜率为,在轴上的截距为,则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 在下列条件中，使与一定共面的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，，则（ ） A. 若不经过第二象限，则 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若，则的一个方向向量为 10. 已知空间向量，，下列结论正确的是（ ） A. B. ，夹角的余弦值为 C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D. 在上的投影向量为 11. 以下四个命题叙述正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距是1 B. 直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C. 直线，，若，则或2 D. 设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为_____. 13. 在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中、，若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为_____. 14. 2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分.唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 菱形的顶点，的坐标分别为，，边所在直线过点. （1）求，边所在直线的方程； （2）求对角线所在直线的方程. 16. 如图，在三棱柱中，分别是上的点，且. 设. （1）试用表示向量； （2）若，求的长. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且. （1）证明：平面. （2）求二面角的正弦值. 18. 已知直线． （1）求证：直线经过一个定点； （2）若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 19. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 福州市鼓山中学2024-2025学年上学期第一次月考 高二数学试卷 考试时间：120分钟 满分150分 命题人：高二数学集备组 审核人：高二数学集备组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）直线的方程，直线的方程 （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）平面平面，且两平面交于，又， 平面. 在中，，，. 且，是等腰直角三角形， ，. ，， 又，为等腰直角三角形，. ，， 又，所以，平面,平面， 平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1）证明：直线，化为，当时，对任意实数，恒有， 所以直线过定点. （2），. 【19题答案】 【答案】（1）因为，分别为，的中点，所以. 因为，所以，所以. 又，，平面， 所以平面. （2） （3）存在，，理由如下： 假设存在，使二面角的正弦值为， 即使二面角的余弦值为. 由（2）得，， 所以，，. 易得平面的一个法向量为. 设平面的法向量， ， 解得，令，得， 则是平面的一个法向量. 由图形可以看出二面角的夹角为锐角，且正弦值为， 故二面角的余弦值为， 则有， 即，解得，. 又因为，所以. 故存在，使二面角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $