3.1.1点在空间坐标系中的坐标同步个性化分层作业-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第 1页（共 11页） 2024-2025 学年上学期高中数学北师大新版高二同步个性化分层作业 3.1.1 点在空间坐标系中的坐标 一．选择题（共 4 小题） 1．已知点 A（﹣2，1，﹣4），点 A关于 x轴的对称点的坐标为（ ） A．（﹣2，﹣1，﹣4） B．（﹣2，﹣1，4） C．（2，1，4） D．（2，﹣1，﹣4） 2．在空间直角坐标系中，点 P（1，2，3）在 x轴上的射影和在 xOz平面上的射影分别点 M，N，则点 M， N的坐标分别为（ ） A．（1，0，0），（1，0，3） B．（1，0，0），（1，2，0） C．（0，2，3），（1，0，3） D．（0，2，3），（1，2，0） 3．光源 P（3，2，1）经过平面 Oyz反射后经过 Q（1，6，5），则反射点 R的坐标为（ ） A．(0， 72， 5 2 ) B．（0，4，3） C．(0， 9 2， 7 2 ) D．（0，5，4） 4．在空间直角坐标系中，已知 A（﹣1，﹣3，2），�� → =（2，0，4），则点 B的坐标是（ ） A．（3，3，2） B．（﹣3，﹣3，﹣2） C．（1，﹣3，6） D．（﹣1，3，﹣6） 二．多选题（共 2 小题） （多选）5．在空间直角坐标系中，已知某平行四边形三个顶点的坐标分别为（1，2，3），（3，4，2），（﹣ 1，4，6），则第四个顶点的坐标可能为（ ） A．（5，2，﹣1） B．（﹣3，2，7） C．（5，2，7） D．（1，6，5） （多选）6．在空间直角坐标系 Oxyz中，点 A（0，2，﹣3），B（﹣4，2，3），C（3，﹣1，2），D（﹣1， ﹣1，2），则（ ） A．直线 AB∥平面 Oxz B．直线 AB⊥平面 Oyz C．直线 CD∥平面 Oxz D．直线 CD⊥平面 Oyz 三．填空题（共 2 小题） 7．若点 P（﹣1，1，8）关于点 A（1，﹣1，a）对称的点是 Q（b，c，﹣2），则 a+b+c＝ ． 8．在空间直角坐标系 O﹣xyz中一点 P（2，3，4）关于坐标平面 yOz的对称点 P'的坐标为 ． 四．解答题（共 2 小题） 9．在空间直角坐标系 O﹣xyz中，△ABC是直角三角形，三个顶点的坐标分别为 A（t，﹣t，3），B（2t， 第 2页（共 11页） t，4），C（3t，t+1，1），求实数 t的值． 10．如图，已知直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2，底面 ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD， AB＝4，AD＝2，DC＝1，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标． 第 3页（共 11页） （学困生篇）2024-2025 学年上学期高中数学北师大新版高二同步个性化 分层作业 3.1.1 点在空间坐标系中的坐标 参考答案与试题解析 一．选择题（共 4 小题） 1．已知点 A（﹣2，1，﹣4），点 A关于 x轴的对称点的坐标为（ ） A．（﹣2，﹣1，﹣4） B．（﹣2，﹣1，4） C．（2，1，4） D．（2，﹣1，﹣4） 【考点】空间中的点的坐标．菁优网版权所有 【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；数学运算． 【答案】B 【分析】根据空间点对称的定义，即可求解． 【解答】解：点 A（﹣2，1，﹣4）， 则点 A关于 x轴的对称点的坐标为（﹣2，﹣1，4）． 故选：B． 【点评】本题考查空间中点的坐标，属于基础题． 2．在空间直角坐标系中，点 P（1，2，3）在 x轴上的射影和在 xOz平面上的射影分别点 M，N，则点 M， N的坐标分别为（ ） A．（1，0，0），（1，0，3） B．（1，0，0），（1，2，0） C．（0，2，3），（1，0，3） D．（0，2，3），（1，2，0） 【考点】空间中的点的坐标．菁优网版权所有 【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；数学运算． 【答案】A 【分析】根据空间中点在坐标轴和坐标平面上的射影的特点进行求解． 【解答】解：点 P（1，2，3）在 x轴上的射影的坐标为（1，0，0），在 xOz平面上的射影的坐标为（1， 0，3）． 故选：A． 【点评】本题主要考查空间中点的坐标，属于基础题． 3．光源 P（3，2，1）经过平面 Oyz反射后经过 Q（1，6，5），则反射点 R的坐标为（ ） A．(0， 72， 5 2 ) B．（0，4，3） C．(0， 9 2， 7 2 ) D．（0，5，4） 第 4页（共 11页） 【考点】空间中的点的坐标；与直线关于点、直线对称的直线方程．菁优网版权所有 【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；数学运算． 【答案】D 【分析】设 P′为 P关于平面 Oyz的对称点，结合向量的坐标运算，即可求解． 【解答】解：设 P′为 P关于平面 Oyz的对称点， 则 P′（﹣3，2，1）， R为 P′Q与平面 Oyz的交点． 令 R（0，m，n）， �′� → = ��′� → ，�′� → = (3，�− 2，� − 1)，�′� → = (4，4，4)， 则 3 = 4� � − 2 = 4� � − 1 = 4� ，解得 m＝5，n＝4， 故 R（0，5，4）． 故选：D． 【点评】本题主要考查空间中点的坐标，属于基础题． 4．在空间直角坐标系中，已知 A（﹣1，﹣3，2），�� → =（2，0，4），则点 B的坐标是（ ） A．（3，3，2） B．（﹣3，﹣3，﹣2） C．（1，﹣3，6） D．（﹣1，3，﹣6） 【考点】空间中的点的坐标．菁优网版权所有 【专题】方程思想；转化法；空间向量及应用；数学运算． 【答案】C 【分析】利用向量坐标运算性质即可得出． 【解答】解：设 B（x，y，z），∵A（﹣1，﹣3，2），�� → =（2，0，4）， ∴（x+1，y+3，z﹣2）＝（2，0，4）， ∴x+1＝2，y+3＝0，z﹣2＝4， 解得：x＝1，y＝﹣3，z＝6． 则点 B的坐标是（1，﹣3，6）， 故选：C． 【点评】本题考查了向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 二．多选题（共 2 小题） 第 5页（共 11页） （多选）5．在空间直角坐标系中，已知某平行四边形三个顶点的坐标分别为（1，2，3），（3，4，2），（﹣ 1，4，6），则第四个顶点的坐标可能为（ ） A．（5，2，﹣1） B．（﹣3，2，7） C．（5，2，7） D．（1，6，5） 【考点】空间中的点的坐标；空间向量的共线与共面．菁优网版权所有 【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；数学运算． 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，结合向量的中点坐标公式，即可求解． 【解答】解：设第四个顶点的坐标为（x，y，z）， 四边形为平行四边形， ①（x，y，z），（1，2，3）与（3，4，2），（﹣1，4，6）的中点重合， 则 � + 1 = 3 − 1 � + 2 = 4 + 4 � + 3 = 2 + 6 ，解得 � = 1 � = 6 � = 5 ， ②（x，y，z），（3，4，2）与，（1，2，3），（﹣1，4，6）的中点重合， 则 � + 3 = 1 − 1 � + 4 = 2 + 4 � + 2 = 3 + 6 ，解得 � =− 3 � = 2 � = 7 ， ③（x，y，z），（﹣1，4，6）与，（1，2，3），（3，4，2）的中点重合， 则 � − 1 = 1 + 3 � + 4 = 2 + 4 � + 6 = 3 + 2 ，解得 � = 5 � = 2 � =− 1 ， 综上所述，第四个顶点的坐标为（1，6，5）或（﹣3，2，7）或（5，2，﹣1）． 故选：ABD． 【点评】本题主要考查空间中点的坐标，属于基础题． （多选）6．在空间直角坐标系 Oxyz中，点 A（0，2，﹣3），B（﹣4，2，3），C（3，﹣1，2），D（﹣1， ﹣1，2），则（ ） A．直线 AB∥平面 Oxz B．直线 AB⊥平面 Oyz C．直线 CD∥平面 Oxz D．直线 CD⊥平面 Oyz 【考点】空间中的点的坐标．菁优网版权所有 【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；数学运算． 【答案】ACD 【分析】由题意根据数量积的垂直表示、共线向量定理，判断坐标平面的法向量和直线的方向向量之间 是否垂直，平行逐一判断即可． 第 6页（共 11页） 【解答】解：�� → = ( − 4，0，6)，平面 Oxz的一个法向量是� → = (0，1，0)，平面 Oyz的一个法向量是 � → = (1，0，0)， 因为�� → ⋅ � → = 0，所以�� → ⊥ � → ，又 AB⊄平面 Oxz，所以直线 AB∥平面 Oxz，故 A正确； 因为不存在λ使得�� → = �� → ，所以�� → 与� → 不平行，即直线 AB⊥平面 Oyz不成立，故 B错误； �� → = ( − 4，0，0)，因为�� → ⋅ � → = 0，所以�� → ⊥ � → ，又��⊂平面 Oxz，所以直线 CD∥平面 Oxz，故 C 正确； 因为�� → =− 4� → ，所以�� → 与� → 平行，即直线 CD⊥平面 Oyz，故 D正确． 故选：ACD． 【点评】本题主要考查空间中点的坐标，属于基础题． 三．填空题（共 2 小题） 7．若点 P（﹣1，1，8）关于点 A（1，﹣1，a）对称的点是 Q（b，c，﹣2），则 a+b+c＝ 3 ． 【考点】空间中的点的坐标．菁优网版权所有 【专题】对应思想；综合法；立体几何；数学运算． 【答案】3． 【分析】根据题意 A为 PQ的中点，根据中点坐标公式求解即可． 【解答】解：因为点 P（﹣1，1，8）关于点 A（1，﹣1，a）对称的点是 Q（b，c，﹣2），即 A为 PQ 的中点， 所以 −1+� 2 = 1 1+� 2 =− 1 8−2 2 = � ，解得 � = 3 � = 3 � =− 3 ， 故 a+b+c＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了空间中的点坐标相关的知识，属于基础题． 8．在空间直角坐标系 O﹣xyz中一点 P（2，3，4）关于坐标平面 yOz的对称点 P'的坐标为 （﹣2，3， 4） ． 【考点】空间中的点的坐标．菁优网版权所有 【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；数学运算． 第 7页（共 11页） 【答案】（﹣2，3，4）． 【分析】关于坐标平面 yOz的对称的两个点，它们的纵坐标、竖坐标相等，横坐标互为相反数，由此即 可得． 【解答】解：设所求对称点为 P'（x，y，z），关于坐标平面 yOz的对称的两个点， 它们的纵坐标、竖坐标相等，而横坐标互为相反数，∴x＝﹣2，y＝3，z＝4， 即 P关于坐标平面 yOz的对称点的坐标为 P'（﹣2，3，4）． 故答案为：（﹣2，3，4）． 【点评】本题考查空间坐标的对称关系，属于基础题． 四．解答题（共 2 小题） 9．在空间直角坐标系 O﹣xyz中，△ABC是直角三角形，三个顶点的坐标分别为 A（t，﹣t，3），B（2t， t，4），C（3t，t+1，1），求实数 t的值． 【考点】空间中的点的坐标．菁优网版权所有 【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；数学运算． 【答案】 −1− 13 6 或 −1+ 13 6 或﹣3或 1． 【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，并分类讨论，即可求解． 【解答】解：A（t，﹣t，3），B（2t，t，4），C（3t，t+1，1）， 则�� → = (�，2�，1)，�� → = ( − �， − 2�， − 1)， �� → = (2�，2� + 1， − 2)，�� → = ( − 2�， − 2� − 1，2)， �� → = ( − �， − 1，3)，�� → = (�，1， − 3)， 当 A= �2时，�� → ⋅ �� → = 0，即 3t2+t﹣1＝0，解得 t= −1− 136 或� = −1+ 13 6 ， 当 B= �2时，�� → ⋅ �� → =0，即 t2+2t﹣3＝0，解得 t＝﹣3或 t＝1， 当 C= �2时，�� → ⋅ �� → = 0，即 2t2+2t+7＝0，无解， 综上所述，t的值为 −1− 13 6 或 −1+ 13 6 或﹣3或 1． 【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题． 10．如图，已知直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2，底面 ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD， AB＝4，AD＝2，DC＝1，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标． 第 8页（共 11页） 【考点】空间中的点的坐标；空间直角坐标系．菁优网版权所有 【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；数学运算． 【答案】答案见解析． 【分析】根据空间直角坐标系的概念求解． 【解答】解：如图，以 D为坐标原点， 分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x，y，z轴建立空间直角坐标系． 则 D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，4，0），C（0，1，0），A1（2，0，2），B1（2，4，2），C1（0， 1，2），D1（0，0，2）． 【点评】本题主要考查空间中点的坐标，属于基础题． 第 9页（共 11页） 考点卡片 1．空间直角坐标系 【知识点的认识】 1、右手直角坐标系 ①右手直角坐标系的建立规则：x轴、y轴、z轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指； ②已知点的坐标 P（x，y，z）， 作点的方法与步骤（路径法）： 沿 x轴正方向（x＞0时）或负方向（x＜0时）移动|x|个单位，再沿 y轴正方向（y＞0时）或负方向（y＜0 时）移动|y|个单位，最后沿 z轴正方向（z＞0时）或负方向（z＜0时）移动|z|个单位，即可作出点 ③已知点的位置求坐标的方法： 过 P作三个平面分别与 x轴、y轴、z轴垂直于 A，B，C，点 A，B，C在 x轴、y轴、z轴的坐标分别是 a， b，c，则（a，b，c）就是点 P的坐标． 2、在 x、y、z轴上的点分别可以表示为（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c）， 在坐标平面 xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）． 2．空间中的点的坐标 【知识点的认识】 1、在 x、y、z轴上的点分别可以表示为（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c）， 在坐标平面 xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）． 2、点 P（a，b，c）关于 x轴的对称点的坐标为（a，﹣b，﹣c，） 点 P（a，b，c）关于 y轴的对称点的坐标为（﹣a，b，﹣c，）； 点 P（a，b，c）关于 z轴的对称点的坐标为（﹣a，﹣b，c，）； 点 P（a，b，c）关于坐标平面 xOy的对称点为（a，b，﹣c，）； 点 P（a，b，c）关于坐标平面 xOz的对称点为（a，﹣b，c，）； 点 P（a，b，c）关于坐标平面 yOz的对称点为（﹣a，b，c，）； 点 P（a，b，c）关于原点的对称点（﹣a，﹣b，﹣c，）． 3、已知空间两点 P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）则线段 P1P2的中点坐标为（ �1+�2 2 ， �1+�2 2 ， �1+�2 2 ） 3．空间向量的共线与共面 第 10页（共 11页） 【知识点的认识】 1．定义 （1）共线向量 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向 量或平行向量，记作� → ∥ � → ．0 → 与任意向量是共线向量． （2）共面向量 平行于同一平面的向量叫做共面向量． 2．定理 （1）共线向量定理 对于空间任意两个向量� → 、� → （� → ≠ 0），� → ∥ � → 的充要条件是存在实数λ，使得� → = �� → ． （2）共面向量定理 如果两个向量� → 、� → 不共线，则向量� → 与向量� → 、� → 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使 得� → = �� → + �� → ． 【解题方法点拨】 空间向量共线问题： （1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使� → = �� → 成立，或充分利用空间向量的运算法则， 结合具体图形，通过化简、计算得出� → = �� → ，从而� → ∥ � → ． （2）� → ∥ � → 表示� → 与� → 所在的直线平行或重合两种情况． 空间向量共面问题： （1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件， 解题过程中注意直线与向量的相互转化． （2）空间一点 P位于平面 MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使�� → = ��� → + ��� → ．满足这 个关系式的点 P都在平面 MAB内，反之，平面 MAB内的任一点 P都满足这个关系式．这个充要条件常用 以证明四点共面． 证明三个向量共面的常用方法： （1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合； （2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行． 第 11页（共 11页） 【命题方向】 1，考查空间向量共线问题 例：若� → =（2x，1，3），� → =（1，﹣2y，9），如果� → 与� → 为共线向量，则（ ） A．x＝1，y＝1 B．x= 12，y=− 1 2 C．x= 1 6，y=− 3 2 D．x=− 1 6，y= 3 2 分析：利用共线向量的条件� → = �� → ，推出比例关系求出 x，y的值． 解答：∵� → =（2x，1，3）与� → =（1，﹣2y，9）共线， 故有 2� 1 = 1 −2� = 3 9 ． ∴x= 16，y=− 3 2． 故选 C． 点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题． 2．考查空间向量共面问题 例：已知 A、B、C三点不共线，O是平面 ABC外的任一点，下列条件中能确定点 M与点 A、B、C一定 共面的是（ ） A．�� → = �� → + �� → + �� → B．�� → = 2�� → − �� → − �� → C．�� → = �� → + 12 �� → + 13 �� → D．�� → = 13 �� → + 1 3 �� → + 13 �� → 分析：根据共面向量定理�� → = � ⋅ �� → + � ⋅ �� → + � ⋅ �� → ，�+ � + � = 1，说明 M、A、B、C共面，判断 选项的正误． 解答：由共面向量定理�� → = � ⋅ �� → + � ⋅ �� → + � ⋅ �� → ，�+ � + � = 1， 说明 M、A、B、C共面， 可以判断 A、B、C都是错误的， 则 D正确． 故选 D． 点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题． 4．与直线关于点、直线对称的直线方程 3235135: 与直线关于点、直线对称的直线方程 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期： 2024/7/23 0:09:53；用户：组卷 38；邮箱：zyb038@xyh.com；学号： 41419001