精品解析：上海市曹杨中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

命学科网命组卷网 上海市曹杨中学2024学年第一学期 高一数学期中试卷 总分：150分： 考试时间：120分钟： 命题人：蒋颗楠： 审核人：胡开田 一、填空题（本大题满分54分)本大题共有12题，前6题每个空格填对得4分，后6题每个 空格填对得5分，否则一律得零分. 1已知集合A={xx≤2)与集合B={xx之，则AnB= 【答案1儿，2] 【解析】 【分析】利用数轴将两个不等式表示出来，然后得到A∩B的结果 【详解】如图所示： B 0 则AnB=,2] 【点睛】本题考查集合间的交集运算，难度较易： 2.若集合x∈亿x, 则x三 【答案】0 【解析】 【分析】根据集合中元素与集合的关系即可列式求解. 「x=1 x=x2 【详解】解：x∈{，x2},则x≠1，无解，或x2≠1，解得x=0 第1页/共17页 6学科网命组卷网 故答案为：0. 3.16的4次方根是 【答案】2 【解析】 【分析】利用n次方根的定义求解， 【详解】16的4次方根是6=±2=2 故答案为：±2 4不等式2x-lHx-2<0的解集为一 (-1,1) 【答案】 【解析】 【详解1解：因为2x-lHx-202x-1Kk-2台(2x-<x-2台3x2<3台-1<x<1 5.对任意实数，方程ar+br+cx+d=xx-1x+2),则实数a+b+c+d=」 【答案】0 【解析】 a=1,b=1,c=-2,d=0 【分析】利用多项式展开，即可求解 得解. 【详解】由x-10x+2)=x(x2+2x-x-2）=x(x2+x-2)=x+x2-2x 放m+hr2+c+d=x2+2-2xha=1,b=1c=-2,d=0 故 故a+b+c+d=0, 故答案为：0 6企江a:a<<2a1,A:2<a<4考“是P爸要充分条件，则意“付值施用发 第2页/共17页 6学科网列组卷网 ≤a≤2 【答案】2 【解析】 【分析】将必要不充分条件转化为a2<a<4全aa<x<2a+l,即可求解 【详解】由于a是P的必要非充分条件，故{a2<a<4s{aa<x<2a+1, a≤2 a<2 3 因此14<2a+1或4<2a+1,解得 ≤a≤2 故答案为： 3sa≤2 7.已知1og9=a,1og25=h,则l1g3= (用ab表示) 3a 【答案】2+2b 【解析】 【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解 【详解】解：由 logs 9=a log,5=b og,9-log,3-2log3-alog,3-3a 则 3 ，即 2 3a 所以lg3=bg3=og,3.=,1og,3-log23_之。30 3a 10g210 log22x5 log2 2+10g2 5 1+l0g2 5 1+b 2(1+b)2+2b 3a 故答案为：2+2b. 8.命慰xeR,都有十x+1>0的否定是 第3页/共17页 6学科网 命组卷网 【答案】 xeR,有 2+x+1≤0 【解析】 【分析】由命题的否定的定义求解。 【详解】题x∈R,都有+x+l>0的否定是：3x∈R,x+x+1≤0 3x∈R,x2+x+1≤0 故答案为： 9若关于x的不等式r2-2a+2a+3<0 的解集为空集，则实数a的取值范围是 【答案】 [0,+oo) 【解析】 【分析】当a=0时，直接代入计算，当a≠0时，根据开口和判别式列不等式求解. 【详解】当a=0时，不等式为3<0，不等式无解； [a>0 a≠0时，A=4a2-4a(2a+3)0,解得a>0 综合得a≥0 故答案为： [0,+oo） 1.2 ->m 10.己知正数x,y满足x+y=1,若不等式xy对任意正数x,y恒成立，则实数m的取值范围为一· 【答案】（0,3+2V2) 【解析】 【1子-e+， 开利用均值不等式计算最值得到答案， 第4页/共17页 6学科网命组卷网 当且仅当y=2x,即x=V2-1,y=2-V5时取等号， 所以实数m的取值范围为(-0,3+2√2) 故答案为：（←0,3+2V2) 1.已知a<0,同时满足不等式r-x-2>0和2x+(5+20r+5a<0的*的整数值只有2024个，则 实数a的取值范围是 【答案1[-2026，-2025) 【解析】 【分析】解不等式2-x-2>0得到>2或x<-】,解不等式2+5+2@r+5a<0得到 <x<-a 2 从而根据整数解得个数得到2025<-a≤2026， 求出实数a的取值范围， x2-x-2> 【详解】由 0解得：x>2或<1 2r+(5+2ar+5a<0变形为(2x+5)x+0<0, 5 <x<-a 因为a<0,所以2 5 其中2 <x<-1 之间有1个整数解-2， 因此要想同时满足两不等式x的整数值只有2024个， 则要满足2<x<-a有2023个整数值，则2025<-a≤2026，解得：-2026≤a<-2025 第5页/共17页 6学科网命组卷网 故答案为： [-2026,-2025) U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 12.设全集 若朱合4满是：04CV,g x∈A,2xEA ;②若 ；③ x∈A,2x生A ,则这样的有个. 【答案】32 【解析】 【分析1设集合B=孔，3，…，以，nN.任取偶数∈B,将*除以2，若商仍为偶数，再除以 2,经过次以后，商必为奇数，此时记商为m,从而=m:2,‘是香属于4由”是香居于4确定。 k 设是B中所有奇数的集合，则f)等于0的子集个数.由此能求出结果。 【详解】设东合=孔，2，，心，n∈N.任取偶数x∈B,将除以2，若商仍为得数， 再除以2.，经过k次以后，商必为奇数，此时记商为m, 于是术≤m2 其中m为奇数，k∈N ·由条件知， 若m∈A,则x∈A等价于k为偶数； 若m生A,则x∈A等价于k为奇数. 于是x是否属于A由m是否属于A确定. 设0.是中所有奇数的集合，因tf0等于2的了集个数 nn+l 当n为偶数（或奇数）时， P中奇数的个数是2（或2， ( 22n为偶数 所以f(n)= n+l 22'n为奇数 第6页/共17页 学科网命组卷网 所以名和 10 ,2,3,4,5,6,7,8,9, 10 即同时满足三个条件的集合A的个数为22=2=32. 故答案为：32 【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程 中 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素 3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本 的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4小题，13,14每题4分，15,16每题5分，填 错或不填在正确的位置一律得零分， 13.若y∈R 则x=0是2y=0。 ”的（) A.充分条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】当术=0时y=0 时， 当w=0时.x=0欧y=0 或 所以x=0是少=0 ”的充分不必要条件」 故选：C 14.已知a、b∈R,若ab≠0，则下列不等式： 第7页/共17页 6学科网 命组卷网 a2+b2 bl,a ≥ab ≥2 ①2 :②a'b: b+a≥2 ③ab -;④a+b≥2Vab」 其中恒成立的不等式序号是 A.①、③ B.①、② C.②、③ D.②、④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式和作差比较法，即可判定，得到答案. a2+b -a6-d+8-2ab 【详解】对于①中，因为2 +bza 2 2a-b≥0，所以2 是正确的： b =2, b 当且仅当a6时，即 = + 22 a=±b是等号成立，所以aTb 是正确的； b a 一十 <0 b+a22 对于③中，当ab<0时，ab,所以ab不正确： 对于@中，当a<0,b<0时，a+b<0,2vab>0,所以a+h≥2√ab不正确， 故选B. 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”，以 及熟练应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题 {a,b,c}={0,1,2 15.已知集合 ,且若下列三个关系：0a≠2@h=2:③C≠0 ,有且只有一个正确，则 100a+10b+c= A.12 B.21 C.102 D.201 【答案】D 第8页/共17页 6学科网6组卷网 【解析】 a,b,c a,b,c 【分析】根据集合相等的条件，列出 所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出 的值后代 入100a+10b+c求值. {a,b,c}={0,l,2}ma,b,c 【详解】由 得 的取值情况如下： 当a=0时，b=1,c=2或b=2,c=1,此时不满足条件： 当a=l时，b=0,c=2b=2,c=0 或 此时不满足条件： 当a=2时.b=1,c=0 时， 此时不满足条件： 当a=2时.b=0,c= 时， 此时满足条件： 综上得， a=2,b=0,c=1,、100a+10b+c=200+1=201 代入 【点睛】本题考查集合相等的定义，考查分类讨论思想，注意分类时做到不重不漏 16.对任意实数a,b,c给出下列命题： Da>b,是ac>hc·的充要条件， ②若a<b,c<0,则ab; @a>h,是.a>b ”的充分条件： ④若a>b,则 xb ⑤若a>1,s>0 ，则a>1 其中真命题的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】 第9页/共17页 命学科网命组卷网 【分析】利用举反例判断假命题，利用推理证明来确定真命题 【详解】对于①：当C=0时，由a>b,显然无法得到ac2>bc ,充分性不成立，故①是假命题： C=1e=-1 对于②：取a=-1,b=1,c=-1,满足a<b,c<0,但此时a,b，不满足ab,故② 是假命题： 对于@：取a=1,h=-2,满足a>b,自不满足0> D,充分性不成立，故③是假命题： 对于④：y=x3是R上的单调增函数，故当a>b时，a>3b,故④是真命题； ⑤：y=a(a>)是R上的单调增函数，故当s>0时，d>a=1,枚⑤是真命题 综上所述，只有2个真命题 故选：B. 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17.1)已知×、’为实数，2产-2=2，求24+2 x y 的值： （2)已知一元二次方程2+5x-9=0的两根为与，求+5的值： (3)设 ”为实数，解关于的不等式：-1>x+b , 61 【答案】(1)6(2)4 (3) 若a>1'不等式的解为 若a=1,若b<1,此时不等式的解为R,若b≥-1，则不等式的解为② 第10页/共17页 6学科网列组卷网 【解析】 【分析】(1)根据指数幂的运算，平方即可求解， (2)根据韦达定理即可求解， (3)分类讨论，即可根据一元一次不等式的求解得解。 【详解】（1）由2-2*=2可得(25-2=4，故2+22s=6, 【2)一元二次方程2x2+5x-9=0的两根为与书，故七+七，=、5 259 2, 因t+5-6+广-25(-2)+9- 4 (3)由x-1>x+b可得（a-)x>1+b. 若a>1则。-1>0，解得x>1 .1+b a一1，此时不等式的解为 xxa-1 1+b 若a<1:则a-1<0:解得x< 国不有为兰} 若a=1,若b<-1,此时不等式的解为R,若b≥-1，则不等式的解为②. 1限t实为R·变64名s小 ()用区间表示补集1， B={x‖x+2|+x-1F3}AUB (2)若集 ,求 【答案】1)（-0，-0U,+o) (2)20 【解析】 第11页/共17页 6学科网命组卷网 【分析】(1)根据不等式的解法先求出集合A,再用区间表示，进而求出补集A即可： (2)先求出集合B,再根据并集的运算法则即可求出AUB, 【小问1详解】 2x≤1台+ ≤0 由x-1 -10,故A=[-1,1),则A=(o0,-10U[1,+o): 【小问2详解】 B={x‖x+2|+|x-1=3}=[-2,1] 由 结合上一问有 ,所以4UB=B-2,] A=[-1,1) I9.如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求M在射线AB上，N在 射线AD上，且对角线MN过点C.已知AB长为4米，AD长为3米 (1)要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？ (2)当AW的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值， 【答案】1)3<AW<9 2或AN>9(单位：m) (2)当MN=6m时，矩形MMP 的面积最小，为48m 【解析】 AM,AN 【分析】(1) DN=x,表示出 AMPN ,再表示出矩形 的面积，解不等式可求MW的取值 第12页/共17页 命学科网命组卷网 范围 (2)利用基本（均值）不等式求最小值及对应的AW的长度 【小问1详解】 设DW=x,x>0. 因为△NDC∽△NAM→NAAM即x+3AM→ 所以矩形AMPN的面积为 =(x+3)k41+ +4+>4→*25.国0x0:两以22-15x418≥0=2x--列>0 所以0<x< 2或x>6. 3<AW<9 2或AN>9(单位：m): 【小问2详解】 因为矩形AMPN的面积为 =(x+34+=46+ 9 所以当AW=6 时，矩形AMP 的面积最小，为48m2 20(4对于任意实数，不等式x+l+K-2≥a-20恒成立，求实数a的取值范围. (2)若关于x的不等式(a-4)r+(a+2)x-1≥0的解集不为空集，则实数a的取值范围。 第13页/共17页 6学科网列组卷网 （3)符号冈表示不大于x的最大整数(xeR),例如：几3=2]=2-12]=-2设方程 [+K-门=3的解集为A,东合B={2-1k+15≥0，若AUB=R,求实数k的取值范围. 1()-15053(as-23: 【解析】 【分析1（山）根据绝对值三角不等式可得x+刊+x-22r+1-(x-2川=3，即可得3≥心2-2如求解， (2)根据对的讨论，结合一次不等式以及二次不等式与二次函数的联系，即可分类讨论求解， (3)根据[冈的舍义可得39+1x-1K4,即可得4=(3-U2,根据 B=x(2x-5Xx-3)之0y,对人进行讨论，即可得8，根据4UB=R列不等式即可求解 【详解】1)由于k++k-2≥k+1-(x-2引=3，故k++k-2）m≥d-2a,即3≥d2-2a 即(a-3a+≤0，解得-1≤a≤3， (2②)由于关于x的不等式(a-4到r+(a+2)r-120的解集不为空华， 若a=2:则不等式为4x-1≥0，解得x之4，符合解集不为空集， 若a=-2,则不等式为-1≥0，此时解集为空集，不符合题意，舍去， 若d>4,即a>2或a<-2, 或 ,则不等式为一元二次不等式，由于对应的二次函数开口向上，故该不等式 的解集一定不为空集，符合题意， 者心<4，即2<a<2,则不等式为一元二次不等式，由于对应的二次函数开口向下，要使不等式的解 6 2>a2 集不为空集，则△=(a+2)+4(a-4)≥0，化简得5d2+4a-12≥0，解得2 5符合题意， 第14页/共17页 6学科网6组卷网 6 综上可得a25或a<-2 (3)因为+K-=3,所以3sx1+1x-1k4, 5 2≤x< 当x≥1，不等式为3≤2x-1<4,解得 2 3 <x≤-1 当x≤0，不等式为3≤1-2x<4,解得2 当0<x<1,不等式为3≤1<4，此时无解， 券上可得4=(3，-U23. 又B=x2x-1Ikex+152≥0y=(2x-5)(x-3)≥0； 当k=0时，B=x2x≥0y=R,则UB=R,符合题忘： 当k>0时，B=(U跳+o, (5kz2 2 济 ,则 AUB=R 3ks5,解得 2 e各 当k<0时，8=(Ur坠国， 5k5-1 2 若 则 AUB=R 3k2-3,解得 综上所述，实数k的取值范国为3U0U各； 【点睛】关键点点睛：+K-=3得3≤x+1x-K4,可解得4=(2U2, 第15页/供17页 6学科网列组卷网 21.已知集合S=机，2,3，，100}，设A是S的至少合有两个元素的子集，对于A的年意两个不同的元素 xx>),若x-y都不能整除x+y,则称集合4是S的“好子集” 1)判断数续P=2,46,8)与=机，4,7}是否是集合S的好子集，并说明理由： (2)证明：若A是S的“好子集”，则对于A中的任意两个不同的元素太(x>月，都有x-y之3， (3)求集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的A. 【答案】(1) P不是，Q是，理由如下： P={2,46,8}中，令x=4y=2,则x-y=2,x+y=6, 由于6÷2=3，故P=246,8不是集合S的好子集， =,4,7}中，当x=4,y=1时，x-y=4-1=3,x+y=4+1=5,此时x-y都不能整除x+y, 当=7，y=1时，-y=6x+y=8,此时-少都不能整除 x+y 当x=7,y=4时.x-y=3,x+y=11 x-y x+y 时， ，此时” 都不能整除 综上：卫=机4，)是集合S的好子集 (2) 假设原命题为假命题， 即若A是S的“好子集，则对于A中的任意两个不同的元素水(x>）,都有x-y<3, 显然x-y21,x+y23月x-yx+y 均为正整数， 当y=1 -y x+y 时，由于1能整除任何正整数，故能整除，不合要求， 当术y=2 时，则，是两个奇数，或y是两个偶数，此时+y 为偶数， 第16页/供17页 6学科网 命组卷网 故故x一y能整除x+少，所以不合要求， 故假设不成立， 又由4)知，当A=机，4,7}时，满足A是S的好子集，且x-y之3 综上：若A是$的“好子集，则对于A中的任意两个不同的元素不x>),都有x-y之3 (3)334. A={1,4,7,,997,1000} 【解析】 【分析】(1)根据题目信息进行计算，得到P不是，Q是； (2)利用反证法进行证明： (3)结合(2)，得到x-y尽可能小，取A=1,47,,997,1000, 得到答案 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由(2)知，集合S的“好子集”A所含两个不同的元素(x>),满足x-y之3， 要想A所含元素个数最大，则要x一y尽可能小，故需使得x一少的最小值为3， 故可取A=机，4,7，，997,1000}，通过验证，此时满足x-y不能整除x+y, 1000-l+1=334 故集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值为3 A={1,4,7,…,997,1000 第17页/供17页 上海市曹杨中学2024学年第一学期 高一数学期中试卷 总分： 150分； 考试时间：120分钟； 命题人：蒋颖楠； 审核人：胡开田 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，前6题每个空格填对得4分，后6题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 已知集合与集合，则_______. 2. 若集合，则___________ 3. 16的4次方根是______. 4. 不等式的解集为_____. 5. 对任意实数，方程，则实数______． 6. 命题，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是______． 7. 已知，则___________.（用表示） 8. 命题“，都有”的否定是___________. 9. 若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是_______． 10. 已知正数满足，若不等式对任意正数恒成立，则实数的取值范围为__． 11. 已知，同时满足不等式和的的整数值只有2024个，则实数的取值范围是_____ 12. 设全集，若集合满足：①；②若；③，则这样的有______个． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4小题，13，14每题4分，15，16每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分． 13. 若,则“”是“”的（ ） A. 充分条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知、，若，则下列不等式： ①；②； ③；④． 其中恒成立的不等式序号是 A. ①、③ B. ①、② C. ②、③ D. ②、④ 15. 已知集合，且若下列三个关系：①②；③，有且只有一个正确，则 A. 12 B. 21 C. 102 D. 201 16. 对任意实数，，给出下列命题： ①“”是“”的充要条件； ②若，，则； ③“”是“”的充分条件； ④若，则； ⑤若，，则. 其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17. （1）已知、为实数，，求的值； （2）已知一元二次方程的两根为与，求的值； （3）设为实数，解关于的不等式：． 18. 设全集为，集合． （1）用区间表示补集； （2）若集合，求． 19. 如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求M在射线上，N在射线上，且对角线过点C.已知长为4米，长为3米. （1）要使矩形花坛的面积大于54平方米，则的长应在什么范围内? （2）当的长度是多少时，矩形花坛的面积最小，并求出此最小值. 20. （1）对于任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围． （2）若关于x的不等式的解集不为空集，则实数a的取值范围． （3）符号表示不大于的最大整数，例如：.设方程的解集为，集合，若，求实数的取值范围． 21. 已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”. （1）判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由； （2）证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有； （3）求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $