广东省深圳市2023-2024学年五年级下册数学能力测评排位赛试卷

2024鹏城能力测评排位赛第 1 页 共 2 页 学 校 ： __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 ： __ __ __ __ __ __ _ __ __ _ _ 电 话 ： _ _ __ __ _ _ _ __ __ __ _ _ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ 密 封 线 内 不 要 答 题 2024鹏城能力测评排位赛五年级 一、填空题（每小题 6分，共 84分，如果有多个答案，需写出所有答案） 1. 算式 2 5 1 13.5 12 7 6 1 2 11 0.625 3 4 8 11 23       的值是 y x ，且 x与 y互质，则 x y 的值是____________． 2. 数一数，下图中有____________个正方形． 3. 一本错题集，小龙每天都会完成其中的一部分，第 1天做了全部的 1 9 ，以后 6天分别完成当天剩下的 1 8 、 1 7 、 1 6 …… 这 7天后错题集还剩下 18题未完成，这本错题集一共____________题． 4. 有 2024位小朋友，全部朝向北方站立，若每轮都让 2023位小朋友向后转（朝北就转向南，朝南就转向 北），至少需要转 轮才能使所有小朋友最终都朝南站立． 5. 今年植树活动中，五年级三班一共种了 100 棵柳树和 200棵杨树，经统计，三班的老师们每人种 5棵柳 树和 10棵杨树，男同学每人种 3棵柳树和 8棵杨树，女同学每人种 1棵柳树和 6棵杨树．请问一共有 ____________人参与此次植树活动． 6. 如图，一个由小正方体堆成的乐高．如果把它的外表面（包括底面）全部喷上红色漆料，现将每个小正 方体分开时，3面被涂上红色的小正方体有 块． 7. 如果一个五位数，从中划去一个数字后，得到的四位数是 2024，那我们称之为“幸运数”，那么这样的“幸 运数”有____________个． 8. 如图，三角形 ABC为直角三角形，以其三个边为直径分别画出三个半圆，已知图中两个部分面积分别为 14和 81，则三角形 ABC的面积为 ． 9. 如图，六边形 1 2 3 4 5 6A A A A A A 为正六边形，沿着每条边向外作正三角形，得到的图形我们称之为“六芒 星”．现在我们知道六边形 1 2 3 4 5 6A A A A A A 的面积为90，阴影部分的面积是____________． 10. 小橙参加马拉松比赛，他发现自己的号码 A 刚好满足这样的条件： A与 1A 各位数字和都是 5 的倍 数．那么小橙的参赛号码最小是____________． 11. m和 n为自然数，满足2 5 1n m  能被7整除的m n 最小值为____________． 12. 甲、乙在 A 地，丙在 B 地同时出发，相向而行，到达目的地后立即返回.当甲、丙相遇时，乙恰好走到 A、B两地的中点；当乙、丙相遇时，甲恰好走到 B地. 当甲、乙相遇时，丙走了 2024米，A、B两地相 距 米． 13. 阅读小组的同学们每周都会一起读书，已知每位同学都可以读完三本故事书，而任意四位同学中必有两 人至少重复一本．那么，这个阅读小组至少有____________位同学，才可能读 15本不同的故事书． 14. 现在要在 2 x 3的网格中放置数字，使得从左到右读取形成的两个数字之和为 999，以及从上到下读取形 成的三个数字之和为 99．有____________种满足条件的放置方法． 下面的网格是一个满足条件的排列示例，因为8 991 999  和9 9 81 99   ． 考 试 须 知 1．试卷总分为 150分，考试时间 90分钟． 2．本考试内容分为两道大题． 3．每道解答题请一定认真书写解答过程，评卷时按照过程逐 步给分． ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ 2024鹏城能力测评排位赛第 2 页 共 2 页 二、解答题（15、16小题每题 15分，17、18小题每题 18分，共 66分） 15. 阅读以下材料，并回答问题． 在计算        0.37 0.29 2 0.37 0.29 0.45 2 0.45 0.37 0.29 0.37 0.29           时，我们可以将 0.37 0.29 2  记为a，将0.37 0.29 记为b，这种方法我们称之为换元法． 此时原式      0.45 0.45 0.45 0.45 2 0.9a b a b a b            （1）利用换元法计算： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 1 ... ... 2 3 999 2 3 4 1000 2 3 1000 2 3 999                                          ____________． （2）设 1a ， 2a ， 3a …… 2023a ， 2024a 都是正整数，令： 1 2 2023 2 3 2024( ... ) ( ... )M a a a a a a        ， 1 2 2024 2 3 2023( ... ) ( ... )N a a a a a a        ， 试比较M和 N的大小，并说明理由． 16. 在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，有这样一类大于1的正整数， 被 N除余 1，被(N−1)除余 1，被(N−2)除余 1⋅⋅⋅，被 3 除余 1，被 2除余 1，这样的数我们称之为 “智慧 N”数（N取最大），例如：7，被 3除余 1，被 2除余 1，那么 7为“智慧三”数． 在研究过程中，我们设 N，(N−1)，(N−2)，⋅⋅⋅3，2的最小公倍数为 A，那么“智慧 N”数可以表示为 Ak+1， （k为正整数），例如：6，5，4，3，2的最小公倍数为 60，那么“智慧六”数可以表示为 60k+1（k为正整数）． （1）25是智慧__________数（填数字），最小的三位“智慧三”数是____________． （2）一个“智慧三”数与“智慧四”数的和为 32，求出这两个数． （3）2024以内，一共有多少个“智慧三”数？ 17. 如图，平行四边形 ABCD中，三角形 ABD的面积是 2024，三角形 CGD的面积是 506，三角形 ABF的面 积是 1265，请回答下列问题： （1） 求 DG:GF:FB． （2） 求三角形 GHF的面积． 18. 给定一个由 X和 O组成的序列，序列长度为 N，其中没有连续三个字符相同．小橙可以交换序列中 的两个相邻的字符，每次交换后，如果产生了连续三个及以上的相同字符，它们将被全部消除，直 到不再有连续的三个字符是相同的． （1）请对初始序列“XXOOXOXO”进行交换和消除，使剩余字符最少． （2）求 N的最大值，使得小橙无法保证在一系列交换后，能够消除所有的字符． 2024 鹏城能力测评排位赛第 1 页 共 3 页 学 校 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 电 话 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ 密 封 线 内 不 要 答 题 2024鹏城能力测评排位赛五年级【解析】 一、填空题（每小题 6 分，共 84 分，如果有多个答案，需写出所有答案） 1. 算式 2 5 1 13.5 12 7 6 1 2 11 0.625 3 4 8 11 23 − − + +   的值是 y x ，且 x 与 y 互质，则 x y+ 的值是____________． 【答案】43 【解析】原式= 5 7 5 8 + 3 8 + 2 3 46 11 × 11 23 = 5 7 + 1 3 = 22 21 ，故x + y = 21 + 22 = 43 ． 2. 数一数，下图中有____________个正方形． 【答案】26 【解析】分类枚举：边长为 1 的正方形有 16 个；边长为 2 的有 1 个；边长为 3 的有 2 个； 边长为 4 的有 4 个；边长为 5 的有 1 个；斜放的有 2 个。共 26 个正方形． 3. 一本错题集，小昱每天都会完成其中的一部分，第 1 天做了全部的 1 9 ，以后 6 天分别完成当天剩下的 1 8 、 1 7 、 1 6 …… 这 7 天后错题集还剩下 18 题未完成，这本错题集一共____________题． 【答案】81 【解析】分数应用题转化单位“1”，7 天后还剩下全部的(1 − 1 9 ) × (1 − 1 8 ) × (1 − 1 7 ) × (1 − 1 6 ) × (1 − 1 5 ) × (1 − 1 4 ) × (1 − 1 3 ) = 8 9 × 7 8 × 6 7 ×. . .× 2 3 = 2 9 ，还剩下 18 题，量率对应，总数=18 ÷ 2 9 = 81（题）． 4. 有 2024位小朋友，全部朝向北方站立，若每轮都让 2023位小朋友向后转（朝北就转向南，朝南就转向 北），至少需要转 轮才能使所有小朋友最终都朝南站立． 【答案】2024 【解析】翻杯子问题：因为 2023+1=2024，所以相当于每次转 1 个人，那么轮流转动，需要 2024 次． 5. 今年植树活动中，五年级三班一共种了 100 棵柳树和 200 棵杨树，经统计，三班的老师们每人种 5 棵柳 树和 10 棵杨树，男同学每人种 3 棵柳树和 8 棵杨树，女同学每人种 1 棵柳树和 6 棵杨树．请问一共有 ____________人参与此次植树活动． 【答案】20 【解析】我们发现，每个人都是杨树比柳树多 5 棵，所以总人数 ( )200 100 5 20= −  = 人． 6. 如图，一个由小正方体堆成的乐高．如果把它的外表面（包括底面）全部喷上红色漆料，现将每个小正 方体分开时，3面被涂上红色的小正方体有 块． 【答案】16 【解析】如下图，染 3 面的小正方体有 2 种位置，第一层的每条棱上有 3 块，共 3×4=12（块），第二层的每个角 上有 1 块，共 1×4=4（块），总计：12+4=16（块）． 7. 如果一个五位数，从中划去一个数字后，得到的四位数是 2024，那我们称之为“幸运数”，那么这样的 “幸运数”有____________个． 【答案】45 【解析】 2024a 、2 024a 、20 24a 、202 4a 、2024a分别有 9、10、10、10、10 种，共 49 种，但是其中 22024、 20024、20224、20244 这四种会重复，所以这样的“幸运数”有49 4 45− = 个． 8. 如图，三角形 ABC 为直角三角形，以其三个边为直径分别画出三个半圆，已知图中两个部分面积分别 为 14 和 81，则三角形 ABC 的面积为 ． 【答案】35 【解析】根据勾股定理，直角三角形 ABC 中存在𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2=𝐵𝐶2，故而图中𝑆小半圆 + 𝑆中半圆 = 𝑆大半圆，而由图可 知，𝑆△𝐴𝐵𝐶 = 𝑆小半圆 + 𝑆中半圆 + 81 − 14 − 𝑆大半圆 = 81 − 14 = 67． 考 试 须 知 1．试卷总分为 150 分，考试时间 90 分钟． 2．本考试内容分为两道大题． 3．每道解答题请一定认真书写解答过程，评卷时按照过程逐 步给分． ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ 2024 鹏城能力测评排位赛第 2 页 共 3 页 9. 如图，六边形𝐴1𝐴2𝐴3𝐴4𝐴5𝐴6为正六边形，沿着每条边向外作正三角形，得到的图形我们称之为“六芒 星”．现在我们知道六边形𝐴1𝐴2𝐴3𝐴4𝐴5𝐴6的面积为90，阴影部分的面积是____________． 【答案】20 【解析】如图，该阴影部分是图中最小的“六芒星”，将其作如图分割，则分为完全一样的12个小正三角形， 所以阴影部分的面积为小正六边形的2倍．同时𝐴1𝐴2 = 𝐵1𝐵2 = 3𝐵3𝐵4，即正六边形𝐴1𝐴2𝐴3𝐴4𝐴5𝐴6与中间小正 六边形的相似比为3: 1，则面积比为9: 1．所以，阴影部分面积与正六边形𝐴1𝐴2𝐴3𝐴4𝐴5𝐴6面积比为2: 9．所以 阴影部分的面积为 2 90 20 9  = ． 10. 小橙参加马拉松比赛，他发现自己的号码 A 刚好满足这样的条件：A与 1A+ 各位数字和都是 5 的倍数。 那么小橙的参赛号码最小是____________． 【答案】49999 【解析】先考虑进位，进 y 位，数字和减少9 1y − ，A和 A+1各位数字和都是 5的倍数，因为进位后也是 5的倍 数，所以9 1y − 应该也是 5的倍数，y最小为 4，所以 A最小为 49999，A+1为 50000． 11. m 和 n 为自然数，满足2 5 1 n m+ + 能被7 整除的m n+ 最小值为____________． 【答案】3 【解析】2 5 n m+ 除以 7余 6，分别研究2n 和5 m 除以 7的余数。2 n 除以 7的余数依次为 2、4、1这 3个数为 一组周期，5 m 除以 7的余数依次是 5、4、6、2、3、1这 6个数为一组周期，接下来余数相加应为 6.当 1n = ， 2m = 时，满足条件且和最小，和 1 2 3= + = ． 12. 甲、乙在 A 地，丙在 B 地同时出发，相向而行，到达目的地后立即返回.当甲、丙相遇时，乙恰好走到 A、B两地的中点；当乙、丙相遇时，甲恰好走到 B地. 当甲、乙相遇时，丙走了 2024米，A、B两地相 距 米． 【答案】5060 【解析】由“当甲、丙相遇时，乙恰好走到 A、B两地的中点”，可知相同时间内，乙走了半个 AB全程，而甲 丙合走了 1个 AB全程，故“甲速+丙速=2×乙速”；又由“当乙、丙相遇时，甲恰好走到 B地”，可知相同时 间内，甲走了 1 个 AB 全程，乙丙合走了 1 个 AB 全程，故“乙速+丙速=甲速”，综上可得“甲速:乙速:丙速 =3:2:1”. 故甲乙相遇时，甲走 3份，乙走 2份，丙走 1份，而“当甲、乙相遇时，丙走了 2024米”，1份 就是 2024米，且此时甲乙合走了 2个 AB全程，为 3+2=5份，故 1个 AB全程为 2024×5÷2=5060（米）. 13. 阅读小组的同学们每周都会一起读书，已知每位同学都可以读完三本故事书，而任意四位同学中必 有两人至少重复一本．那么，这个阅读小组至少有____________位同学，才可能读 15 本不同的故 事书． 【答案】6 【解析】如果是 5位同学，要读 15本不同的故事书，则需要每人都要出 3本不同的书，不符合题意；如果是 6位同学，将 15本书分别编号为 1至 15，可以构造如下（1，2，3），（4，5，6），（7，8，9），（1，10， 11），（1，12，13），（1，14，15），符合题意． 14. 现在要在 2 x 3 的网格中放置数字，使得从左到右读取形成的两个数字之和为 999，以及从上到下读取形 成的三个数字之和为 99。有____________种满足条件的放置方法。下面的网格是一个满足条件的排列示 例，因为8 991 999+ = 和9 9 81 99+ + = ． 【答案】45 【解析】设第一行三个数字分别为 A、B、C，第二行三个数字分别是 D、E、F。根据题意可知， 999ABC DEF+ = ， 不会发生进位，所以数字和为 27，而因为 99AD BE CF+ + = ，此时数字和为 18，说明进位一次，必在个 位。综上， 8A B C+ + = ， 19D E F+ + = 。而 A 和 D 和为 9，所以每一种 A 的取值，D 都对应唯一的值， 我们只需要研究 8A B C+ + = 有多少种情况，共 2 10 45C = 种． 二、解答题（15、16 小题每题 15 分，17、18 小题每题 18 分，共 66 分） 15. 阅读以下材料，并回答问题． 在计算 ( ) ( ) ( ) ( )0.37 0.29 2 0.37 0.29 0.45 2 0.45 0.37 0.29 0.37 0.29+ +  + + − + + +  + 时，我们可以将 0.37 0.29 2+ + 记为 a ，将0.37 0.29+ 记为b ，这种方法我们称之为换元法． 此时原式 ( ) ( ) ( )0.45 0.45 0.45 0.45 2 0.9a b a b a b=  + − +  =  − =  = （1）利用换元法计算： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 1 ... ... 2 3 999 2 3 4 1000 2 3 1000 2 3 999         + + + +  + + + − + + + +  + + + =                ____________． （2）设 1a ， 2a ， 3a …… 2023a ， 2024a 都是正整数，令： 1 2 2023 2 3 2024( ... ) ( ... )M a a a a a a= + + +  + + + ， 1 2 2024 2 3 2023( ... ) ( ... )N a a a a a a= + + +  + + + ， 试比较 M 和 N 的大小，并说明理由 【答案】（1） 1 1000 （2）见解析． 【解析】 （1）设 1 1 1 ... 2 3 999 A = + + + ， 1 1 1 ... 2 3 1000 B = + + + ，则原式 ( ) ( ) 1 1 1 1000 A B B A B A= +  − +  = − = 。 （2）设 2 3 2023...A a a a= + + + ，则 ( )1 2024( )M a A A a= +  + ， 1 2024( )N a A a A= + +  ，所以可以知道 1 2024 0M N a a− =   ，所以M N ． 2024 鹏城能力测评排位赛第 3 页 共 3 页 学 校 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 电 话 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ ○ ／ ／ ／ ／ ／ 密 封 线 内 不 要 答 题 16. 在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，有这样一类大于 1 的正整数，被 N 除余 1，被(N−1)除余 1，被(N−2)除余 1⋅⋅⋅，被 3 除余 1，被 2 除余 1，这样的数我们称之为“智慧 N”数（N 取最大），例如：7，被 3 除余 1，被 2 除余 1，那么 7 为“智慧三”数． 在研究过程中，我们设 N，(N−1)，(N−2)，⋅⋅⋅3，2 的最小公倍数为 A，那么“智慧 N”数可以表示为 Ak+1，（k 为正整数），例如：6，5，4，3，2 的最小公倍数为 60，那么“智慧六”数可以表示为 60k+1（k 为正整数）． （1） 25 是智慧__________数（填数字），最小的三位“智慧三”数是____________． （2） 一个“智慧三”数与“智慧四”数的和为 32，求出这两个数． （3） 2024以内，一共有多少个“智慧三”数？ 【答案】（1）四；103；（2）7、25 或 19、13 （2 组答案）；（3）337 个 【解析】 (1)25，被 4除余 1，被 3除余 1，被 2除余 1，那么 25为“智慧四”数； 因为 3、2 的最小公倍数是 6，所以“智慧三”数可以表示为 6k+1（k 为正整数），当 k=17 时，得到最小的三位 “智慧三”数为 6×17+1=103，验证：103，被 3 除余 1，被 2 除余 1，被 4 除却余 3，故而为“智慧三”数 . (2) 一个“智慧三”数与“智慧四”数的和为 32，即(6a + 1) + (12b + 1) = 32，化简得a + 2b = 5，a、b 均为正 整数，次数 a=1，b=2 或 a=3，b=1，这两个数分别是 7、25 或 19、13. (3) “智慧三”数可以表示为 6k+1（k 为正整数），2024 以内从小到大有 7、13、19、......、2023 ，共有(2023-7) ÷6+1=337（个）. 17. 图平行四边形 ABCD 中，三角形 ABD 的面积是 2024，三角形 CGD 的面积是 506，三角形 ABF 的面积 是 1265，请回答下列问题： （1） 求 DG:GF:FB． （2） 求三角形 GHF 的面积． 【答案】（1） : : 2 :1:5DG GF FB = ；（2） 253 3 【解析】 （1） 506 1 2024 4 DG DB = = ， 1265 5 2024 8 BF BD = = ，所以 : : 2 :1:5DG GF FB = ； （2）连接 DH，BH，根据一半模型， 5 2024 1 759 8 ADF DCH BFHS S S   = + =  − =    ； 设 : :GH HC m n= ， 那 么 5 506 2024 759 8 n m m n m n  +   = + + ， 得 到 2n m= ， 所 以 1 1 253 2024 3 8 3 GHFS =   = 18. 给定一个由 X 和 O 组成的序列，序列长度为 N，其中没有连续三个字符相同。小橙可以交换序列中的两个 相邻的字符，每次交换后，如果产生了连续三个及以上的相同字符，它们将被全部消除，直到不再有连续的三 个字符是相同的。 （1） 请对初始序列“XXOOXOXO”进行交换和消除，使剩余字符最少． （2） 求 N 的最大值，使得小橙无法保证在一系列交换后，能够消除所有的字符． 【答案】（1）交换第五个和第六个 XXOOOXXO→XXXXO→O （2） ，详情见解析 【解析】（1）尝试即可 （2）首先易知，消除只能 3 个或者 4 个，若有 5 个连消，则消除之前至少 2+3 或者 1+4，均不可能 所以，当有一种字符有五个时是无法消除所有字符的。 下面给出 17 个不行的构造，XXOXXOXXOXXOXXOXX，此时五个 O 肯定不能完全消除 下面证明 18 个及以上均可以，首先要说明一个事情，即当两种字符按照一定顺序排好，一定可以换成一个同字 符的另一种排列（不消除），即考察两种字符中较少的那个，相邻两个该字符的中间的另一种字符若全为 2个， 此时是唯一情况，否则一定存在 1 或 0 的情况，这个时候可以对他们操作，改变之间的另一种字符即可 其次，考虑 18 个字符，不妨设 O 少，至少有六个 （1） 若为 6+12 或 9+9，易知可以完全消除 （2） 若为 7+11，可先转化为 7+8，再构造 XXOOXXOOXOXOOXX 即可 （3） 若为 8+10，可先转化为 7+8，再构造 XXOOXXOOXOXOOXX 即可 再次，考虑 19 个字符，6+13 转化为 6+7，再构造 XXOOXOXOOXOXX 即可 同理 7+12 亦可转为 6+7, 8+11 可以转化为 XXOOXXOXOXXOOXXOOXX 9+10 亦可转为 6+7 所以可以 最后考虑 20 个字符，亦最少 6 个 O，6+14 转化为 6+8，XXOOXXOOXOXOXX 7+13，其中 7=3+4,13=3+3+3+4 8+12 转化为 6+8，XXOOXXOOXOXOXX 9+11 转化为 6+8，XXOOXXOOXOXOXX 10+10 转化为 7+7，XXOOXOXOOXOOXX 其他的都可转化为 18,19，20，证毕