微专题6　抛物线型实际应用设计问题(含实践活动) 课件 2025年九年级中考数学总复习人教版（山东）

微专题6　抛物线型实际 应用设计问题(含实践活动) 类型1　已知表达式求抛物线形实际问题 【思维切入】 1.类型特点:已知抛物线表达式或给定可求解的表达式. 2.解题方法:结合给定的抛物线表达式,确定抛物线的顶点坐标或抛物线与x轴、 y轴交点等解决实际问题. ‹#› 【针对训练】 1.如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2 m的A处发出,把球看 成点,其运行的高度y(单位:m)与运行的水平距离x(单位:m)满足关系式y=-(x-6)2 +2.6,已知球网与点O的水平距离为9 m,高度为2.43 m,球场的边界距点O的水平 距离为18 m.下列判断正确的是( ) A.球运行的最大高度是2.43 m B.球不会过球网 C.球会过球网但不会出界 D.球会过球网但会出界 D ‹#› 2.(2024·甘肃中考)如图1为一汽车停车棚,其棚顶的横截面可以看作是抛物线的 一部分,如图2是棚顶的竖直高度y(单位:m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单 位:m)近似满足函数关系y=-0.02x2+0.3x+1.6的图象,点B(6,2.68)在图象上.若一辆 箱式货车需在停车棚下避雨,货车截面看作长CD=4 m,高DE=1.8 m的矩形,则可 判定货车________完全停到车棚内(填“能”或“不能”).  　能　 ‹#› 3.(2024·江西中考)如图,一小球从斜坡O点以一定的方向弹出,球的飞行路线可以用二次函数y=ax2+bx(a<0)刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画,小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律如表: x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … ‹#› (1)①m=_________,n=_________;  ②小球的落点是A,求点A的坐标. (2)小球飞行高度y(米)与飞行时间t(秒)满足关系:y=-5t2+vt. ①小球飞行的最大高度为_________米;  ②求v的值. ‹#› 【解析】(1)①根据小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律表可知,抛物线顶点坐标为(4,8),,解得, ∴二次函数解析式为y=-x2+4x. 当y=时,-x2+4x=,解得:x=3或x=5(舍去),∴m=3, 当x=6时,n=y=-×62+4×6=6. 答案:3　6 ‹#› ②联立得, 解得或, ∴点A的坐标是(,). ‹#› (2)①由题干可知小球飞行的最大高度为8米. 答案:8 ②y=-5t2+vt=-5(t-)2+, 则=8, 解得v=4(负值舍去). ‹#› 类型2　构建函数模型解决抛物线形问题 【思维切入】 结合题目特征建立适当的平面直角坐标系,构建二次函数,求出抛物线表达式解决问题. ‹#› 【针对训练】 4.如图①,“东方之门”通过简单的几何曲线处理,将传统文化与现代建筑融为一体,最大程度地传承了苏州的历史文化.如图②,“门”的内侧曲线呈抛物线形,已知其底部宽度为80米,高度为200 m.则离地面150米处的水平宽度(即CD的长)为 __________.  　40 m　 ‹#› 5.(2024·潍坊二模)根据以下素材,探究完成任务. 如何把实心球掷得更远? 素材1 小林在练习投掷实心球,其示意图如图,第一次练习时,球从点A处被抛出,其路线是抛物线.点A距离地面1.6 m,当球到OA的水平距离为1 m时,达到最大高度为1.8 m. 素材2 根据体育老师建议,第二次练习时,小林在正前方1 m处(如图)架起距离地面高为2.45 m的横线.球从点A处被抛出,恰好越过横线,测得投掷距离OC=8 m. ‹#› 问题解决 任务1 计算投掷距离 建立合适的直角坐标系,求素材1中的投掷距离OB. 任务2 探求高度变化 求素材2和素材1中球的最大高度的变化量. 任务3 提出训练建议 为了把球掷得更远,请给小林提出一条合理的训练建议. ‹#› 【解析】任务1:建立如图所示的直角坐标系, 由题意得,抛物线的顶点坐标为(1,1.8), 设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+1.8,过点(0,1.6), ∴a+1.8=1.6,解得a=-0.2, ∴y=-0.2(x-1)2+1.8, 当y=0时,-0.2(x-1)2+1.8=0, 得x1=4,x=-2(舍去), ∴素材1中的投掷距离OB为4 m. ‹#› 任务2:建立直角坐标系,如图, 设素材2中抛物线的解析式为y=ax2+bx+c, 由题意得,过点(0,1.6),(1,2.45),(8,0), ∴,解得, ∴y=-0.15x2+x+1.6,∴顶点纵坐标为==, -1.8=(m),∴素材2和素材1中球的最大高度的变化量为 m. 任务3:应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角. ‹#› 6.(2024·泰安肥城模拟)根据以下素材,探索完成任务. 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案? 素 材 1 图1中有一座拱桥,图2是其抛物线形桥拱的示意图,某时测得水面宽20 m,拱顶离水面5 m.据调查,该河段水位在此基础上再涨1.8 m达到最高. 素 材 2 为迎佳节,拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40 cm长的灯笼,如图3.为了安全,灯笼底部距离水面不小于1 m;为了实效,相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6 m;为了美观,要求在符合条件处都挂上灯笼,且挂满后成轴对称分布. ‹#› 问题解决 任 务 1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系,求抛物线的函数解析式. 任 务 2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中,仅在安全的条件下,确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围. 任 务 3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量,并根据你所建立的坐标系,求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标. ‹#› 【解析】任务1:以拱顶为原点,建立如图4所示的直角坐标系, 则顶点为(0,0),且经过点(10,-5). 设该抛物线函数解析式为y=ax2(a≠0), 则-5=100a,∴a=-, ∴该抛物线的函数解析式是y=-x2. ‹#› 任务2:∵水位再上涨1.8 m达到最高,灯笼底部距离水面至少1 m,灯笼长0.4 m, ∴悬挂点的纵坐标y≥-5+1.8+1+0.4=-1.8, ∴悬挂点的纵坐标的最小值是-1.8. 当y=-1.8时,-1.8=-x2,解得x1=6或x2=-6, ∴悬挂点的横坐标的取值范围是-6≤x≤6. ‹#› 任务3:有两种设计方案 方案一:如图5(坐标系的横轴,图6同),从顶点处开始悬挂灯笼. ∵-6≤x≤6,相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为1.6 m, ∴若顶点一侧挂4盏灯笼,则1.6×4>6, 若顶点一侧挂3盏灯笼,则1.6×3<6, ∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼. ∵挂满灯笼后成轴对称分布, ∴共可挂7盏灯笼. ∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是-4.8. ‹#› 方案二:如图6,从对称轴两侧开始悬挂灯笼,正中间两盏与对称轴的距离均为 0.8 m, ∵若顶点一侧挂5盏灯笼,则0.8+1.6×(5-1)>6, 若顶点一侧挂4盏灯笼,则0.8+1.6×(4-1)<6, ∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼. ∵挂满灯笼后成轴对称分布, ∴共可挂8盏灯笼. ∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是-5.6. ‹#› 类型3　构建二次函数模型解决最优化问题 【思维切入】 构建二次函数,确定其表达式,由二次函数的最值,确定实际问题中的最优化问题. ‹#› 【针对训练】 7.(2024·盐城中考)请根据以下素材,完成探究任务. 制定加工方案 生 产 背 景 背 景 1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装,有“风”“雅”“正”三种样式. ◆因工艺需要,每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件,或“雅”服装1件,或 “正”服装1件. ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件,“正”服装总件数和“风”服装相等. 背 景 2 每天加工的服装都能销售出去,扣除各种成本,服装厂的获利情况为: ①“风”服装:24元/件; ②“正”服装:48元/件; ③“雅”服装:当每天加工10件时,每件获利100元;如果每天多加工1件,那么平均每件获利将减少2元. ‹#› 制定加工方案 信息 整理 现安排x名工人加工“雅”服装,y名工人加工“风”服装,列表如下: 服装 种类 加工人 数(人) 每人每天 加工量(件) 平均每件 获利(元) 风 y 2 24 雅 x 1   正   1 48 ‹#› 探 究 任 务 任务1 探寻变量关系 求x,y之间的数量关系. 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元,求w关于x的函数表达式. 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案. ‹#› 【解析】任务1:根据题意安排70名工人加工一批夏季服装,∵安排x名工人加工“雅”服装,y名工人加工“风”服装,∴加工“正”服装的有(70-x-y)人, ∵“正”服装总件数和“风”服装相等, ∴(70-x-y)×1=2y, 整理得y=-x+. 任务2:根据题意得:“雅”服装每天获利为x[100-2(x-10)], ∴w=2y×24+(70-x-y)×48+x[100-2(x-10)], 整理得w=(-16x+1 120)+(-32x+2 240)+(-2x2+120x), ∴w=-2x2+72x+3 360(x≥10). ‹#› 任务3:由任务2得w=-2x2+72x+3 360=-2(x-18)2+4 008, ∴当x=18时,获得最大利润, y=-×18+=,∴x≠18, ∵开口向下,∴取x=17或x=19, 当x=17时,y=,不符合题意; 当x=19时,y==17,符合题意; ∴70-x-y=34, 综上:安排17名工人加工“雅”服装,19名工人加工“风”服装,34名工人加工“正”服装,即可获得最大利润. ‹#› 本课结束 ‹#› $$