2025年中考数学总复习 微专题5　分段函数的实际应用问题 课件

微专题5　分段函数的 实际应用问题 类型1　分段函数中的行程问题 【思维切入】 1.分段函数中的行程问题多为折线类图象,涉及一次函数的求解,及每段线都对应相应的一次函数. 2.注意各个拐点的坐标,求出相应一次函数表达式是求解关键. ‹#› 【针对训练】 1.区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点,根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度.小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶,其间经过一段长度为20千米的区间测速路段,从该路段起点开始,他先匀速行驶小时,再立即减速以另一速度匀速行驶(减速时间忽略不计),当他到达该路段终点时,测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时.汽车在区间测速路段行驶的路程y(千米)与在此路段行驶的时间x(时)之间的函数图象如图所示. (1)a的值为_________;  (2)当≤x≤a时,求y与x之间的函数关系式; (3)通过计算说明在此区间测速路段内,该辆汽车减速前是否超速.(此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时) ‹#› 【解析】(1)由题意可得:100a=20,解得:a=. 答案: (2)设当≤x≤时,y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0), 则:,解得:,∴y=90x+2(≤x≤). (3)当x=时,y=90×+2=9.5,∴先匀速行驶小时的速度为9.5÷=114(千米/时), ∵114<120,∴该辆汽车减速前没有超速. ‹#› 2.(2024·浙江中考)小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼.小明先跑,10分钟后小丽才开始跑,小丽跑步时中间休息了两次.跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分.小明与小丽的跑步相关信息如表所示,跑步累计里程s(米)与小明跑步时间t(分)的函数关系如图所示.   时间 里程分段 速度档 跑步里程 小明 16:00~16:50 不分段 A档 4 000米 小丽 16:10~16:50 第一段 B档 1 800米 第一次休息 第二段 B档 1 200米 第二次休息 第三段 C档 1 600米 ‹#› (1)求A,B,C各档速度(单位:米/分); (2)求小丽两次休息时间的总和(单位:分); (3)小丽第二次休息后,在a分钟时两人跑步累计里程相等,求a的值. 【解析】(1)由题意可知,A档速度为4 000÷50=80(米/分), 则B档速度为80+40=120(米/分), C档速度为120+40=160(米/分), 答:A,B,C各档速度为80米/分、120米/分、160米/分. ‹#› (2)小丽第一段跑步时间为1 800÷120=15(分), 小丽第二段跑步时间为(3 000-1 800)÷120=10(分), 小丽第三段跑步时间为(4 600-3 000)÷160=10(分), 则小丽两次休息时间的总和为50-10-15-10-10=5(分). 答:小丽两次休息时间的总和为5分钟. (3)∵小丽第二次休息后,在a分钟时两人跑步累计里程相等, ∴此时小丽在跑第三段,所跑时间为a-10-15-10-5=a-40(分), ∴80a=3 000+160(a-40), ∴a=42.5. ‹#› 类型2　分段函数中的销售类问题 【思维切入】 1.此类问题要弄清或确定销售数量和售价的变化关系. 2.根据利润=售价-进价,构建函数模型,再结合函数性质求解销售问题中的最优化问题. ‹#› 【针对训练】 3.(2024·呼伦贝尔、兴安盟中考)某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果,经调查,这两种水果的进价和售价如表所示: 该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元:购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元. 水果种类 进价(元/千克) 售价(元/千克) 甲 a 22 乙 b 25 ‹#› (1)求a,b的值; (2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售,其中甲种水果的数量不少于50千克,且不大于120千克.实际销售时,若甲种水果超过80千克,则超过部分按每千克降价5元销售.求超市当天销售完这两种水果获得的利润y(元)与购进甲种水果的数量x(千克)之间的函数关系式(写出自变量x的取值范围),并求出在获得最大利润时,超市的进货方案以及最大利润. ‹#› 【解析】(1)根据题意,得, 解得. (2)当50≤x≤80时, 根据题意,得y=(22-14)x+(25-19)(150-x)=2x+900, ∵2>0, ∴y随x的增大而增大, ∴当x=80时,y有最大值,最大值为2×80+900=1 060, 即购进甲种水果80千克,乙种水果70千克,利润最大,最大利润为1 060元; ‹#› 当80<x≤120时, 根据题意,得y=(22-14)×80+(22-14-5)×(x-80)+(25-19)(150-x)=-3x+1 300, ∵-3<0, ∴y随x的增大而减小, ∴y<-3×80+1 300=1 060, 即购进甲种水果80千克,乙种水果70千克,利润最大,最大利润为1 060元; 综上,y=, 购进甲种水果80千克,乙种水果70千克,利润最大,最大利润为1 060元. ‹#› 4.(2024·绥化中考)为了响应国家提倡的“节能环保”号召,某共享电动车公司准备投入资金购买A,B两种电动车.若购买A种电动车25辆、B种电动车80辆,需投入资金30.5万元;若购买A种电动车60辆、B种电动车120辆,需投入资金48万元.已知这两种电动车的单价不变. (1)求A,B两种电动车的单价分别是多少元. (2)为适应共享电动车出行市场需求,该公司计划购买A,B两种电动车200辆,其中A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半.当购买A种电动车多少辆时,所需的总费用最少,最少费用是多少元? ‹#› (3)该公司将购买的A,B两种电动车投放到出行市场后,发现消费者支付费用y元与骑行时间x min之间的对应关系如图.其中A种电动车支付费用对应的函数为y1;B种电动车支付费用是10 min之内,起步价6元,对应的函数为y2.请根据函数图象信息解决下列问题. ①小刘每天早上需要骑行A种电动车或B种电动车去公司上班.已知两种电动车的平均行驶速度均为300 m/min(每次骑行均按平均速度行驶,其他因素忽略不计),小刘家到公司的距离为8 km,那么小刘选择_________种电动车更省钱(填“A”或“B”).  ②直接写出两种电动车支付费用相差4元时,x的值　　　　.  ‹#› 【解析】(1)设A,B两种电动车的单价分别为x元、y元,由题意得, , 解得:. 答:A,B两种电动车的单价分别为1 000元、3 500元. ‹#› (2)设购买A种电动车m辆,则购买B种电动车(200-m)辆,m≤(200-m),解得:m≤, 设所需购买总费用为w元,则w=1 000m+3 500(200-m)=-2 500m+700 000, ∵-2 500<0,∴w随着m的增大而减小, ∵m取正整数,∴m=66时,w最少, ∴w最少=700 000-2 500×66=535 000(元). 答:当购买A种电动车66辆时所需的总费用最少,最少费用为535 000元. ‹#› (3)①∵两种电动车的平均行驶速度均为300 m/min,小刘家到公司的距离为 8 km, ∴所用时间=26(min), 根据题中函数图象可得当x>20时,y2<y1,B种电动车更省钱. 答案:B ‹#› ②设y1=k1x,将(20,8)代入得,8=20k1, 解得:k1=,∴y1=x, 当0<x≤10时,y2=6, 当x>10时,设y2=k2x+b2, 将(10,6),(20,8)代入得, ,解得:, ∴y2=x+4, ‹#› 依题意,当0<x<10时,y2-y1=4, 即6-x=4,解得:x=5, 当x>10时,|y2-y1|=4, 即|x+4-x|=4, 解得:x=0(舍去)或x=40. 答案:5或40 ‹#› 5.(2024·德州二模)为了预防春季流行性感冒,学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知药物燃烧时室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例;药物燃烧后,y与x成反比例,如图所示.请根据图中提供的信息,解答下列问题: (1)药物燃烧后y与x的函数关系式为_________,自变量取值范围是_________;  (2)当空气中每立方米的含药量低于0.3毫克时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要几分钟后,学生才能回到教室? ‹#› 【解析】(1)药物燃烧后y与x的函数关系式为y=(k≠0), 将点(2,6)代入得:k=2×6=12, ∴药物燃烧后y与x的函数关系式为y=,自变量取值范围是x≥2. 答案:y=　x≥2 (2)当y=0.3时,0.3=, 解得:x=40, ∴从消毒开始,至少需要40分钟后,学生才能回到教室. ‹#› 类型3　分段函数的其他应用 【思维切入】 对应自变量的不同的取值范围,存在不同的函数图象,由此形成的分段函数,求出相应函数表达式是解决问题的关键. ‹#› 【针对训练】 6.(2022·陕西中考)在测浮力的实验中,将一长方体石块由玻璃器皿的上方,向下缓慢移动浸入水里的过程中,弹簧测力计的示数F拉力(N)与石块下降的高度x(cm)之间的关系如图所示. (1)求AB所在直线的函数表达式; (2)当石块下降的高度为8 cm时,求此刻该石块所受浮力的大小. (温馨提示:当石块位于水面上方时,F拉力=G重力;当石块入水后,F拉力=G重力-F浮力.) ‹#› 【解析】(1)设AB所在直线的函数表达式为F拉力=kx+b,将(6,4),(10,2.5)代入得,,解得,∴AB所在直线的函数表达式为F拉力=-x+; (2)在F拉力=-x+中,令x=8得 F拉力=-×8+=,∵4-=(N), ∴当石块下降的高度为8 cm时,该石块所受浮力为 N. ‹#› 7.(2024·潍坊二模)如图,有一块边角料ABCDEF,其中AB,BC,CD,EF,AF是线段,曲线DE可以看成反比例函数y=图象的一部分.王师傅想利用这块边角料截取一个矩形MNGH,其中M,N在AF上(点M在点N左侧),点H在线段BC上,点G在曲线段DE上.测量发现:∠BAF=∠AFE=90°,AB=EF=1,CD=3,AF=8,CD∥AF,且CD和AF之间的距离为4.若以AF所在直线为x轴,以AF中点O为原点构建直角坐标系,令点G的纵坐标为m. (1)若截取的矩形边是CD,则截取的矩形面积是_________;  (2)求直线BC和曲线DE的表达式; (3)求所截矩形材料MNGH面积的最大值. ‹#› 【解析】(1)∵CD和AF之间的距离为4,CD∥AF,CD=3, ∴若截取的矩形有一边是CD,则截取的矩形面积是3×4=12. 答案:12 (2)∵AF=8,点O是AF中点, ∴A(-4,0),F(4,0), ∵AB=EF=1, ∴B(-4,1),E(4,1), ∵E点在函数y=图象上, ∴k=4, ‹#› ∴曲线DE的表达式为y=, ∴D(1,4), ∵CD=3, ∴C(-2,4), 设直线BC的表达式为y=k'x+b, ∴,解得, ∴直线BC的表达式为y=x+7. ‹#› (3)∵点G纵坐标为m.点G在曲线y=上, ∴G(,m), ∵GH∥MN,∴点H的纵坐标为m, ∵点H在直线BC上, ∴m=x+7,解得x=m-, ∴H(m-,m), ‹#› 设所截矩形材料MNGH面积为S, ∴S=(-m+)·m=-m2+m+4=+, ∵-<0,抛物线开口向下, ∴当m=时,S有最大值,最大值为, 即所截矩形材料MNGH面积的最大值为. ‹#› 本课结束 ‹#› $$