微专题4　反比例函数的综合应用 课件 2025年九年级中考数学总复习人教版（山东）

微专题4　反比例函数的综合应用 角度1　与一次函数结合——求两个函数表达式及交点 【思维切入】 1.将已知点代入反比例函数表达式,先得反比例函数;再求另一点,将两个点代入一次函数表达式,得一次函数表达式. 2.将反比例函数和一次函数表达式联立得方程组,解得两个交点的坐标,进一步求解. ‹#› 【针对训练】 1.(2024·达州中考)如图,一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象与反比例函数y=(m为常数,m≠0)的图象交于点A(2,3),B(a,-2). (1)求反比例函数和一次函数的表达式; (2)若点C是x轴正半轴上的一点,且∠BCA=90°,求点C的坐标. ‹#› 【解析】(1)将点A,B的坐标代入反比例函数表达式得:m=2×3=-2a, 解得:a=-3,m=6,即反比例函数的表达式为y=,点B(-3,-2), 将点A,B的坐标代入一次函数表达式得: ,解得, 则一次函数的表达式为y=x+1. ‹#› (2)设点C(x,0), 由点A,B,C的坐标得,AB2=50,AC2=(x-2)2+9,BC2=(x+3)2+4, ∵∠BCA=90°, 则AB2=AC2+BC2, 即50=(x-2)2+9+(x+3)2+4, 解得:x=3或-4(舍去),即点C(3,0). ‹#› 2.(2024·淄博中考)如图,一次函数y=k1x+2的图象与反比例函数y=的图象相交于A(m,4),B两点,与x,y轴分别相交于点C,D,且tan∠ACO=2. (1)分别求这两个函数的表达式; (2)以点D为圆心,线段DB的长为半径作弧与x轴正半轴相交于点E,连接AE,BE,求△ABE的面积; (3)根据函数的图象直接写出关于x的不等式k1x+2>的解集. ‹#› 【解析】(1)∵y=k1x+2,当x=0时,y=2, ∴点D的坐标为(0,2),∴OD=2, ∵tan∠ACO=2,∴=2,∴OC=1, ∴点C的坐标为(-1,0), ∴-k1+2=0,∴k1=2,∴y=2x+2, ∵点A(m,4)在y=2x+2上, ∴2m+2=4,∴m=1, ∴点A的坐标为(1,4), ∵点A(1,4)在y=上,∴4=,∴k2=4,∴y=. ‹#› (2)如图,连接DE,过点B作BF垂直于y轴,垂足为F, 联立,解得,, ∴点B的坐标为(-2,-2), ∴BF=2,点F的坐标为(0,-2). ‹#› 在Rt△DFB和Rt△EOD中,, ∴Rt△DFB≌Rt△EOD(HL), ∴OE=DF, ∵点D的坐标为(0,2),点F的坐标为(0,-2), ∴DF=4,∴OE=4, ∴CE=OC+OE=5,S△ABE=S△ACE+S△BCE=×5×4+×5×2=15. (3)由题中图象可知,当-2<x<0或x>1时,y=k1x+2的图象在y=的图象上方,所以k1x+2>的解集为-2<x<0或x>1. ‹#› 角度2　与几何图形结合 类型1　求三角形的面积 【思维切入】 1.补全求差:将三角形补成矩形或梯形或易求的三角形,然后用面积差求解. 2.分割求和:利用坐标轴进行分割求和或利用纵底横高求解. ‹#› 【针对训练】 3.(2024·凉山州中考)如图,正比例函数y1=x与反比例函数y2=(x>0)的图象交于点A(m,2). (1)求反比例函数的表达式; (2)把直线y1=x向上平移3个单位长度与y2=(x>0)的图象交于点B,连接AB,OB,求△AOB的面积. ‹#› 【解析】(1)∵点A(m,2)在正比例函数图象上,∴2=m,解得m=4,∴A(4,2), ∵A(4,2)在反比例函数图象上, ∴k=8, ∴反比例函数表达式为y2=. ‹#› (2)把直线y1=x向上平移3个单位长度得到表达式为y=x+3, 直线与y轴交点坐标为D(0,3),连接AD, 联立方程组, 解得,(舍去),∴B(2,4), ∴S△AOB=S△ADO=×3×4=6. ‹#› 4.(2024·遂宁中考)如图,一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2=(m≠0)的图象相交于A(1,3),B(n,-1)两点. (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)根据图象,直接写出y1>y2时,x的取值范围; (3)过点B作直线OB,交反比例函数图象于点C,连接AC,求△ABC的面积. ‹#› 【解析】(1)将点A坐标代入反比例函数表达式得,m=1×3=3, 所以反比例函数表达式为y=. 将点B坐标代入反比例函数解析式得,n=-3, 所以点B的坐标为(-3,-1). 将A,B两点坐标代入一次函数表达式得,, 解得, 所以一次函数表达式为y=x+2. ‹#› (2)由函数图象可知, 当-3<x<0或x>1时,一次函数的图象在反比例函数图象的上方,即y1>y2,所以当y1>y2,x的取值范围是-3<x<0或x>1. (3)连接AO,令直线AB与x轴的交点为M, 将y=0代入y=x+2得,x=-2,所以点M的坐标为(-2,0), 所以S△AOB=S△AOM+S△BOM=×2×3+×2×1=4. 因为正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形,且坐标原点是对称中心, 所以点B和点C关于点O成中心对称,所以BO=CO,所以S△ABC=2S△AOB=8. ‹#› 类型2　求特殊三角形或特殊四边形 【思维切入】 1.动点三角形的形状问题: (1)等腰三角形: 方法1:求已知边,按腰或底分类讨论求解; 方法2:设动点坐标,表示三边平方,分类讨论得方程求解; (2)直角三角形: 方法1:按直角分类讨论,构造一线三直角求解; 方法2:设动点坐标,表示三边的平方,根据勾股定理的逆定理分类讨论列方程求解. ‹#› 2.动点平行四边形问题: 按对角线两端点的横坐标(纵坐标)之和相等,分类讨论求解. 3.动点四边形的问题转化为动点三角形问题: 动点菱形问题转化为动点等腰三角形问题; 动点矩形问题转化为动点直角三角形问题. ‹#› 【针对训练】 5.(2024·宜宾中考)如图,一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点A(1,4),B(n,-1). (1)求反比例函数和一次函数的表达式; (2)利用图象,直接写出不等式ax+b<的解集; (3)已知点D在x轴上,点C在反比例函数图象上.若以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,求点C的坐标. ‹#› 【解析】(1)将点A,B的坐标代入反比例函数表达式得:k=4×1=-n, 解得:k=4,n=-4,即反比例函数的表达式为y=,点B(-4,-1); 将点A,B的坐标代入一次函数表达式得: ,解得, 则一次函数表达式为y=x+3. (2)观察题中函数图象知,当0<x<1或x<-4时,ax+b<成立. ‹#› (3)设点C的坐标为(m,),点D(x,0), 当AB为对角线时, 由中点坐标公式得:4-1=,解得:m=,则点C(,3); 当AC或AD为对角线时, 同理可得:4+=-1或4=-1, 解得:m=±,则点C(-,-5)或(,5), 综上,点C的坐标为(,3)或(-,-5)或(,5). ‹#› 6.(2024·成都中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+m与直线y=2x相交于点A(2,a),与x轴交于点B(b,0),点C在反比例函数y=(k<0)图象上. (1)求a,b,m的值; (2)若O,A,B,C为顶点的四边形为平行四边形,求点C的坐标和k的值; (3)过A,C两点的直线与x轴负半轴交于点D,点E与点D关于y轴对称.若有且只有一点C,使得△ABD与△ABE相似,求k的值. ‹#› 【解析】(1)把A(2,a)代入y=2x得:a=2×2=4,∴A(2,4), 把A(2,4)代入y=-x+m得4=-2+m, ∴m=6; ∴直线y=-x+m为y=-x+6, 把B(b,0)代入y=-x+6得0=-b+6, ∴b=6, ∴a的值为4,m的值为6,b的值为6. ‹#› (2)设C(t,), 由(1)知A(2,4),B(6,0),而O(0,0), ①当AC,BO为对角线时,AC,BO的中点重合,∴, 解得, 经检验,t=4,k=-16符合题意, 此时点C的坐标为(4,-4); ‹#› ②当CB,AO为对角线时,CB,AO的中点重合, ∴, 解得, 经检验,t=-4,k=-16符合题意, 此时点C的坐标为(-4,4); ‹#› ③当CO,AB为对角线时,CO,AB的中点重合, ∴, 解得, ∵k=32>0, ∴这种情况不符合题意; 综上所述,C的坐标为(4,-4)或(-4,4),k的值为-16. ‹#› (3)如图: 设直线AC的表达式为y=px+q,把A(2,4)代入得:4=2p+q, ∴q=4-2p, ∴直线AC的表达式为y=px+4-2p, 在y=px+4-2p中,令y=0得x=, ∴D(,0), ‹#› ∵E与点D关于y轴对称, ∴E(,0), ∵B(6,0), ∴BE=6-=,BD=6-=, ∵△ABD与△ABE相似, ∴E只能在B左侧, ∴∠ABE=∠DBA, 故△ABD与△ABE相似,只需=即可,即BE·BD=AB2, ‹#› ∵A(2,4),B(6,0), ∴AB2=32, ∴×=32, 解得p=1, 经检验,p=1满足题意, ∴直线AC的表达式为y=x+2, ∵有且只有一点C,使得△ABD与△ABE相似, ∴直线AC与反比例函数y=(k<0)图象只有一个交点, ‹#› ∴x+2=只有一个解, 即x2+2x-k=0有两个相等实数根, ∴Δ=0,即22+4k=0, 解得k=-1, ∴k的值为-1. ‹#› 本课结束 ‹#› $$