2025年中考数学总复习 　第二十二讲　矩形、菱形、正方形 课件

第二十二讲　矩形、 菱形、正方形 必备知识·夯根基 高频考点·释疑难 山东3年真题 必备知识·夯根基 知识要点 1.矩形的性质与判定 性质 除具有平行四边形的性质外,还有: (1)矩形的四个角都是__________.  (2)矩形的对角线__________.  (3)既是______________图形,又是轴对称图形.  判定 (1)有一个角是__________的平行四边形.  (2)对角线__________的平行四边形.  (3)有三个角是__________的四边形.  　直角　 　相等　 　中心对称　 　直角　 　相等　 　直角　 ‹#› 对点练习 1. (1)如图,AC,BD是矩形ABCD的对角线,∠AOB=40°,则∠ACD的度数为( ) A.50° B.55° C.65° D.70° (2)下列条件能使平行四边形ABCD是矩形的为__________.(填序号)  ①AC⊥BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC=BD. D 　②④　 ‹#› 知识要点 2.菱形的性质与判定 性质 除具有平行四边形的性质外,还有: (1)菱形的四条边都__________.  (2)菱形的两条对角线互相__________,并且每一条对角线平分______________.  (3)菱形的面积等于两条对角线乘积的__________.  (4)既是__________图形,又是轴对称图形. 判定 (1)有一组邻边__________的平行四边形.  (2)对角线互相__________的平行四边形.  (3)四条边__________的四边形.  　相等　 　垂直　 　一组对角　 　一半　 中心对称 　相等　 　垂直　 　相等　 ‹#› 对点练习 2. (1)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法错误的是 ( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.AB∥DC B.AB=BD C.AC⊥BD D.OA=OC (2)下列条件中,能判定四边形是菱形的是 ( ) A.对角线相等的平行四边形 B.对角线互相垂直且相等的四边形 C.对角线互相平分且垂直的四边形 D.对角线互相垂直的四边形 B C ‹#› 知识要点 3.正方形的性质与判定 性质 (1)正方形的四条边都__________.  (2)正方形的四个角都是__________.  (3)正方形的两条对角线__________且互相______________,每一条对角线平分一组 对角.  (4)既是______________图形,又是轴对称图形.  判定 (1)有一组邻边__________并且有一个角是__________的平行四边形.  (2)有一组邻边__________的矩形.  (3)有一个角是__________的菱形.  (4)对角线相等且垂直的平行四边形. 　相等　 　直角　 　相等　 　垂直平分　 　中心对称　 　相等　 　直角　 　相等　 　直角　 ‹#› 对点练习 3.(教材再开发·北师九上P21T2改编) (1)如图,在正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,连接AE,CE,∠BCE=70°, 则∠EAD为 ( ) A.10° B.15° C.20° D.30° (2)已知四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,若添加一个条件即可判定该四边形 是正方形,那么这个条件可以是_______________________.  C 　AB=AD(答案不唯一)　 ‹#› 考点1　矩形的性质与判定 【例1】 (2024·南充中考)如图,在矩形ABCD中,E为AD边上一点,∠ABE=30°,将 △ABE沿BE折叠得△FBE,连接CF,DF,若CF平分∠BCD,AB=2,则DF的长为_______.  高频考点·释疑难  　 ‹#› 【方法技巧】 应用转化思想解决矩形问题 以矩形为背景的题目,易出现全等三角形、等腰三角形以及直角三角形,要充分应用转化思想,根据三角形的有关知识解决问题. 提醒:矩形一条对角线分得一对全等的直角三角形,两条对角线分得两对全等的等腰三角形. ‹#› 【变式训练】 1.(2024·泸州中考)已知四边形ABCD是平行四边形,下列条件中,不能判定▱ABCD 为矩形的是 ( ) A.∠A=90°　 B.∠B=∠C C.AC=BD　 D.AC⊥BD D ‹#› 2.(2024·新疆中考)如图,△ABC的中线BD,CE交于点O,点F,G分别是OB,OC的中点. (1)求证:四边形DEFG是平行四边形; (2)当BD=CE时,求证:▱DEFG是矩形. ‹#› 【证明】(1)∵BD和CE是△ABC的中线, ∴点E和点D分别为AB和AC的中点, ∴DE是△ABC的中位线, ∴DE∥BC,DE=BC. 同理可得,FG∥BC,FG=BC, ∴DE∥FG,DE=FG, ∴四边形DEFG是平行四边形. ‹#› (2)∵△ABC的中线BD,CE交于点O, ∴点O是△ABC的重心, ∴BO=2OD,CO=2OE. 又∵点F,G分别是OB,OC的中点, ∴OF=FB,OG=GC, ∴DF=BD,EG=CE. ∵BD=CE, ∴DF=EG. 又∵四边形DEFG是平行四边形, ∴▱DEFG是矩形. ‹#› 考点2　菱形的性质与判定 【例2】(2024·呼伦贝尔、兴安盟中考)如图,在平行四边形ABCD中,点F在边AD上,AB=AF,连接BF,点O为BF的中点,AO的延长线交边BC于点E,连接EF. (1)求证:四边形ABEF是菱形; (2)若平行四边形ABCD的周长为22,CE=1,∠BAD=120°,求AE的长. ‹#› 【思路点拨】(1)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可; (2)证明△ABE是等边三角形,求出AB可得结论. 【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,即AF∥BE, ∴∠AFB=∠EBF,∠FAE=∠BEA, ∵O为BF的中点, ∴BO=FO, ∴△AOF≌△EOB, ∴BE=FA, ∵AF∥BE, ‹#› ∴四边形ABEF是平行四边形, 又AB=AF, ∴四边形ABEF是菱形. (2)∵AD=BC,AF=BE, ∴DF=CE=1, ∵平行四边形ABCD的周长为22, ∴菱形ABEF的周长为22-2=20, ∴AB=20÷4=5, ∵四边形ABEF是菱形, ‹#› ∴∠BAE=∠BAD=×120°=60°, 又AB=AE, ∴△ABE是等边三角形, ∵AE=AB=5. ‹#› 【方法技巧】 解决菱形有关问题的技巧 1.根据菱形性质转化为三角形:菱形的一条对角线将菱形分为两个全等的等腰三角形,两条对角线将菱形分为四个全等的直角三角形; 2.菱形判定方法的选择:若易得四边形为平行四边形,则再证一组邻边相等或对角线互相垂直;若相等的边较多时,可证四条边相等. 提醒:菱形的面积有两种求法,可以底乘高,也可以对角线相乘再除以2. ‹#› 【变式训练】 1. (2024·包头中考)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=6,AC是一条对角线,E是 AC上一点,过点E作EF⊥AB,垂足为F,连接DE.若CE=AF,则DE的长为_________.  　2　 ‹#› 2.(2024·云南中考)如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是各边的中点,且AB∥CD,AD∥BC,四边形EFGH是矩形. (1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)若矩形EFGH的周长为22,四边形ABCD的面积为10,求AB的长. ‹#› 【解析】(1)连接AC,BD交于点O,交FG于点N,交HG于点M, ∵AB∥CD,AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形, ∵四边形EFGH是矩形, ∴∠HGF=90°, ∵H,G分别是AD,DC的中点, ∴HG∥AC,HG=AC, ∴∠HGF=∠GNC, ∴∠GNC=90°, ‹#› ∵G,F分别是DC,BC的中点, ∴GF∥BD,GF=BD, ∴∠GNC=∠MOC=90°, ∴BD⊥AC, ∴四边形ABCD是菱形. (2)∵矩形EFGH的周长为22, ∴HG+FG=11, ∴AC+BD=22, ∵×AC×BD=10,∴AC×BD=20, ‹#› ∵(AC+BD)2=AC2+2×AC×BD+BD2, ∴AC2+BD2=444, ∴AC2+BD2=111, ∴AO2+BO2=111, ∴AB2=AO2+BO2=111,∴AB=. ‹#› 考点3　正方形的性质与判定 【例3】 (2024·重庆中考)如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E是BC上一点,点F 是CD延长线上一点,连接AE,AF,AM平分∠EAF交CD于点M.若BE=DF=1,则DM的 长度为 ( ) A.2　 B.　 C.　 D. D ‹#› 【思路点拨】根据正方形的性质及三角形全等的判定及性质,证明AE=AF;利用角平分线的定义及三角形全等的判定及性质,证明EM=FM;设DM=x,将EM,MC和CE分别表示出来,在Rt△MCE中根据勾股定理列关于x的方程并求解即可. ‹#› 【方法技巧】 正方形性质及判定的应用技巧 1.性质的兼容并蓄:正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱形,具有它们所有的性质. 2.判定的两种思路:证明一个四边形是正方形,可以先判定为矩形,再证明邻边相等或对角线互相垂直;或先判定为菱形,再证一个角是直角或对角线相等. 3.易得全等三角形:正方形被两条对角线分割为四个全等的等腰直角三角形,在正方形中画出分割线,很容易得到另外的全等三角形. ‹#› 【变式训练】 1. (2024·宜宾中考)如图,正方形ABCD的边长为1,M,N是边BC,CD上的动点.若 ∠MAN=45°,则MN的最小值为____________.  　-2+2　 ‹#› 2.(2024·甘肃中考)【模型建立】 (1)如图1,已知△ABE和△BCD,AB⊥BC,AB=BC,CD⊥BD,AE⊥BD.用等式写出线段AE,DE,CD的数量关系,并说明理由. 【模型应用】 (2)如图2,在正方形ABCD中,点E,F分别在对角线BD和边CD上,AE⊥EF,AE=EF.用等式写出线段BE,AD,DF的数量关系,并说明理由. 【模型迁移】 (3)如图3,在正方形ABCD中,点E在对角线BD上,点F在边CD的延长线上,AE⊥EF,AE=EF.用等式写出线段BE,AD,DF的数量关系,并说明理由. ‹#› 【解析】(1)DE+CD=AE,理由如下: ∵CD⊥BD,AE⊥BD,AB⊥BC, ∴∠ABC=∠D=∠AEB=90°, ∴∠ABE+∠CBD=∠C+∠CBD=90°, ∴∠ABE=∠C, ∵AB=BC, ∴△ABE≌△BCD(AAS), ∴BE=CD,AE=BD, ∴DE=BD-BE=AE-CD, ∴DE+CD=AE. ‹#› (2)AD=BE+DF,理由如下: 过点E作EM⊥AD于点M,过点E作EN⊥CD于点N,如图, ∵四边形ABCD是正方形,BD是正方形的对角线, ∴∠ADB=∠CDB=45°,BD平分∠ADC,∠ADC=90°, ∴AD=CD=BD,∴DE=BD-BE=AD-BE,∵EN⊥CD,EM⊥AD, ∴EM=EN,∵AE=EF,∴Rt△AEM≌Rt△FEN(HL),∴AM=NF, ∵EM=EN,EN⊥CD,EM⊥AD,∠ADC=90°,∴四边形EMDN是正方形,∴ED是正方形EMDN的对角线,MD=ND,∴MD=DN=DE,NF=ND-DF=MD-DF, ‹#› ∴NF=AM=AD-MD=AD-DE,NF=DE-DF, ∴AD-DE=DE-DF, ∴AD=DE-DF, ∵DE=AD-BE,∴AD=(AD-BE)-DF,∴AD=BE+DF. ‹#› (3)AD=BE-DF,理由如下: 过A点作AH⊥BD于点H,过F点作FG⊥BD,交BD的延长线于点G,如图, ∵AH⊥BD,FG⊥BG,AE⊥EF, ∴∠AHE=∠G=∠AEF=90°,∴∠AEH+∠HAE=∠AEH+∠FEG=90°, ∴∠HAE=∠FEG, ∵AE=FE,∴△HAE≌△GEF(AAS), ∴HE=FG, ∵在正方形ABCD中,∠BDC=45°, ∴∠FDG=∠BDC=45°,∴∠DFG=45°, ‹#› ∴△DFG是等腰直角三角形,∴FG=DF,∴HE=FG=DF, ∵∠ADB=45°,AH⊥HD,∴△ADH是等腰直角三角形, ∴HD=AD,∴DE=HD-HE=AD-DF,∴BD-BE=DE=AD-DF, ∵BD=AD, ∴AD-BE=AD-DF, ∴AD=BE-DF. ‹#› 1.(2024·济宁中考)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,连接 OE.若OE=3,则菱形的边长为 ( ) A.6　 B.8　 C.10 　 D.12 山东3年真题 A ‹#› 2.(2024·威海中考)如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E在BC上,点F在CD 上,连接AE,AF,EF,EF交AC于点G.下列结论错误的是 ( ) A.若=,则EF∥BD B.若AE⊥BC,AF⊥CD,AE=AF,则EF∥BD C.若EF∥BD,CE=CF,则∠EAC=∠FAC D.若AB=AD,AE=AF,则EF∥BD D ‹#› 3. (2024·烟台中考)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别为对角线BD,AC的三等分点, 连接AE并延长交CD于点G,连接EF,FG.若∠AGF=α,则∠FAG用含α的代数式表示 为 ( ) A.　 B. C.　 D. B ‹#› 4. (2024·济南中考)如图,在正方形ABCD中,分别以点A和B为圆心,以大于AB的长 为半径作弧,两弧相交于点E和F,作直线EF,再以点A为圆心,以AD的长为半径作弧 交直线EF于点G(点G在正方形ABCD内部),连接DG并延长交BC于点K.若BK=2,则 正方形ABCD的边长为 ( ) A.+1 B. C. D.+1 D ‹#› 5.(2024·东营中考)如图,四边形ABCD是平行四边形,从①AC=BD,②AC⊥BD, ③AB=BC,这三个条件中任意选取两个,能使▱ABCD是正方形的概率为( ) A. B. C. D. A ‹#› 6.(2024·济南中考)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=,AD=2,E为边AD的中点,点 F在边CD上,连接EF,将△DEF沿EF翻折,点D的对应点为D',连接BD'.若BD'=2,则 DF=__________.   -　 ‹#› 7.(2024·滨州中考)(1)如图1,△ABC中,点D,E,F分别在三边BC,CA,AB上,且满足DF∥AC, DE∥AB. ①求证:四边形AFDE为平行四边形; ②若=,求证:四边形AFDE为菱形; (2)把一块三角形余料MNH(如图2所示)加工成菱形零件,使它的一个顶点与△MNH的顶点M重合,另外三个顶点分别在三边MN,NH,HM上,请在图2上作出这个菱形.(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法) ‹#› 【解析】(1)①∵DF∥AC,DE∥AB,点D,E,F分别在三边BC,CA,AB上, ∴DF∥AE,DE∥AF, ∴四边形AFDE为平行四边形; ②延长BA到G,使得AG=AC,如图1所示, 则∠G=∠ACG, ∵=,∴=, ∵∠ABD=∠GBC, ∴△BAD∽△BGC,∴∠BAD=∠G, ∴AD∥GC,∴∠DAC=∠ACG, ‹#› ∴∠BAD=∠DAC, 又∵AB∥DE,∴∠BAD=∠ADE, ∴∠DAE=∠ADE,∴AE=DE, ∴四边形AFDE为菱形. (2)作∠NMH的平分线,与NH交于点L,再作线段ML的垂直平分线,分别交MN, MH于点O,G,如图2所示, 四边形MGLO即为所求. ‹#› 8.(2024·济南中考)如图,在菱形ABCD中,AE⊥CD,垂足为E,CF⊥AD,垂足为F.求证:AF=CE. ‹#› 【证明】∵四边形ABCD是菱形, ∴AD=CD,∵AE⊥CD,CF⊥AD, ∴∠AED=∠CFD=90°, 在△AED与△CFD中, , ∴△AED≌△CFD(AAS), ∴DE=DF,∴AD-DF=CD-DE, ∴AF=CE. ‹#› 9.(2024·潍坊中考)如图,在矩形ABCD中,AB>2AD,点E,F分别在边AB,CD上.将△ADF沿AF折叠,点D的对应点G恰好落在对角线AC上;将△CBE沿CE折叠,点B的对应点H恰好也落在对角线AC上.连接GE,FH. 求证:(1)△AEH≌△CFG; (2)四边形EGFH为平行四边形. ‹#› 【证明】(1)∵四边形ABCD是矩形, ∴AD=BC,∠B=∠D=90°,AB∥CD, ∴∠EAH=∠FCG, 由折叠可得,AG=AD,CH=CB,∠CHE=∠B=90°,∠AGF=∠D=90°, ∴CH=AG,∠AHE=∠CGF=90°, ∴AH=CG, 在△AEH和△CFG中, ‹#› , ∴△AEH≌△CFG(ASA). (2)由(1)知∠AHE=∠CGF=90°,△AEH≌△CFG, ∴EH∥FG,EH=FG, ∴四边形EGFH为平行四边形. ‹#› 10.(2024·威海中考)如图,在菱形ABCD中,AB=10 cm,∠ABC=60°,E为对角线AC上一动点,以DE为一边作∠DEF=60°,EF交射线BC于点F,连接BE,DF.点E从点C出发,沿CA方向以每秒2 cm的速度运动至点A处停止.设△BEF的面积为y cm2,点E的运动时间为x秒. (1)求证:BE=EF; (2)求y与x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围; (3)求x为何值时,线段DF的长度最短. ‹#› 【解析】(1)设CD与EF相交于点M, ∵四边形ABCD为菱形, ∴BC=DC,∠BCE=∠DCE,AB∥CD, ∵∠ABC=60°, ∴∠DCF=60°, 在△BCE和△DCE中, , ∴△BCE≌△DCE(SAS), ‹#› ∴∠CBE=∠CDE,BE=DE, ∵∠DMF=∠DEF+∠CDE=∠DCF+∠CFE, 又∵∠DEF=∠DCF=60°, ∴∠CDE=∠CFE, ∴∠CBE=∠CFE, ∴BE=EF. ‹#› (2)过点E作EN⊥BC于N, 则∠ENC=90°, ∵BE=EF,∴BF=2BN, ∵四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°, ∴BC=AB=10 cm,∠ACB=∠ACD=60°,即∠ECN=60°, ∵CE=2x cm, ∴EN=CE·sin 60°=2x·=x(cm),CN=CE·cos 60°=2x·=x(cm), ∴BN=BC-CN=10-x(cm), ∴BF=2(10-x)cm, ‹#› ∴y=BF·EN=×2(10-x)×x=-x2+10x, ∵0<2x≤10, ∴0<x≤5, ∴y=-x2+10x(0<x≤5). ‹#› (3)∵BE=DE,BE=EF, ∴DE=EF, ∵∠DEF=60°, ∴△DEF为等边三角形, ∴DE=DF=EF, ∴BE=DF, ∴线段DF的长度最短,即BE的长度最短,当BE⊥AC时,BE取最短,如图, ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC, ∵∠ABC=60°, ‹#› ∴△ABC为等边三角形, ∴2AE=AB=AC=10 cm, ∵BE⊥AC, ∴CE=AC=5 cm, ∴x==, ∴当x=时,线段DF的长度最短. ‹#› 本课结束 ‹#› $$