2025年中考数学总复习 　第二十讲　解直角三角形 课件

第二十讲　解直角三角形 必备知识·夯根基 高频考点·释疑难 山东3年真题 必备知识·夯根基 知识要点 1.锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则sin A==_____,  cos A==_____,tan A==_____.  　  　  　 ‹#› 对点练习 1.在△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,则下列三角函数值正确的是 ( ) A.sin A= B.cos A= C.tan A= D.tan B= A ‹#› 知识要点 2.特殊角的三角函数值 sin 30°=_____,cos 30°=______,tan 30°=______;  sin 45°=______,cos 45°=______,tan 45°=_______;  sin 60°=______,cos 60°=_____,tan 60°=_______.   　  　  　  　  　 　1　  　  　  　 ‹#› 对点练习 2.(1)tan 45°的值为 ( ) A. B. C.1 D. (2)如果α是锐角,sin α=cos 30°,那么α为 ________.  C 　60°　 ‹#› 知识要点 3.解直角三角形 (1)直角三角形中的边角关系 (2)解直角三角形:由直角三角形中的______________,求出其余____________　 的过程  　已知元素　 　未知元素 ‹#› 对点练习 3.(1)(教材再开发·人教九下P64练习T1改编)在△ABC中,∠C=90°,cos A=,AC=6, 则AB的长度为 ( ) A.8 B.10 C.12 D.14 (2)Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,∠C=90°,a=20,c=20,则∠B= ________.  B 　45°　 ‹#› 知识要点 4.解直角三角形的实际应用 (1)解直角三角形应用中相关名词术语 ①仰角和俯角:仰角是__________看的视线与水平线的夹角;俯角是__________ 看的视线与水平线的夹角.如图:  　向上　 　向下　 ‹#› ②坡角:坡面与____________的夹角α;  坡度(坡比):坡面的铅直高度h和______________的比;坡度i与坡角α之间的关系为 i==__________.如图:  ③方向角:一般是指从__________或__________方向到目标方向所形成的小于90° 的角.如图OB在点O的南偏西45°方向(或西南方向),OA在点O的北偏西65°等.  　水平面　 　水平宽度l　 　tan α　 　正北　 　正南　 ‹#› (2)解直角三角形在实际问题中应用的一般步骤: ①将实际问题抽象为__________问题(画出平面图形,构造出直角三角形转化为 解直角三角形问题).  ②根据题目已知特点选用适当______________函数或__________关系去解直角 三角形,得到数学问题的答案,再转化得到__________问题的答案.  　数学　 　锐角三角　 　边角　 　实际　 ‹#› 对点练习 4.(1)如图,小明站在自家阳台上A处观测到对面大楼底部C的俯角为α,A处到地面 B处的距离AB=35,则两栋楼之间的距离BC为 ( ) A.35tan α B.35sin α C. D. D ‹#› (2)在坡度为1∶2的山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米,斜坡上 相邻两树间的坡面距离是　　　　米. ( )  A.3 B.12 C.3 D.5 (3)(教材再开发·人教九下P76例5改编)如图,一艘船以40 n mile/h的速度由西向东 航行,航行到A处时,测得灯塔P在船的北偏东30°方向上,继续航行2.5h,到达B处, 测得灯塔P在船的北偏西60°方向上,此时船到灯塔P的距离为______n mile.(结果 保留根号)  C 50 ‹#› 考点1　锐角三角函数的定义 【例1】(2024·达州中考)如图,由8个全等的菱形组成的网格中,每个小菱形的边长 均为2,∠ABD=120°,其中点A,B,C都在格点上,则tan∠BCD的值为 ( ) A.2　 B.2　 C.　 D.3 高频考点·释疑难 B ‹#› 【方法技巧】 求锐角三角函数值的三种方法 (1)以网格和坐标系为背景,分清直角边、斜边,根据勾股定理求出需要的边,用三角函数定义求值; (2)构造直角三角形,把锐角放到直角三角形中,然后利用锐角三角函数的定义求解; (3)借助等角求值,找出一个与之相等的角,其等角的三角函数值即为此角的三角函数值. 提醒:若直角三角形的边长未知,可以设参数“k”,再在求三角函数值的过程中约去k. ‹#› 【变式训练】 1.(2024·云南中考)如图,在△ABC中,若∠B=90°,AB=3,BC=4,则tan A= ( ) A.　 B.　 C.　 D. C ‹#› 2.(2024·眉山中考)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E在DC上,把△ADE沿AE 折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,则cos∠CEF的值为 ( ) A.　 B.　 C.　 D. A ‹#› 考点2　特殊角的三角函数值 【例2】(2024·凉山州中考)计算:+|2-|+2-1+cos 30°-(-1)0. 【自主解答】原式=+2-++-1=+2-++-1=2. ‹#› 【方法技巧】 熟记特殊角的三角函数值的两种方法 (1)按值的变化:30°,45°,60°角的正余弦的分母都是2,正弦的分子分别是1,,, 余弦的分子分别是,,1,正切分别是,1,. (2)特殊值法: ①在直角三角形中,设30°角所对的直角边为1,那么三边长分别为1,,2; ②在直角三角形中,设45°角所对的直角边为1,那么三边长分别为1,1,. ‹#› 【变式训练】 1.(2024·天津中考)cos 45°-1的值等于 ( ) A.0　 B.1　 C.-1　 D.-1 2.(2024·成都中考)(1)计算:+2sin 60°-(π-2 024)0+|-2|. 【解析】(1)原式=4+2×-1+2-=4+-1+2-=5. A ‹#› 考点3　解直角三角形 【例3】(2024·聊城模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是中线,过点A作CD 的垂线,分别交BC,CD于点E,F.若tan∠CAE=,AE=26,则CD的长为 ( ) A.39　 B.8　 C.6　 D.19.5 D ‹#› 【思路点拨】先在Rt△ACE中,根据AE长及∠CAE的正切求出AC的长,再通过∠B=∠CAE,在Rt△ABC中求出BC的长,最后用勾股定理及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题. ‹#› 【方法技巧】 解直角三角形的规律 解直角三角形的方法可概括为:“有斜用弦,无斜用切,宁乘勿除,取原避中”,即当已知斜边时,就用正弦(或余弦),无斜边时,就用正切;当求值可用乘法又可用除法时,则用乘法,不用除法;当可用已知数据又可用中间数据求解时,则用已知数据,尽量避免用中间数据. ‹#› 【变式训练】 1.(2024·济宁任城区一模)如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC, 其中AB=AC,∠ABC=37°,BC=40 cm,则高AD约为( ) (结果取整数,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75) A.15 cm　 B.16 cm　 C.18 cm　 D.20 cm A ‹#› 2.(2024·泰安泰山区模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC上一点, AB=5,BD=1,tan B=. (1)求AD的长; (2)求sin α的值. ‹#› 【解析】(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,tan B=,AB=5,∴设AC=3x,BC=4x, ∵AC2+BC2=AB2, ∴(3x)2+(4x)2=52, 解得x=-1(舍去),或x=1, ∴AC=3,BC=4, ∵BD=1,∴CD=3, ∴AD==3. ‹#› (2)过点D作DE⊥AB于点E, 在Rt△BED中,tan B=, ∴设DE=3y,则BE=4y, ∵BE2+DE2=BD2, ∴(3y)2+(4y)2=12, 解得y=-(舍去),或y=, ∴DE=,∴sin α===. ‹#› 考点4　解直角三角形的应用 【例4】(2024·山西中考)研学实践:为重温解放军东渡黄河“红色记忆”,学校组织研学活动.同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地,在了解相关历史背景后,利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据. 数据采集:如图,点A是纪念碑顶部一点,AB的长表示点A到水平地面的距离.航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升,飞行至距离地面20米的点C处时,测得点A的仰角∠ACD=18.4°;然后沿CN方向继续飞行,飞行方向与水平线的夹角∠NCD=37°,当到达点A正上方的点E处时,测得AE=9米;…… ‹#› 数据应用:已知图中各点均在同一竖直平面内,E,A,B三点在同一直线上.请根据上述数据,计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长(结果精确到1米.参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,sin 18.4°≈0.32,cos 18.4°≈0.95,tan 18.4°≈0.33). 【思路点拨】延长CD交AB于点H,根据矩形的性质得到CM=HB=20,解直角三角形即可得到结论. ‹#› 【自主解答】延长CD交AB于点H, 由题意得,四边形CMBH为矩形, ∴CM=HB=20,在Rt△ACH中,∠AHC=90°,∠ACH=18.4°, ∴tan∠ACH=, ∴CH==≈, ‹#› 在Rt△ECH中,∠EHC=90°,∠ECH=37°, ∴tan∠ECH=, ∴CH==≈, 设AH=x. ∵AE=9,∴EH=x+9, ∴=, 解得x≈7.1,∴AB=AH+HB≈7.1+20=27.1≈27(米). 答:点A到地面的距离AB的长约为27米. ‹#› 【方法技巧】 1.应用解直角三角形解决实际问题的方法与步骤: (1)得直角三角形:根据实际问题情境画出直角三角形,若无现成的直角三角形,则需要作垂线等构造出直角三角形. (2)解直角三角形:得到直角三角形后,将题干中的已知量和三角形的边角对应起来,看能否直接求解,若不能,则需要设某一线段长为x,列方程求解. ‹#› 2.应用解直角三角形解决实际问题的注意事项: (1)注意仰角俯角的区别:仰角的视线在水平线上,俯角的视线在水平线下. (2)注意坡度的实际含义:坡度不是坡角的度数,而是坡角的正弦值. (3)注意方位角的基准线:方位角的基准线是南北方向线,先说“南或北”,再说偏东或偏西多少度. ‹#› 【变式训练】 1.(2024·德阳中考)某校学生开展综合实践活动,测量一建筑物CD的高度,在建筑物 旁边有一高度为10米的小楼房AB,小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为 60°,在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30°(AB,CD在同一平面内,B,D在同一水平 面上),则建筑物CD的高为　　米. ( )  A.20　 B.15 C.12　 D.10+5 B ‹#› 2.(2024·苏州中考)图①是某种可调节支撑架,BC为水平固定杆,竖直固定杆 AB⊥BC,活动杆AD可绕点A旋转,CD为液压可伸缩支撑杆,已知AB=10 cm, BC=20 cm,AD=50 cm. (1)如图②,当活动杆AD处于水平状态时,求可伸缩支撑杆CD的长度(结果保留根号); (2)如图③,当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α,且tan α=(α为锐角),求此时可伸缩支撑杆CD的长度(结果保留根号). ‹#› 【解析】(1)过点C作CE⊥AD,垂足为E, 由题意得AB=CE=10 cm,BC=AE=20 cm,∵AD=50 cm, ∴ED=AD-AE=50-20=30(cm), 在Rt△CED中,CD===10(cm), ∴可伸缩支撑杆CD的长度为10 cm. ‹#› (2)过点D作DF⊥BC,交BC的延长线于点F,交AD'于点G, 由题意得:AB=FG=10 cm,AG=BF,∠AGD=90°, 在Rt△ADG中,tan α==, ∴设DG=3x cm,则AG=4x cm, ∴AD===5x(cm), ∵AD=50 cm, ‹#› ∴5x=50,解得x=10, ∴AG=40 cm,DG=30 cm, ∴DF=DG+FG=30+10=40(cm), ∴BF=AG=40 cm, ∵BC=20 cm, ∴CF=BF-BC=40-20=20(cm), 在Rt△CFD中,CD===20(cm), ∴此时可伸缩支撑杆CD的长度为20 cm. ‹#› 1.(2024·潍坊中考)一种路灯的示意图如图所示,其底部支架AB与吊线FG平行,灯杆 CD与底部支架AB所成锐角α=15°.顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β=45°,则EF 与FG所成锐角的度数为 ( ) A.60°　 B. 55°　 C. 50°　 D. 45° 山东3年真题 A ‹#› 2.(2024·泰安中考)在综合实践课上,数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某 河段的宽度,他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机,如图,无人机在河上方 距水面高60米的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°,测得瞭望台顶端C处的 俯角为63.6°,已知瞭望台BC高12米(图中点A,B,C,P在同一平面内),那么大汶河此 河段的宽AB为________米.(参考数据:sin 40°≈,sin 63.6°≈,tan 50°≈,tan 63.6°≈2)  　74　 ‹#› 3.(2024·山东中考)【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离. 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况,在岸边选取合适的点B.测量A,B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA,测量三次取平均值,得到数据:AB=60米,∠PAB=79°, ∠PBA=64°.画出示意图,如图1: ‹#› 【问题解决】(1)计算A,P两点间的距离. (参考数据:sin 64°≈0.90,sin 79°≈0.98,cos 79°≈0.19,sin 37°≈0.60,tan 37°≈0.75) 【交流研讨】甲小组回班汇报后,乙小组提出了另一种方案: 如图2,选择合适的点D,E,F,使得A,D,E在同一条直线上,且AD=DE,∠DEF=∠DAP,当F,D,P在同一条直线上时,只需测量EF即可. (2)乙小组的方案用到了_________.(填写正确答案的序号)  ①解直角三角形 ②三角形全等 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好,对于实际测量,要根据现场地形状况选择可实施的方案. ‹#› 【解析】(1)如图,过B作BH⊥AP于H, ∵AB=60米,∠PAB=79°,∴AH=AB·cos 79°≈60×0.19=11.4(米), BH=AB·sin 79°≈60×0.98=58.8(米), ∵∠PAB=79°,∠PBA=64°, ∴∠APB=180°-79°-64°=37°, ∴tan∠APB=tan 37°=≈0.75, ∴PH≈=78.4(米), ∴AP=AH+PH=11.4+78.4=89.8(米); 即A,P两点间的距离为89.8米. ‹#› (2)∵AD=DE,∠DEF=∠DAP, 当F,D,P在同一条直线上时, ∠ADP=∠EDF, ∴△ADP≌△EDF(ASA), ∴AP=EF, ∴只需测量EF即可得到AP长度; ∴乙小组的方案用到了②. 答案:② ‹#› 4.(2024·济南中考)城市轨道交通发展迅猛,为市民出行带来极大方便.某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离,数据勘测组通过勘测得到了如下记录表: 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器、红外测距仪等 过程资料 轻轨高架站 示意图 相关数据及说明:图中点A,B,C,D,E,F在同一平面内,房顶AB,吊顶CF和地面DE所在的直线都平行,点F在与地面垂直的中轴线AE上,∠BCD=98°,∠CDE=97°,AE= 8.5 m,CD=6.7 m. 成果梳理 …   ‹#› 请根据记录表提供的信息完成下列问题: (1)求点C到地面DE的距离; (2)求顶部线段BC的长. (结果精确到0.01 m,参考数据:sin 15°≈0.259,cos 15°≈0.966,tan 15°≈0.268, sin 83°≈0.993,cos 83°≈0.122,tan 83°≈8.144) ‹#› 【解析】(1)如图,过点C作CN⊥ED,交ED的延长线于点N,垂足为N, ∵∠CDE=97°,∴∠CDN=83°, 在Rt△CDN中,sin∠CDN=sin 83°==0.993,CD=6.7 m, ∴CN=CDsin 83°=6.7×0.993≈6.65(m), 答:点C到地面DE的距离为6.65 m; ‹#› (2)如图,过点B作BP⊥CF,垂足为P, ∵CF∥DE, ∴∠FCD=∠CDN=83°, ∵∠BCD=98°, ∴∠BCP=∠BCD-∠FCD=15°, ∵平行线间的距离处处相等, ∴EF=CN=6.65 m, ∵AE=8.5 m, ∴BP=AF=AE-EF=8.5-6.65=1.85, ‹#› 在Rt△BCP中sin∠BCP=sin 15°==0.259, ∴BC==≈7.14(m), 答:顶部线段BC的长为7.14 m. ‹#› 本课结束 ‹#› $$