精品解析：山东省淄博市张店区2024—2025学年上学期八年级数学期中考试卷

2024—2025学年度第一学期期中学业水平检测 初三数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列从左到右的等式变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面是2024年某市某周发布的该周每天的最高温度：，，，，，，．关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 众数是24 B. 中位数是24 C. 平均数是20 D. 极差是7 4. 下列分式中，为最简分式的是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人测试10次，平均成绩均为9.2环，方差如下表所示： 选手 甲 乙 丙 丁 方差 0.56 0.60 0.50 0.45 则在这四个选手中，成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 若实数x满足，则的值为（ ） A. B. C. 2024 D. 2025 7. 甲、乙两个植树队参加植树造林活动，已知甲队每小时比乙队少种3棵树，甲队种60棵树与乙队种66棵树所用的时间相同．若设甲队每小时种x棵树，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，爱思考的小颖看到课本《因式分解》一章中这样写道： 形如的式子称为完全平方式 小颖思考，如果一个多项式不是完全平方式，我们对其作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，那么是否可以由此解决一些新的问题．若借助小颖的思考，可以求得多项式的最大值，则该最大值为（ ） A. B. C. 5 D. 13 9. 小明、小聪参加了100m跑的5期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如图两个统计图． 根据图中信息，有下面四个推断： ①这5期的集训共有56天； ②小明5次测试的平均成绩是11.68秒； ③从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑； ④从测试成绩看，两人的最好成绩都是在第4期出现，建议集训时间定为14天． 所有合理推断的序号是（　　） A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④ 10. 定义一个运算：，其中．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_____． 12. 因式分解：______． 13. 若一组数据“”的平均数是5，众数是5，则这组数据的方差为______． 14. 关于的分式方程无解，则的值为______． 15. 如图（1），标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的四个面积相等的长方形，已知Ⅰ和Ⅱ能够完全重合，Ⅲ和Ⅳ能够完全重合，如图（2），将这四个长方形不重叠地围成两个新的长方形和长方形．若设，其中，且代数式，则______． 三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上） 16. （1）因式分解：； （2）计算：． 17. （1）计算：； （2）先化简，再从中选取一个你喜欢的整数代入求值． 18. 解分式方程： （1）； （2）． 19. 已知关于的二次三项式有一个因式为，求另一个因式和的值． 20. 甲，乙，丙三个小组各有人，一道满分为分的题目，三个小组得分情况如下： （1）请计算甲组的平均数和方差； （2）乙组和丙组平均数和方差如下表： 乙组 丙组 平均数 方差 得分情况最稳定的小组是______组； （3）对比这三组数据，“柱子的高度”都是，，，，，但是它们的排序不同，导致了平均数和方差各不相同，你能否谈谈你的想法，如何排序可以使平均数最大？如何排序可以使方差最小？ 21. 小丽看到课本《因式分解》一章中的“读一读”写到：利用多项式的乘法法则，可以得到，反过来，则有．智慧的小丽受“读一读”的启发，运用该方法解出了方程的解，小丽的解法如下： 因为，， 又因为，， 所以，， 所以，，或， 所以，，或， 所以，原方程的解为． 应用上面小丽的方法解决下列问题： （1）解方程：； （2）解关于的方程：（是常数，且都不为零）； （3）若关于的方程的两个解分别为（其中），请求的值． 22. “乡村振兴路先行，修路便民暖人心”，为了彻底解决农户出行“最后一公里”的问题，某市安排甲、乙两个工程队分别完成36千米的道路施工任务，下表是两个工程队的施工规则． 甲工程队 第一、二天的施工速度为x千米/天，从第三天开始每天都按前两天施工速度的2倍施工，这样比全程只按x千米/天的速度完成道路施工的时间提前3天． 乙工程队 A方案：计划18千米按每天施工m千米完成，剩下的18千米按每天施工n千米完成，预计完成施工任务所需的时间为天； B方案：设完成施工任务所需的时间为天，其中一半的时间每天完成施工m千米，另一半的时间每天完成施工n千米． 特别说明：A，B两种方案中的m，n均满足实际意义，且． （1）问甲工程队完成施工任务需要多少天？ （2）若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明理由． 23. 【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解去，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】：因式分解： （1）； （2）． 【拓展延伸】：对于四项以上的多项式，我们可以据其特征适当地将某一项拆成两项，再进行分组，进而因式分解来解决问题，请你利用这样的思路试一试． ①已知为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积； ②如图，长方形ABCD，已知，其中，且，求长方形ABCD的边AD，AB的长度．（，用含的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中学业水平检测 初三数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，根据分母含有未知数且不为0，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、 是单项式，是整式，不是分式，故该选项不正确，不符合题意； B、是单项式，是整式，不是分式，故该选项不正确，不符合题意； C、 是分式，故该选项正确，符合题意； D、 是多项式，是整式，不是分式，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2. 下列从左到右的等式变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的判定，理解定义是关键． 因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式）． 【详解】解：A、，等号右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、，等号右边是积的形式，符合定义，符合题意； C、，等号右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、，等号右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：B ． 3. 下面是2024年某市某周发布的该周每天的最高温度：，，，，，，．关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 众数是24 B. 中位数是24 C. 平均数是20 D. 极差是7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、平均数、方差，根据中位数、众数、平均数、方差的求法逐项判断即可． 【详解】解：众数是，故A选项正确，符合题意； 将数据按从小到大排列为：、、、、、、， 故中位数为：，故B选项错误，不符合题意； 平均数为，故C错误，不符合题意； 极差是：，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 4. 下列分式中，为最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．根据最简分式的定义分别对每一项进行判断，即可得出答案． 【详解】解：选项A、，不符合题意； 选项B、，不符合题意； 选项C、不能约分，符合题意； 选项D、，不符合题意， 故选：C． 5. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人测试10次，平均成绩均为9.2环，方差如下表所示： 选手 甲 乙 丙 丁 方差 0.56 0.60 0.50 0.45 则在这四个选手中，成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】先比较四个选手的方差的大小，根据方差的性质解答即可． 【详解】0.65>0.56>0.5>0.45 丁的方差最小， 成绩最稳定的是丁. 故选：D． 6. 若实数x满足，则的值为（ ） A. B. C. 2024 D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，等式的性质，由可得，，代入代数式，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 7. 甲、乙两个植树队参加植树造林活动，已知甲队每小时比乙队少种3棵树，甲队种60棵树与乙队种66棵树所用的时间相同．若设甲队每小时种x棵树，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲队每小时种x棵树，则乙队每小时种树棵，根据题意列出方程即可求解，解题的关键是读懂题意，列出方程． 【详解】解：设甲队每小时种x棵树，则根据题意可列方程为 故选：C． 8. 如图，爱思考的小颖看到课本《因式分解》一章中这样写道： 形如的式子称为完全平方式 小颖思考，如果一个多项式不是完全平方式，我们对其作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，那么是否可以由此解决一些新的问题．若借助小颖的思考，可以求得多项式的最大值，则该最大值为（ ） A. B. C. 5 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，完全平方公式的应用，将化为，即可求解． 【详解】解： ， ∵ ∴，即的最大值为 故选：D． 9. 小明、小聪参加了100m跑的5期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如图两个统计图． 根据图中信息，有下面四个推断： ①这5期的集训共有56天； ②小明5次测试的平均成绩是11.68秒； ③从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑； ④从测试成绩看，两人的最好成绩都是在第4期出现，建议集训时间定为14天． 所有合理推断的序号是（　　） A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据条形统计图将每期的天数相加即可得到这5期的集训共有多少天；根据折线统计图可以求得小明5次测试的平均成绩；根据图中的信息和题意可知，平均成绩最好是在第1期． 【详解】解：对于①：这5期的集训共有5+7+10+14+20＝56（天），故正确； 对于②：小明5次测试的平均成绩是：（11.83+11.72+11.52+11.58+11.65）÷5＝11.66（秒），故错误； 对于③：从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑，故正确； 对于④：从测试成绩看，小聪的最好的成绩是在第期出现，小明的最好的成绩是在第期出现，建议集训时间定为14天．故错误； 故选：A． 【点睛】本题考查条形统计图、折线统计图、平均数的概念，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10. 定义一个运算：，其中．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查新定义运算, 有理数的混合运算，根据所给新定义逐项列式计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不等于零，进行求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可. 【详解】解：. 13. 若一组数据“”的平均数是5，众数是5，则这组数据的方差为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了数据的平均数、众数及方差，先根据这组数的平均数及众数求出都是，再利用方差公式计算即可． 【详解】∵一组数据的众数为5， ∴中至少有一个是5， ∵一组数据的平均数为， ∴， ∴， ∴都是， ∴这组数据的方差为； 故答案为：． 14. 关于的分式方程无解，则的值为______． 【答案】或1 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程无解问题．分式方程无解，即有增根，此时，整理分式方程得，则由无解或者的解是分式方程的增根求得的值． 【详解】解：， 去分母得，，整理得， ∵分式方程无解， ∴无解或者的解是分式方程的增根， ∴或， ∴或， 故答案为：或1． 15. 如图（1），标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的四个面积相等的长方形，已知Ⅰ和Ⅱ能够完全重合，Ⅲ和Ⅳ能够完全重合，如图（2），将这四个长方形不重叠地围成两个新的长方形和长方形．若设，其中，且代数式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算法则是解本题的关键． 根据得出，设设四个长方形的面积都是，可得，，然后用表示长方形和长方形的边长和面积，进而求出结果． 【详解】解：∵ ∴， ∴，（不合题意舍去） ∴，则， ∵设四个长方形的面积都是， ∴，， ∴，， ∵ ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上） 16. （1）因式分解：； （2）计算：． 【答案】（）；（）． 【解析】 【分析】（）先进行分组，再利用完全平方公式，平方差公式因式分解即可； （）直接利用平方差公式分解即可； 本题考查了因式分解的运用，平方差公式、完全平方公式，熟练掌握公式法因式分解是解题的关键． 【详解】解：（） ； （） ． 17. （1）计算：； （2）先化简，再从中选取一个你喜欢的整数代入求值． 【答案】（1）；（2）化简为：，当时，原式（代入x的值不为即可） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简与求值； （1）先计算括号内的，再根据分式的乘除法法则计算； （2）先计算括号内的，再根据分式的乘除法法则计算，然后代入数值计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） 当时，原式． 18. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程． （1）方程两边都乘，去分母将分式方程化为整式方程，求解并验证根即可． （2）方程两边都乘，去分母将分式方程化为整式方程，求解并验证根即可． 【小问1详解】 解：方程两边都乘，得， 解这个方程，得： 检验：当时，， 所以，是原方程的解； 【小问2详解】 解：方程两边都乘，得， 解得： 检验：当时，， 所以，是原方程的解， 19. 已知关于的二次三项式有一个因式为，求另一个因式和的值． 【答案】另一个因式为，m的值为 【解析】 【分析】本题考查多项式的乘法，掌握多项式的乘法法则是解题关键．设另一个因式是，利用多项式乘法法则展开后，再利用对应项系数相等求解即可． 【详解】解：设的另一个因式是， 依题意可得：， 所以， 所以，，， 解得：． 所以另一个因式为，m的值为． 20. 甲，乙，丙三个小组各有人，一道满分为分的题目，三个小组得分情况如下： （1）请计算甲组的平均数和方差； （2）乙组和丙组平均数和方差如下表： 乙组 丙组 平均数 方差 得分情况最稳定的小组是______组； （3）对比这三组数据，“柱子的高度”都是，，，，，但是它们的排序不同，导致了平均数和方差各不相同，你能否谈谈你的想法，如何排序可以使平均数最大？如何排序可以使方差最小？ 【答案】（1）甲组的平均数是：；方差是：． （2）乙 （3）甲组的排序平均数最大；乙组的排序方差最小． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图的综合应用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息，熟练掌握加权平均数和方差的定义，是解答本题的关键． （1）利用平均数公式和方差公式，直接计算得到答案． （2）根据方差的定义，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，由此得到答案． （3）由平均数和方差的公式，得到排列特点，即平均数越大，说明数据得高分的人数越多，方差越小，说明离平均数的数值接近的人数越多，由此得到结论． 【小问1详解】 解：根据题意得： 甲组的平均数是： ， 甲组的方差是： ． 【小问2详解】 ， 即乙组的方差丙组的方差， 乙组的得分情况比丙组的得分情况稳定， 故答案为：乙． 【小问3详解】 得高分的人数越多，平均数越大， 甲组的排序平均数最大； 离平均数数值接近的人数越多，方差越小， 乙组的排序方差最小． 21. 小丽看到课本《因式分解》一章中的“读一读”写到：利用多项式的乘法法则，可以得到，反过来，则有．智慧的小丽受“读一读”的启发，运用该方法解出了方程的解，小丽的解法如下： 因为，， 又因为，， 所以，， 所以，，或， 所以，，或， 所以，原方程的解为． 应用上面小丽的方法解决下列问题： （1）解方程：； （2）解关于的方程：（是常数，且都不为零）； （3）若关于的方程的两个解分别为（其中），请求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程： （1）方程两边同乘，得，再仿照题意因式分解得到，据此仿照题意求解，最后检验即可； （2）方程两边同乘，得，则，再利用十字相乘法分解因式得到，据此仿照题意解方程，并检验即可； （3）先去分母得到，再利用十字相乘法分解因式得到，再仿照题意求解并检验即可； 【小问1详解】 解： 方程两边同乘，得， 所以，， 因为，， 所以，， 所以，，或， 所以，，或， 检验：当或时，， 所以，原方程的解为． 【小问2详解】 解： 方程两边同乘，得， 所以，， 因为，， 所以， 所以，，或， 所以，，或， 检验：因为，是常数，且都不为零，所以，当或时，， 所以，原方程的解为． 【小问3详解】 解： 方程两边同乘，得， 所以，， 因为，， ∴， 所以，，或， 所以，，或， 检验：当或时，，因为，， 所以，， 所以，原方程的解为， 所以，； 22. “乡村振兴路先行，修路便民暖人心”，为了彻底解决农户出行“最后一公里”的问题，某市安排甲、乙两个工程队分别完成36千米的道路施工任务，下表是两个工程队的施工规则． 甲工程队 第一、二天的施工速度为x千米/天，从第三天开始每天都按前两天施工速度的2倍施工，这样比全程只按x千米/天的速度完成道路施工的时间提前3天． 乙工程队 A方案：计划18千米按每天施工m千米完成，剩下的18千米按每天施工n千米完成，预计完成施工任务所需的时间为天； B方案：设完成施工任务所需的时间为天，其中一半的时间每天完成施工m千米，另一半的时间每天完成施工n千米． 特别说明：A，B两种方案中的m，n均满足实际意义，且． （1）问甲工程队完成施工任务需要多少天？ （2）若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明理由． 【答案】（1）甲工程队完成施工任务需要5天 （2） 解：乙工程队应采取B方案，理由如下： 根据题意得：；， ， ， ， ， ， 乙工程队应采取B方案． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式减法的实际应用： （1）根据题意可得两天后的施工速度为千米/天，全程只按x千米/天的速度完成道路施工的时间为天，改变后完成道路施工的时间为天，再根据从第三天开始每天都按前两天施工速度的2倍施工，这样比全程只按x千米/天的速度完成道路施工的时间提前3天列出方程求解即可； （2）根据题意求出，，再利用作差法得到，据此可得结论． 【小问1详解】 解：依题意可得：， 解得． 经检验是方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲工程队完成施工任务需要5天； 【小问2详解】 略 23. 【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解去，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】：因式分解： （1）； （2）． 【拓展延伸】：对于四项以上的多项式，我们可以据其特征适当地将某一项拆成两项，再进行分组，进而因式分解来解决问题，请你利用这样的思路试一试． ①已知为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积； ②如图，长方形ABCD，已知，其中，且，求长方形ABCD的边AD，AB的长度．（，用含的式子表示） 【答案】学以致用：（1）；（2）；拓展延伸：①48或；② 【解析】 【分析】本题考查了分组分解法，等腰三角形的性质，勾股定理． 学以致用： （1）根据提公因式法因式分解，即可求解； （2）先分组，然后根据完全平方公式与平方差公式因式分解，即可求解； 拓展延伸： ①根据完全平方公式因式分解，进而根据非负数的性质求得的值，进而根据等腰三角形的性质以及勾股定理计算即可求解； ②同（1）的方法因式分解，进而得出，即可求解． 【详解】解：学以致用： （1） ． （2） 拓展延伸： ① 等腰的三边为或 ， ， 等腰的面积为48或． ② 且 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $