精品解析：上海市桃浦中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

上海市桃浦中学2024学年第一学期高二年级 数学学科期中试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分. 1. 用数学符号语言表示“点A在直线外，直线在平面上”____________ 2. 若是异面直线，直线，则c与b的位置关系是______. 3. “直线与平面无公共点”是“直线不在平面内”的_____条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空） 4. 如果OA//O1A1，OB//O1B1，∠AOB=，则∠A1O1B1=_______________ 5. 如果直线与平面所成的角为，那么直线与平面内的直线所成的角的取值范围是______； 6. 由一条直线和直线外的3个点可确定平面的个数最多为___________. 7. 在四面体中，，，、分别是、的中点，且，则与所成角的大小是________. 8. 已知一个利用斜二测画法画出直观图如图所示，其中，，，则原的面积为_____________. 9. 如图，正三角形ABC的边长为2，P是三角形ABC所在平面外一点，平面ABC，且，则P到BC的距离为___________. 10. 三角形ABC的一条边AB在平面内，，，，若AC与平面所成角为，则直线BC与平面所成角的大小为______． 11. 如图，矩形ABCD的长AB=2，宽AD=x，若PA⊥平面ABCD，矩形的边CD上至少有一个点Q,使得PQ⊥BQ，则x的范围是____________． 12. 在平面几何里，有勾股定理“设的两边互相垂直，则”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，在如图的几何体中，若两两互相垂直，则有______________________________. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分. 13. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 四边形一定是平面图形 B. 空间一个点与一条直线可以确定一个平面 C. 一个平面的面积可以为10 D. 相交于同一点的四条直线最多可以确定6个平面 14. 已知是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 15. 已知三边的长分别为3、4、5，平面ABC外一点到三边的距离都等于2，则P点到平面ABC的距离等于（ ） A. 1 B. C. D. 4 16. 如图，为正方体， ① ②平面 ③与底面所成角的正切值是 ④过点与异面直线与成角的直线有2条. 其中正确结论的个数是（ ）. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题（本大题满分78分） 17. 如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 18. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2. （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积； （2）设，、是底面半径，且，为线段的中点，如图，求异面直线与所成的角的大小. 19. 如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm）.（加工中不计损失）. （1）若钉身长度是钉帽高度的3倍，求铆钉的表面积； （2）若每块钢板的厚度为mm，求钉身的长度（结果精确到mm）. 20. 如图，是圆柱的底面直径且是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点，点在线段上，点在线段上． （1）求圆柱的表面积； （2）求证：； （3）若是的中点，求的最小值． 21. 如图，是底面边长为1的正三棱锥，分别为棱上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和) （1）求证：为正四面体； （2）若，求二面角的大小； （3）设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台有相同的棱长和? 若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市桃浦中学2024学年第一学期高二年级 数学学科期中试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分. 1. 用数学符号语言表示“点A在直线外，直线在平面上”____________ 【答案】 【解析】 【分析】直接利用符号表示即可. 【详解】用数学符号语言表示“点A在直线外，直线在平面上”可以表示为：. 故答案为：. 2. 若是异面直线，直线，则c与b的位置关系是______. 【答案】相交或异面 【解析】 【分析】利用异面直线的定义与平面相关定理即可得解. 【详解】因为是两条异面直线，直线， 所以过b任一点可作与a平行的直线c，此时c与b相交； 另外，c与b不可能平行，理由如下： 若，则由可得到，这与a，b是两条异面直线矛盾，故c与b异面； 综上，c与b的位置关系是相交或异面. 故答案为：相交或异面． 3. “直线与平面无公共点”是“直线不在平面内”的_____条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空） 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义结合线面关系判断． 【详解】直线与平面无公共点，则，因此有直线不在平面内，满足充分性， 但直线不在平面内包含与平行和相交，因此必要性不满足， “直线与平面无公共点”是“直线不在平面内”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要． 4. 如果OA//O1A1，OB//O1B1，∠AOB=，则∠A1O1B1=_______________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据等角定理，结合直线的方向，即可得到答案； 【详解】OA//O1A1，OB//O1B1， 当直线，中方向都相同或都相反时，， 当直线，中方向有一条不同，一条相反时，， 故答案为：或 5. 如果直线与平面所成的角为，那么直线与平面内的直线所成的角的取值范围是______； 【答案】 【解析】 【分析】由已知中一条直线与平面成角，根据“最小角定理”，可得这条直线与平面内的直线所成角中最小值为，再根据线线夹角的定义，求出条直线与平面内的直线所成角中最大值，即可求出这条直线与平面内的直线所成角的取值范围． 【详解】一条直线与平面成角， 则这条直线与平面内的直线所成角中，最小的角为， 当两直线垂直时，最大值为 故这条直线与平面内的直线所成角的取值范围是 故答案为： 【点睛】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中确定直线与平面所成的角，是这条直线与平面内的直线所成角的最小值，是解答本题的关键． 6. 由一条直线和直线外的3个点可确定平面的个数最多为___________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据平面的性质可求题设条件所确定的平面的最多个数. 【详解】若直线外的3个点不共线， 因为直线外三个点和已知直线可确定最多三个不同平面， 而直线外的这三个点可确定一个平面， 故此时由一条直线和直线外的3个点可确定平面的个数最多为4， 若直线外的3个点共线，则此时由一条直线和直线外的3个点可确定平面的个数最多为3， 故答案为：4. 7. 在四面体中，，，、分别是、的中点，且，则与所成角的大小是________. 【答案】 【解析】 【分析】取中点为，连接，，根据题中条件，由异面直线所成角的概念，得到即为异面直线与所成的角，或所成角的补角，结合题中数据求解，即可得出结果. 【详解】取中点为，连接，， 因为、分别是、的中点， 所以，， 则即为异面直线与所成的角，或所成角的补角， 又，，， 则，， 因此，则，所以. 故答案为：. 8. 已知一个利用斜二测画法画出直观图如图所示，其中，，，则原的面积为_____________. 【答案】21 【解析】 【分析】由直观图还原出原图形，并得出相应线段的长度，然后计算三角形面积． 【详解】由直观图还原原图形，如图，，， 则， 故答案为：21. 9. 如图，正三角形ABC的边长为2，P是三角形ABC所在平面外一点，平面ABC，且，则P到BC的距离为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】取中点，连接，，由平面ABC，即可证明平面，则有，即可求解结果． 【详解】取中点，连接， 因为为正三角形，所以 又因为平面ABC，平面ABC，则，又， 则 平面，则， 又正三角形ABC的边长为2，则 则 所以P到BC的距离为2 故答案为：2 10. 三角形ABC的一条边AB在平面内，，，，若AC与平面所成角为，则直线BC与平面所成角的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为，连，则是直线BC与平面所成的角，是AC与平面所成的角，利用直角三角形可求出结果. 【详解】过点作，垂足为，连， 则是直线BC与平面所成的角，是AC与平面所成的角， 则，因为，所以， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 所以， 所以线BC与平面所成角的大小为. 故答案为：. 11. 如图，矩形ABCD的长AB=2，宽AD=x，若PA⊥平面ABCD，矩形的边CD上至少有一个点Q,使得PQ⊥BQ，则x的范围是____________． 【答案】0<x≤1 【解析】 【详解】试题分析：由PA⊥平面ABCD，PQ⊥BQ，可得BQ⊥AQ，从而问题可转化为以AB为直径的圆与与线段CD有公共点．解：如图所示：连接AQ，因为PA⊥平面ABCD，BQ⊥PQ，BQ⊂平面ABCD，所以BQ⊥AQ，矩形的边CD上至少有一个点Q，可转化为以AB为直径的圆与与线段CD有公共点，所以圆心到CD的距离小于等于半径，即0＜x≤1．故答案0<x≤1 考点：空间直线与直线的垂直关系 点评：本题考查空间直线与直线的垂直关系，考查推理论证能力． 12. 在平面几何里，有勾股定理“设的两边互相垂直，则”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，在如图的几何体中，若两两互相垂直，则有______________________________. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据垂直关系，可求得，，，进而分别求出的面积，即可得出. 【详解】如下图，过点作的垂线，垂足为，连结， 因为，且，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 因为，且，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 设，则，， 所以， 所以，，， ， 所以. 故答案为：. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分. 13. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 四边形一定是平面图形 B. 空间一个点与一条直线可以确定一个平面 C. 一个平面的面积可以为10 D. 相交于同一点的四条直线最多可以确定6个平面 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面图形的定义以及公理2的推论可判断ABC三个选项，由两条相交直线确定一个平面，分析四条直线相交的情况，可求出最多可以确定平面的个数. 【详解】解：四边形可以为平面图形，也可以为空间四边形，故A不正确； 空间一条直线与直线外一点可以确定一个平面，故B不正确； 平面是无限延展的，所以平面的面积不可以为10，故C不正确； 相交于同一点的四条直线，当任三条直线不共面时，可以确定6个平面，故D正确. 故选：D 14. 已知是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间想象，结合有关概念、性质，可以得到ABC的反例；利用面面平行的性质定理，结合直线垂直的定义，线面垂直的定义可以证明D正确. 【详解】若，，则，或者，故AC错误； 若，，则，或者与异面，故B错误； 若，，过作平面，使,则,因为，，所以，因为，所以，故D正确， 故选：D. 15. 已知三边的长分别为3、4、5，平面ABC外一点到三边的距离都等于2，则P点到平面ABC的距离等于（ ） A. 1 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先得到点在平面内的射影是的内切圆的圆心，再根据面积关系求出内切圆半径，然后利用勾股定理可求出结果. 【详解】因为点到三边的距离都相等，所以点在平面内得射影是的内切圆的圆心， 因为三边的长分别为3、4、5，所以的内切圆的半径为， 又点到三边的距离都等于2，所以P点到平面ABC的距离等于. 故选：C 16. 如图，为正方体， ① ②平面 ③与底面所成角的正切值是 ④过点与异面直线与成角的直线有2条. 其中正确结论的个数是（ ）. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】通过线面垂直的判定定理或性质定理判断①②，找出直线在平面上射影，求出线面角的正切值判断③，求出异面直线与所成的角，进一步确定与它们成等角的直线的条件判断④． 【详解】在正方体中，由正方形，则， 又平面，平面，则， 又是平面内两条相交直线，所以平面， 平面，所以，故①正确； 因为，又平面，平面，则， 又是平面内两条相交直线，所以平面，又平面， 所以，同理可得，又是平面内两条相交直线， 所以平面，故②正确； 因为平面，易知是直线在平面内的射影， 则是直线与平面所成角，则，故③错误； 由可得直线与所成的角是， 抽象出图形如下，，，，是的平分线，是其补角的平分线， 与和夹角为，与和夹角为， 直线绕（在平面的垂直平面内，保持与成等角）旋转时， 与，的夹角（锐角）最大到，中间有成角的直线，共两条， 而直线同样旋转时，最小角是，不可能有角． 所以过点与异面直线与成角的直线有2条，故④正确． 综上，正确的有①②④. 故选：D. 三、解答题（本大题满分78分） 17. 如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】17. 证明如下： ∵在直三棱柱中，底面， ∴， ∵，， ∴平面. 18. 证明如下： 取的中点， ∵为的中点， ∴，且， ∵为的中点，，且， ∴，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）利用线面平行的判定定理证明即可． 【17题详解】 略 【18题详解】 略 18. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2. （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积； （2）设，、是底面半径，且，为线段的中点，如图，求异面直线与所成的角的大小. 【答案】（1）； （2）（或）. 【解析】 【分析】（1）由圆锥的底面半径为2，母线长为4能求出高，再利用圆锥的体积公式计算即可； （2）法一：取中点，连接，作出异面直线与所成角，通过线面垂直的判定和性质证得，从而可得的值； 法二：如图建立空间直角坐标系，利用向量法求出异面直线所成的角． 【小问1详解】 由题意，，，∴， 圆锥底面积，∴圆锥的体积. 【小问2详解】 法一：取中点，连接，则，异面直线与所成角即， 由题意，，，，ON，则， 即，则， 又平面， 平面， 平面，. 所以在中，，即， 所以异面直线与所成角大小为. 法二：以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，所以， 则，， 设异面直线与所成角为， 则，， 所以异面直线与所成角大小为. 19. 如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm）.（加工中不计损失）. （1）若钉身长度是钉帽高度的3倍，求铆钉的表面积； （2）若每块钢板的厚度为mm，求钉身的长度（结果精确到mm）. 【答案】（1）； （2）55mm. 【解析】 【分析】（1）由图可知，铆钉的表面积等于半球的表面积加上圆柱的侧面积加上以为半径的圆的面积.根据已知条件，分别求出各部分的面积即可得出答案； （2）设钉身的长度为，表示出钉身的体积.根据已知求出钉身加工后的体积，列出方程，求解即可得出答案. 【小问1详解】 解：由已知可得，铆钉为以为半径的半球与圆柱的组合体. 由钉身长度是钉帽高度的3倍，可知圆柱的高为，圆柱底面半径为. 由图可知，铆钉的表面积等于半球的表面积加上圆柱的侧面积加上以为半径的圆的面积. 半球的表面积为，圆柱的侧面积为，圆的面积. 所以，铆钉的表面积. 【小问2详解】 解：设钉身的长度为，，则钉身的体积. 由已知加工前后体积不变，加工后体积为钉身与钉帽体积之和，其中钉身长度为20，底面圆半径为，钉帽是以半径的半球. 所以. 所以，解得，满足条件. 所以钉身的长度为. 20. 如图，是圆柱的底面直径且是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点，点在线段上，点在线段上． （1）求圆柱的表面积； （2）求证：； （3）若是的中点，求的最小值． 【答案】（1） （2）证明：是底面圆的直径，所以, 是圆柱的母线,所以平面, 平面,所以, 且,所以平面, 平面, 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆柱的表面积公式即可； （2）利用线面垂直的判定定理和性质即可； （3）将平面旋转，使得转化为同一平面内的两条线，然后三点共线时取最小值即可. 【小问1详解】 圆柱的底面直径故半径且高 故圆柱的表面积： 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 将平面绕旋转到和平面共面，此时点在的延长线上，为点， ， 即当三点共线时，取最小值， ， . 故的最小值为. 21. 如图，是底面边长为1的正三棱锥，分别为棱上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和) （1）求证：为正四面体； （2）若，求二面角的大小； （3）设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台有相同的棱长和? 若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 由棱台与棱锥的棱长和相等， ∴， 故. 又∵截面底面ABC，则棱锥为正三棱锥，即，， ∴，即， 从而，则， 故为正四面体. （2）； （3） 存在满足条件的直四棱柱. 棱台的棱长和为定值6，体积为V. 设直四棱柱的棱长均为，底面相邻两边的夹角为，则该四棱柱的棱长和为6，体积为. 设的中心为，连接，则平面，即为三棱锥的高， ， ∴正四面体的体积是， 则，即， 从而， 故构造棱长均为，底面相邻两边的夹角为的直四棱柱，即满足条件. 【解析】 【分析】（1）由棱台、棱锥的棱长和相等可得，再由面面平行有，结合正四面体的结构特征即可证结论；（2）取BC的中点M，连接PM、DM、AM，由线面垂直的判定可证平面PAM，即是二面角的平面角，进而求其大小；（3）设直四棱柱的棱长均为，底面相邻两边的夹角为，结合已知条件用表示出即可确定直四棱柱. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取BC的中点M，连接PM、DM、AM， ∵，则，， ，平面PAM， ∴平面PAM， 而平面PAM，故， 从而是二面角的平面角. 由（1）知，三棱锥的各棱长均为1，所以， 由D是PA的中点，得， 在Rt△ADM中，， 故二面角的大小为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $