精品解析：江西省南昌市南昌县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期中测试卷九年级（初三） 数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的代号填涂在答题卷上） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将方程转化为一般形式，进行判断即可． 【详解】解：将原方程转化为一般形式为：，二次项系数为1，符合题意， 一次项系数为：， 故选：C． 3. 若抛物线经过点，则下列各点，必在抛物线L上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据抛物线图象的性质进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴抛物线的对称轴为y轴，必在抛物线L上的是， 故选：B． 4. 已知点P与Q关于原点对称，若点P在第四象限，则点Q落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，关于原点对称的点，横纵坐标都为相反数，判断其象限即可．解题的关键是弄清关于原点中心对称的定义． 【详解】解：∵点P与Q关于原点对称， ∴点P与Q横纵坐标都为相反数， ∵点P在第四象限， ∴点Q落在第二象限， 故选：B． 5. 若关于x的二次三项式是完全平方式，则m与n的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，注意积的2倍的符号，避免漏掉． 【详解】解：∵关于x的二次三项式是完全平方式， ∴ 故选：D． 6. 如图，在中，，，点D是边上一点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到，连接，若，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长过点C作于点G，先证明点A、C、E在同一直线上，根据，得出，根据垂线段最短，得出点F在点G处时，最小，根据直角三角形的性质求出结果即可． 【详解】解：延长过点C作于点G，如图所示： ∵，， ∴， 根据旋转可知：，，， ∴， ∴点A、C、E在同一直线上， ∵， ∴， ∴点F在直线上， ∵垂线段最短， ∴点F在点G处时，最小， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的性质和垂线段最短，旋转的性质，解题的关键是恰当作辅助线，确定点E的运动轨迹． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】：把代入方程 ，求出关于m的方程的解即可． 【详解】把代入方程 ， 得， 解得． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 8. 抛物线的顶点坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数顶点式的顶点坐标为即可得出答案． 【详解】解：的顶点坐标为． 故答案为：． 9. 将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为：． 故答案为：． 10. 若一个正n边形（n为大于8的整数），绕着某一点旋转能与自身重合，则n可能的值为________（写出一个即可）． 【答案】10（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．根据旋转对称图形的定义结合旋转的角度即可得出答案． 【详解】， 这个正方形的边数是5的倍数， 可能的值为， 故答案为：（答案不唯一）． 11. 著名数学家张景中教授主编的《数学美拾趣》一书中，记载了这样一首民间数学诗：“三百六十一只缸，任君分作几船装．不许一船多一只，不容一船少一缸”，译文为：“361只缸，任君分作几船装，船儿总数是多少，每船便装多少缸，问每船装几只缸？”答：每船所装的缸数为_______． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设船儿总数是，则每船装只缸，根据“361只缸，任君分作几船装，船儿总数是多少，每船便装多少缸”即可列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设船儿总数是，则每船装只缸， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去），， 故答案为：19． 12. 如图，在矩形中，，，将对角线绕着点A旋转α（）得到，连接，，若为直角三角形，则线段的长度可能为_______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形三边的关系，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 分情况讨论，分别按，，为直角进行分类，求解即可； 【详解】解：根据题意，作图如下； 当，在中，， 旋转到， ， ， ，且，，共线； 在中，； 当，情况如图所示； ，且四边形为矩形， 且， ， ，，三点共线， ， 另一种情况如图位置， ， 当时， 在中，，那么斜边为， 在直角三角形中，直角边均小于斜边，而直角边斜边，不符合题意，舍去； 综上所述，的长度可能为或或； 故答案为：或或 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）将一般形式化成顶点式：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，二次函数的顶点式． （1）用因式分解法解方程，即可得到答案； （2）由二次函数的性质进行整理，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴或， ∴，； （2）解：， ∴． 14. 要组织一次篮球联赛，赛制为双循环形式（每两个队之间赛两场），计划安排30场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 【答案】应邀请6个球队参加比赛 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数（队的个数，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：设应邀请x个球队参加比赛，依题意得 解得或或（舍去） 答：应邀请6个球队参加比赛． 15. 抛物线与x轴的公共点是，． （1）求这条抛物线的对称轴； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线的对称性，待定系数法求函数解析式，关键在于理解二次函数的性质． （1）根据二次函数的抛物线的对称性，可得二次函数与x轴的交点是关于抛物线的对称轴对称的，利用两个交点的坐标，求出中点，即可求出对称轴； （2）由题意可设抛物线为，进而求得，，即可求解． 【小问1详解】 解：由抛物线的对称性可知，，关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴是直线． 【小问2详解】 抛物线与x轴的公共点是，， 可设抛物线为． ． ，． 的值为． 16. 如图，和都是等边三角形，和相交于点F． （1）可以看作是经过____________变换而得到的（填“平移”、“轴对称”或“旋转”），并用数学语言描述得到的过程：__________________； （2）试求的度数． 【答案】（1）旋转，以点为旋转中心将逆时针旋转得到 （2） 【解析】 【分析】此题考查了图形的旋转，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质， （1）可绕点逆时针旋转得到； （2）由可得，即可得到，再利用外角得到，代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 以点为旋转中心将逆时针旋转就得到， 故答案为：旋转，以点为旋转中心将逆时针旋转得到； 【小问2详解】 解：∵ ， ∵， ∴， 是的外角， ， ， ． 17. 如图，抛物线与关于某点K成中心对称，M，N分别是抛物线，的顶点，若，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图1中画出点K； （2）点A是抛物线上一点，在图2中画出． 【答案】（1） 如图，点K为所求． （2）如图，为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称，二次函数图象与性质以及平行四边形的性质，掌握相关性质是解答本题的关键． （1）根据题意得为线段的中点，点的纵坐标为0，知点在轴上，所以，连接与轴的交点即为点， （2）根据中心对称的性质和平行四边形的判定可作出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 据统计，某红色博物馆开馆的第一个月进馆75000人次，由于红色文化深入人心，进馆人次逐月增加，第三个月进馆108000人次．若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，该红色博物馆月接纳能力不能超过120000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该红色博物馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由． 【答案】（1）进馆人次的月平均增长率为 （2） 解：不能，理由如下： 依题意，第四个月的进馆人次， 答：红色博物馆不能接纳第四个月的进馆人次． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设进馆人次的月平均增长率为x，列式，进行计算，即可作答． （2）根据月平均增长率为，算出第四个月的进馆人次为，再与进行比较，即可作答． 【小问1详解】 解：设进馆人次的月平均增长率为x， 根据题意得， 解得：，（不合题意，舍去） 答：进馆人次的月平均增长率为； 【小问2详解】 略 19. 已知抛物线． （1）求证：不论取何值，该抛物线与轴总有两个公共点； （2）若该抛物线与轴交于点，求当时，的取值范围． 【答案】（1） 证明：当时，得：， ∵ ， ∴方程总有两个不相等的实数根， 即不论取何值，该抛物线与轴总有两个公共点； （2）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与轴，轴的交点，二次函数的性质， （1）令，则，再证明即可； （2）先确定抛物线的解析式，再把代入函数解析式，解方程，结合函数图像开口方向即可得解； 熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵该抛物线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，得：， 解得：，， ∴该函数的图像与轴的交点坐标为、， 又∵抛物线的二次项系数， ∴图像开口向上， ∴当时，的取值范围为或． 20. 如图，一块等腰直角三角板，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到的位置（A，C，三点共线）． （1）直接写出旋转角的度数； （2）连接，，它们相交于点M，求证：点A与关于点M成中心对称． 【答案】（1） （2） 证明：如图，分别过点A，作的垂线，垂足分别为P和Q． ， ， ，， ， ， ， 又∵， ， ． 又∵， ， ． ∴点A与关于点M成中心对称． 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，中心对称的判定，全等三角形的判定与性质． （1）旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等，根据题意旋转角； （2）分别过点A，作的垂线，垂足分别为P和Q，先证明，得到，再证明得到即可说明点A与关于点M成中心对称． 【小问1详解】 解：根据旋转的性质可知，，那么旋转角度的大小为； 【小问2详解】 略 五、解答题（本大题共1小题，共10分） 21. 在平面直角坐标系中，抛物线和与轴的交点分别为，和，，抛物线，的顶点分别用，表示，其中点，，的坐标分别为，，． （1）如图，当时， ①求抛物线和的解析式； ②求，两点间的距离． （2）当时，如图，直线，分别是抛物线和的对称轴． ①直线，之间的距离是否为定值？若是，直接写出该定值；若不是，说明理由； ②是直线上一点，若为等腰直角三角形，试写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）①和；②． （2），，或 【解析】 【分析】（1）①利用待定系数法求解即可；②把抛物线和化为顶点式，求出顶点坐标即可得解； （2）①根据抛物线与轴的交点分别求出两抛物线的对称轴即可得解；②把抛物线和化为顶点式，求出顶点坐标，，进而分当，且点在点的下方时，当，且点在点的上方时，当，且点在点的下方时，当，且点在点的上方时，四种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴抛物线为：，抛物线为； ②∵抛物线为：，抛物线为 ∴，， ，两点间的距离为． 【小问2详解】 解：①直线，之间的距离是定值，定值为．理由如下： ∵，，， ∴抛物线的对称轴直线为，抛物线的对称轴直线为， ∴直线，之间的距离为， ∴直线，之间的距离是定值，定值为． ②∵，，， ∴设抛物线，抛物线， ∴，， ∴，， 如图，当，且点在点的下方时， ∵是等腰直角三角形，直线，之间的距离是定值，定值为． ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴的坐标为， 如图，当，且点在点的上方时， 同理可得：， 解得， ∴， ∴， ∴的坐标为， 如图，当，且点在点的下方时，过点作于点， ∵是等腰直角三角形，直线，之间的距离是定值，定值为． ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴的坐标为， 如图，当，且点在点的上方时， 同理可得的坐标为， 综上可得，符合条件的点的坐标为，，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中测试卷九年级（初三） 数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的代号填涂在答题卷上） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 3. 若抛物线经过点，则下列各点，必在抛物线L上的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点P与Q关于原点对称，若点P在第四象限，则点Q落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 若关于x的二次三项式是完全平方式，则m与n的关系式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，点D是边上一点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到，连接，若，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为______． 8. 抛物线的顶点坐标是_________． 9. 将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为_________． 10. 若一个正n边形（n为大于8的整数），绕着某一点旋转能与自身重合，则n可能的值为________（写出一个即可）． 11. 著名数学家张景中教授主编的《数学美拾趣》一书中，记载了这样一首民间数学诗：“三百六十一只缸，任君分作几船装．不许一船多一只，不容一船少一缸”，译文为：“361只缸，任君分作几船装，船儿总数是多少，每船便装多少缸，问每船装几只缸？”答：每船所装的缸数为_______． 12. 如图，在矩形中，，，将对角线绕着点A旋转α（）得到，连接，，若为直角三角形，则线段的长度可能为_______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）将一般形式化成顶点式：． 14. 要组织一次篮球联赛，赛制为双循环形式（每两个队之间赛两场），计划安排30场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 15. 抛物线与x轴的公共点是，． （1）求这条抛物线的对称轴； （2）求的值． 16. 如图，和都是等边三角形，和相交于点F． （1）可以看作是经过____________变换而得到的（填“平移”、“轴对称”或“旋转”），并用数学语言描述得到的过程：__________________； （2）试求的度数． 17. 如图，抛物线与关于某点K成中心对称，M，N分别是抛物线，的顶点，若，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图1中画出点K； （2）点A是抛物线上一点，在图2中画出． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 据统计，某红色博物馆开馆的第一个月进馆75000人次，由于红色文化深入人心，进馆人次逐月增加，第三个月进馆108000人次．若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，该红色博物馆月接纳能力不能超过120000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该红色博物馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由． 19. 已知抛物线． （1）求证：不论取何值，该抛物线与轴总有两个公共点； （2）若该抛物线与轴交于点，求当时，的取值范围． 20. 如图，一块等腰直角三角板，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到的位置（A，C，三点共线）． （1）直接写出旋转角的度数； （2）连接，，它们相交于点M，求证：点A与关于点M成中心对称． 五、解答题（本大题共1小题，共10分） 21. 在平面直角坐标系中，抛物线和与轴的交点分别为，和，，抛物线，的顶点分别用，表示，其中点，，的坐标分别为，，． （1）如图，当时， ①求抛物线和的解析式； ②求，两点间的距离． （2）当时，如图，直线，分别是抛物线和的对称轴． ①直线，之间的距离是否为定值？若是，直接写出该定值；若不是，说明理由； ②是直线上一点，若为等腰直角三角形，试写出所有符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $