专题01 整式的乘法重难点题型专训（18大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题01 整式的乘法重难点题型专训（18大题型+15道拓展培优） 题型一 同底数幂相乘及其逆用 题型二 科学记数法 题型三 幂的乘方及其逆用 题型四 积的乘方及其逆用 题型五 幂的混合运算 题型六 同底数幂的除法及其逆用 题型七 计算单项式乘单项式 题型八 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型九 计算单项式乘多项式及求值 题型十 单项式乘多项式应用 题型十一 (x+p)(x+q)型多项式乘法 题型十二 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型十三 多项式的化简求值 题型十四 多项式乘多项式与图形面积 题型十五 多项式乘法中的规律性问题 题型十六 整式乘法混合运算 题型十七 多项式除法 题型十八 整式四则运算 知识点一 同底数幂的乘法 法则：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 特别说明： （1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 知识点二、幂的乘方、积的乘方法则 幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 特别说明：（1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 积的乘方法则 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 特别说明：（1）公式的推广：(为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 知识点三、同底数幂的除法法则 同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且） 特别说明：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0） 特别说明：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 知识点四、单项式的乘法法则 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 特别说明： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 知识点五、单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 特别说明： （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 知识点六、多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 【经典例题一 同底数幂相乘及其逆用】 【例1】（2024·河北沧州·模拟预测）若（，都为正整数，则m的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 1．（2024七年级上·上海·专题练习）若，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 2．（23-24七年级下·河北承德·期中）规定． （1）求 ； （2）若，求 ． 3．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么． 例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ①______；； ②若，，，直接写出a，b，c之间满足的数量关系：______； (2)若，求t的值． 【经典例题二 科学记数法】 【例2】（2023·河南周口·三模）2022年10月9日，我国发射“夸父一号”科学卫星对太阳进行探测．这次发射“夸父一号”将利用太阳活动峰年的契机对太阳进行观测．地球的体积约为立方千米，太阳的体积约为地球体积的倍，则太阳的体积是（　　）立方千米． A． B． C．1.4 × 10⁸ D．1.4× 10⁷ 1．（2022·湖北随州·中考真题）2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）世界上最大的金字塔是埃及的胡夫金字塔，这座金字塔共用了约块大理石，每块大理石重约．胡夫金字塔所用大理石的总质量约为 （用科学记数法表示）． 3．（23-24八年级上·吉林长春·期末）世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达米，底边长米，用了约块大石块，每块重约千克，请问：胡夫金字塔总重约为多少千克？ 【经典例题三 幂的乘方及其逆用】 【例3】（2024七年级上·全国·专题练习）下列4个算式中，正确的算式有（   ） ①；②；③；④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 1．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知，，，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期中）若，，其中m，n为正整数，则 ．（用含有a，b的式子表示） 3．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 【经典例题四 积的乘方及其逆用】 【例4】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2000 D． 1．（2024七年级上·贵州·专题练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知为正整数，且，求的值为 ． 3．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若（m，n是正整数，且），则． 利用上面的结论，解答下面的问题． (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． (3)已知，，用含p，q的式子表示． 【经典例题五 幂的混合运算】 【例5】（23-24七年级下·浙江衢州·期末）计算：，正确结果是（    ） A． B．1 C．2 D．4 1．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东滨州·期末）已知，，则的值为 ． 3．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【经典例题六 同底数幂的除法及其逆用】 【例6】（23-24八年级上·四川眉山·期末）已知，，则的值为（    ） A．12 B．9 C．33 D．4 1．（23-24七年级下·四川成都·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）已知，，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·山西·阶段练习）阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 运用逆向思维解题 在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：若，，求的值．这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． 下面是小明用逆向思考的方法完成一道习题的过程： 计算：． 解：． 任务： (1)若，则的值为_______． (2)若，，请你也利用逆向思考的方法求出的值． (3)计算：． 【经典例题七 计算单项式乘单项式】 【例7】（23-24七年级下·全国·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如果单项式与是同类项．那么这两个单项式的积是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西·阶段练习）计算：的结果是 ． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题八 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【例8】（23-24八年级上·全国·课后作业）若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 1．（23-24八年级上·河北邯郸·期中）若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24七年级上·黑龙江大庆·期中）若5am+1b2与3an+2bn的积是15a8b4，则nm＝ ． 3．（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【经典例题九 计算单项式乘多项式及求值】 【例9】（24-25八年级上·全国·期中）如图是L形钢材的截面，个同学分别列出它的截面面积的算式，你认为正确的有（　　）个 ； ； ； ； A． B． C． D． 1．（2024·山东临沂·模拟预测）已知，那么的值为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）若，代数式的值是 ． 3．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解：原式 请你用上述方法解决问题：已知， (1)求的值． (2)求的值． 【经典例题十 单项式乘多项式应用】 【例10】（2024·浙江·三模）某校组织了一次篮球联赛，原计划共有n支球队参加比赛，采用单循环比赛的赛制（任意两支球队之间都要比赛一场）．若赛前有2支球队因故放弃比赛，剩余球队仍进行单循环比赛，则比赛总场数比原计划减少（    ） A．场 B．场 C．场 D．场 1．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）在长方形内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，当时，若知道下列条件，能求值的是（    ）    A．边长为a的正方形的面积 B．边长为b的正方形的面积 C．边长为a的正方形的面积与两个边长为b的正方形的面积之和 D．边长a与b之差 2．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，正方形的边长为，点E在边上，四边形也是正方形，它的边长为（），连接、、，则的面积为 （用或表示）． 3．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 【经典例题十一 (x+p)(x+q)型多项式乘法】 【例11】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若m、n为整数，且，则a的值不可能是（    ） A．10 B．11 C．12 D．14 1．（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）若，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海·阶段练习），则 ． 3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）观察下列各式： 回答下列问题： (1)总结公式：_____； (2)已知a，b，m均为整数，若，求m的值． 【经典例题十二 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例12】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（ ） A．0 B． C．2 D．3 1．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）使的积中不含和的p，q的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25七年级上·上海·期中）若要使 的展开式中不含的项，则常数a的值为 ． 3．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）综合与实践 问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“多项式的乘法”的结果的一般性规律问题： 观察发现：（1）①； ②； ③_________； ④_________． 规律总结：（2）_________． 应用规律：（3）①若，求的算术平方根； ②若的结果不含的项，求的立方根． 【经典例题十三 多项式的化简求值】 【例13】（23-24八年级上·福建泉州·期中）若且，则代数式的值等于（   ） A．5 B． C．3 D． 1．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如果，化简的结果是（      ） A．4 B． C． D．8 2．（2024·广东深圳·三模）已知，则的值为 ． 3．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）先化简，再求值：，其中 【经典例题十四 多项式乘多项式与图形面积】 【例14】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式： ①；②；③；④，你认为其中正确的有（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 1．（23-24七年级下·江苏·期中）如图，在数学兴趣活动中，小吴将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为，，则的值是（   ） A． B． C．27 D．3 2．（24-25八年级上·山西·阶段练习）如图，有边长分别为a，的类、类正方形纸片和长为，宽为的类长方形纸片若干张．若要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片；若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要类纸片 张． 3．（23-24七年级上·贵州毕节·期中）有足够多的长方形和正方形卡片，如下图： (1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义． (2)小明想用类似方法解释多项式乘法，那么需用2号卡片 张，3号卡片 张； (3)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要1号卡片 张． 【经典例题十五 多项式乘法中的规律性问题】 【例15】（24-25八年级上·云南昆明·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下．后人也将右表称为“杨辉三角”则展开式中所有项的系数和是（   ） A．128 B．256 C．512 D．1024 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． … …… 按照上述规律，则展开式中所有项的系数和是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）观察：下列等式，，，据此规律，当时，代数式的值为 ． 3．（23-24七年级下·江西抚州·阶段练习）发现与探索：你能求的值吗？ 遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值： ①；②； ③；… （1）由此我们可以得到：______． 请你利用上面的结论，完成下面两题的计算： （2）； （3）． 【经典例题十六 整式乘法混合运算】 【例16】（23-24七年级下·全国·单元测试）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·四川乐山·阶段练习）对于任意自然数n，代数式一定能被一个整数整除，那么这个整数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．12 2．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）当时，代数式的值为 ． 3．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算： 【经典例题十七 多项式除法】 【例17】（24-25七年级上·上海普陀·期中）已知，其中n是正整数，那么的值是（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 1．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知多项式A除以得商式，余式，则多项式A为 ． 3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知，是多项式，王虎同学在计算时，将看成了，结果得到 (1)求多项式； (2)求． 【经典例题十八 整式四则运算】 【例18】（23-24八年级上·河南南阳·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如果，那么代数式的值是（    ） A．1 B． C． D．2 2．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）化简： 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) 1．（24-25六年级上·上海·期中）的计算结果是（   ）． A． B． C．1 D． 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，是小雅用电脑设计的一个运算程序框图．若输入x的值为10，输出的结果是数m，若输入x的值为5，输出的结果是数n，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项系数为5，则的值为（   ） A． B． C． D．3 4．（23-24八年级上·四川眉山·期中）若乘积中不含项和项，则、的值为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2000 D． 6．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知，，则的值是 ． 7．（上海市浦东新区2024—2025学年上学期七年级数学期中考试试卷）若多项式展开后不含x的一次项，则 ． 8．（24-25八年级上·北京东城·期中）我国古代数学曾有许多重要的成就，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，这个三角形给出了（1，2，3，4，5，6）的展开式（按的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中各项的系数． （1）展开式中的系数为 ； （2）展开式中各项系数的和为 ． 9．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知，则 ． 10．（24-25七年级上·上海·阶段练习）长方形内，未被小长方形覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度变化时，按照同样的方式放置，始终不变，则，应满足 ． 11．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： 12．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： 13．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知A、B为整式，且，． (1)如果A与B的乘积中不含和项，求m、n的值； (2)在数轴上将表示m的点记为M，表示n的点记为N，在（1）的条件下，数轴上的点P满足P到点M的距离是P到点N的距离的2倍，求点P表示的数． 14．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子．如图，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个一组邻边长分别为，的长方形，若用不同的方法计算这个长方形面积，你能发现什么结论？ (1)用等式表示出来为______； (2)已知，求的值； (3)已知，，为正整数，求的值． 15．（24-25八年级上·江苏南通·期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白），再类似于数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例如：计算，可用如图的竖式进行计算．因此商式是，余式是1． (1)计算，商式是________，余式是________； (2)计算，结果为________； (3)已知M是一个整式，m是常数，，，求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 整式的乘法重难点题型专训（18大题型+15道拓展培优） 题型一 同底数幂相乘及其逆用 题型二 科学记数法 题型三 幂的乘方及其逆用 题型四 积的乘方及其逆用 题型五 幂的混合运算 题型六 同底数幂的除法及其逆用 题型七 计算单项式乘单项式 题型八 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型九 计算单项式乘多项式及求值 题型十 单项式乘多项式应用 题型十一 (x+p)(x+q)型多项式乘法 题型十二 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型十三 多项式的化简求值 题型十四 多项式乘多项式与图形面积 题型十五 多项式乘法中的规律性问题 题型十六 整式乘法混合运算 题型十七 多项式除法 题型十八 整式四则运算 知识点一 同底数幂的乘法 法则：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 特别说明： （1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 知识点二、幂的乘方、积的乘方法则 幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 特别说明：（1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 积的乘方法则 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 特别说明：（1）公式的推广：(为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 知识点三、同底数幂的除法法则 同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且） 特别说明：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0） 特别说明：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 知识点四、单项式的乘法法则 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 特别说明： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 知识点五、单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 特别说明： （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 知识点六、多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 【经典例题一 同底数幂相乘及其逆用】 【例1】（2024·河北沧州·模拟预测）若（，都为正整数，则m的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是是理解题意，明确幂的形式．根据所给的式子的特点，结合幂的运算的相应的法则进行分析即可． 【详解】 解：（，都为正整数， 则k是可以转为以2为底数的幂的形式的数， ∴的最小值为：， ， ∴， ∴的最小值为：4 故选：B 1．（2024七年级上·上海·专题练习）若，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用单项式乘法求字母或代数式的值，熟练掌握单项式乘单项式法则是解题的关键．先利用单项式乘单项式法则，可得，从而得到关于m，n的方程组，即可求解． 【详解】解：， ， ， 两式相加，得， 解得． 故选：B． 2．（23-24七年级下·河北承德·期中）规定． （1）求 ； （2）若，求 ． 【答案】 125 1 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法及运用： （1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵ ∴, 故答案为：125； （2）∵， ∴ ∴ ∴ 解得，， 故答案为：1 3．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么． 例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ①______；； ②若，，，直接写出a，b，c之间满足的数量关系：______； (2)若，求t的值． 【答案】(1)①3；；② (2) 【分析】（1）①根据新定义运算，求解即可； ②根据新定义运算，对式子进行变形，再根据，即可求解； （2）根据新定义运算对式子进行变形，即可求解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴，； 故答案为：；； ②，理由如下： ∵，，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴． （2）解：设，，， 则，，， 由可得， ∴． 【点睛】此题考查了新定义运算，同底数幂的运算及逆运算，解题的关键是理解新定义运算，熟练掌握幂的有关运算． 【经典例题二 科学记数法】 【例2】（2023·河南周口·三模）2022年10月9日，我国发射“夸父一号”科学卫星对太阳进行探测．这次发射“夸父一号”将利用太阳活动峰年的契机对太阳进行观测．地球的体积约为立方千米，太阳的体积约为地球体积的倍，则太阳的体积是（　　）立方千米． A． B． C．1.4 × 10⁸ D．1.4× 10⁷ 【答案】A 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：依题意，． 故选：A． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 1．（2022·湖北随州·中考真题）2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出路程，再用科学记数法表示为的形式． 【详解】解：路程=． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）世界上最大的金字塔是埃及的胡夫金字塔，这座金字塔共用了约块大理石，每块大理石重约．胡夫金字塔所用大理石的总质量约为 （用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法及科学记数法．根据总重量大理石块数每块大理石的重量列出代数式，再计算求值即可． 【详解】解：． 故答案为： 3．（23-24八年级上·吉林长春·期末）世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达米，底边长米，用了约块大石块，每块重约千克，请问：胡夫金字塔总重约为多少千克？ 【答案】胡夫金字塔总重约为千克 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算，科学记数法的含义，根据同底数幂的乘法进行法则进行计算，将最后的结果写成科学记数法的形式即可得出答案． 【详解】解：由题意，得： （千克） 答：胡夫金字塔总重约为千克． 【经典例题三 幂的乘方及其逆用】 【例3】（2024七年级上·全国·专题练习）下列4个算式中，正确的算式有（   ） ①；②；③；④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查的是幂的乘方，解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．根据幂的乘方法则依次分析各小题即可得到结果． 【详解】①应为，错误； ②，正确； ③，正确； ④应为，错误． 故选：C． 1．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知，，，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．根据幂的乘方可得，，即可求解． 【详解】解∶∵，，，且， ∴． 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期中）若，，其中m，n为正整数，则 ．（用含有a，b的式子表示） 【答案】/ 【分析】此题考查整式的乘法公式—幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆用，根据幂的乘方逆运算将整式变形，代入，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为． 3．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 【答案】(1)C (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算： （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可； （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，，据此可得答案； （3）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，据此可得答案； （4）根据得到，进而得到，则． 【详解】（1）解：由题意得，上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则， 故答案为：C； （2）解：∵，，，且， ∴； （3）解：∵，，且， ∴． （4）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典例题四 积的乘方及其逆用】 【例4】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2000 D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂相乘，积的乘方，由已知证明可得，进而求得代数式的值． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴； ∴， ． 故选B． 1．（2024七年级上·贵州·专题练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，首先把化成，然后计算乘方，再从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解： 故选：C． 2．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知为正整数，且，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，积的乘方计算，先根据幂的乘方计算法则求出，，再由积的乘方计算法则和幂的乘方计算法则得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若（m，n是正整数，且），则． 利用上面的结论，解答下面的问题． (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． (3)已知，，用含p，q的式子表示． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则是解此题的关键． （1）利用幂的乘方以及同底数幂相乘的运算法则变形为，结合题意得出，计算即可得解； （2）利用幂的乘方法则变形为，结合题意得出，计算即可得解； （3）根据幂的乘方与积的乘方法则化为含有和的式子，即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴． 【经典例题五 幂的混合运算】 【例5】（23-24七年级下·浙江衢州·期末）计算：，正确结果是（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】逆用幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方运算法则，准确计算． 1．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂的混合运算法则逐项判断即可． 【详解】，故A错误，不符合题意； ，故B错误，不符合题意； ，故C错误，不符合题意； ，故D正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查幂的混合运算，掌握同底数幂相乘和幂的乘方是解答本题的关键． 2．（23-24八年级上·山东滨州·期末）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法可得，再根据幂的乘方可得，然后再代入，求值即可． 【详解】解： ， 故答案为． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，关键是掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． 3．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键 （1）先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法； （2）先算幂的乘方，再合并同类项； （3）先算积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项； （4）先算幂的乘方，再乘同底数幂的乘法，最后合并同类项． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【经典例题六 同底数幂的除法及其逆用】 【例6】（23-24八年级上·四川眉山·期末）已知，，则的值为（    ） A．12 B．9 C．33 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 逆用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则进行求解即可． 【详解】解：当，时， ． 故选：A． 1．（23-24七年级下·四川成都·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了幂的乘方、同底数幂的除法等的逆用，把原式变形为，再整体代入计算即可. 【详解】解：∵，， ∴. 故选：B 2．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的逆运算、幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘除法的逆运算、幂的乘方的逆运算进行解题即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山西·阶段练习）阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 运用逆向思维解题 在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：若，，求的值．这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． 下面是小明用逆向思考的方法完成一道习题的过程： 计算：． 解：． 任务： (1)若，则的值为_______． (2)若，，请你也利用逆向思考的方法求出的值． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）先根据幂的乘方计算法则求出，再由同底数幂除法的逆运算法则得到，据此可得答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则和积的乘方的逆运算法则把原式变形为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘除法的逆运算，积的乘方的逆运算，幂的乘方和求平方根的方法解方程，熟知相关计算法则是解题的关键． 【经典例题七 计算单项式乘单项式】 【例7】（23-24七年级下·全国·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，解二元一次方程组，先根据单项式乘以单项式的计算法则得到，则可得方程组，解方程组求出m、n的值，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 1．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如果单项式与是同类项．那么这两个单项式的积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，根据同类项的定义求出、的值，确定单项式后，再由单项式乘单项式的计算方法进行计算即可． 【详解】∵单项式与是同类项， ∴，， ∴单项式与的积是， 故选：A． 2．（24-25八年级上·山西·阶段练习）计算：的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)8 (4) 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，积的乘方的逆用以及单项式乘单项式，掌握相关运算法则进行运算，即可解题． （1）先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘法即可求解； （2）根据积的乘方运算法则即可求解； （3）把转化为，再逆用同底数幂的乘法即可求解； （4）利用单项式乘单项式的法则即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 【经典例题八 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【例8】（23-24八年级上·全国·课后作业）若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】D 【分析】先根据单项式乘以单项式，确定m，n的值，即可解答． 【详解】[解析]∵，∴， ，∴，，∴， 故选D． 【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，解题的关键是确定m，n的值． 1．（23-24八年级上·河北邯郸·期中）若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据积的乘方计算后，再用单项式乘单项式法则计算，最后根据相同字母的指数分别相同列方程求解即可． 【详解】∵=，∴，解得：m=2，n=1． 故选C． 【点睛】本题考查了单项式乘法．掌握单项式乘法法则是解答本题的关键． 2．（23-24七年级上·黑龙江大庆·期中）若5am+1b2与3an+2bn的积是15a8b4，则nm＝ ． 【答案】8 【分析】根据单项式乘单项式的乘法法则计算，然后根据相同字母的指数相等列方程组即可求出m、n． 【详解】解：， ∴， 解方程组得：， ， 故答案为8． 【点睛】本题考查了单项式乘单项式，熟记法则是解题的关键． 3．（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义： （1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出，再由同类项的定义得到，解之即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：， ∵与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴， ∴； （2）解： ， 当时，原式． 【经典例题九 计算单项式乘多项式及求值】 【例9】（24-25八年级上·全国·期中）如图是L形钢材的截面，个同学分别列出它的截面面积的算式，你认为正确的有（　　）个 ； ； ； ； A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了整式的运算，根据添加不同辅助线即可求解，熟练掌握整式运算法则，正确添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：①如图， 的面积=左边竖着的矩形的面积下面横着的矩形的面积，故错误； 如图， 的面积上边竖着的矩形的面积下面横着的矩形的面积 ，故正确； 如图， 的面积两个长方形的面积小正方形面积， 故正确； 如图， 的面积竖着的大矩形的面积横着的大矩形的面积重叠部分的正方形的面积，故正确； 如图， 的面积大矩形的面积由辅助线构成的小矩形的面积，故正确， 综上可得：正确，共个， 故选：． 1．（2024·山东临沂·模拟预测）已知，那么的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握将未知数进行降幂是解题的关键．先将降次，然后代入代数式即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选D． 2．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）若，代数式的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了代数式的值，整体代入是解题的关键．首先根据，可得，把代入，然后把代入化简后的算式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． ∵， ∴， ∴原式 ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解：原式 请你用上述方法解决问题：已知， (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（） 把转化为，再利用整体代入法计算即可； （）利用单项式乘以多项式的乘法法则展开，再利用整体代入法计算即可； 本题考查了积的乘方的逆应用，单项式乘多项式，掌握积的乘方的逆应用是解题关键． 【详解】（1）解：； （2）解： ， ， ， ， ． 【经典例题十 单项式乘多项式应用】 【例10】（2024·浙江·三模）某校组织了一次篮球联赛，原计划共有n支球队参加比赛，采用单循环比赛的赛制（任意两支球队之间都要比赛一场）．若赛前有2支球队因故放弃比赛，剩余球队仍进行单循环比赛，则比赛总场数比原计划减少（    ） A．场 B．场 C．场 D．场 【答案】C 【分析】本题考查了整式的乘法与加减法的应用，正确列出代数式，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．先分别求出支球队进行的场次和支球队进行的场次，再计算整式的运算即可得． 【详解】解：由题意可知，支球队进行的场次为， 支球队进行的场次为， 则比赛总场数比原计划减少（场）， 故选：C． 1．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）在长方形内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，当时，若知道下列条件，能求值的是（    ）    A．边长为a的正方形的面积 B．边长为b的正方形的面积 C．边长为a的正方形的面积与两个边长为b的正方形的面积之和 D．边长a与b之差 【答案】B 【分析】通过“割补法”分别表示出、，进而可得到． 【详解】解：设，则 由图可得：    由图可得： 故若知道边长为b的正方形的面积，即可求出的值． 故选：B 【点睛】本题考查利用“割补法”求解不规则图形的面积，以及“设而不求”的数学思想．在图中，作出辅助线是解决问题的关键． 2．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，正方形的边长为，点E在边上，四边形也是正方形，它的边长为（），连接、、，则的面积为 （用或表示）． 【答案】 【分析】观察图形，可以得到：，用含有a，b的式子将各个部分表示出来，化简即可求解． 【详解】解：正方形ABCD的边长为，正方形EFGB的边长为， ，， ，，， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查用用整式表示面积，整式的运算，正确表示出各部分的面积是解题的关键． 3．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的相关计算法则是解题的关键． （1）仿照题意求解即可； （2）设，分别求出，进而求出，再由的值始终保持不变进行求解即可． 【详解】（1）解： 由题意得： ； （2）解：设，则 的值与x无关， ． 【经典例题十一 (x+p)(x+q)型多项式乘法】 【例11】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若m、n为整数，且，则a的值不可能是（    ） A．10 B．11 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键；根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后根据对应项的系数相等求出a的值． 【详解】解：， ， m、n为整数， ， 或或或， a的值不可能是， 故选：． 1．（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式法则是解答本题的关键． 先根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项，求出答案即可． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 2．（24-25七年级上·上海·阶段练习），则 ． 【答案】 【分析】此题考查了多项式的乘法和多项式的相等．根据多项式乘法法则得到，又由得到，则，求出，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 解得， ∴， 故答案为： 3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）观察下列各式： 回答下列问题： (1)总结公式：_____； (2)已知a，b，m均为整数，若，求m的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式． （1）观察题目中的四个式子发现规律：二次项系数都是1，一次项系数为左边括号中两个常数的和，常数项为左边括号中两个常数的积，据此求解即可； （2）利用（1）的猜想展开左边，再根据一次项系数和常数项列方程，最后根据a，b，m均为整数求解即可． 【详解】（1）解：根据上面的计算，可发现：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ∵a，b，m均为整数， ∴， ∴或或或， ∴或， ∴m的值为或． 【经典例题十二 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例12】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（ ） A．0 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了整式的有关计算．先根据多项式乘多项式法则计算多项式与的乘积，然后根据乘积展开式不含x的一次项，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解： ∵多项式与的乘积展开式中不含x的一次项， ∴， ∴． 故选：C． 1．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）使的积中不含和的p，q的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式中不含某项的条件；先按多项式乘以多项式法则运算得，再由多项式中不含某项的条件即可求解，理解多项式中不含某一项的条件就是使得这一项的系数为零是解题的关键． 【详解】解： 不含和， ， 解得：， 故选：C． 2．（24-25七年级上·上海·期中）若要使 的展开式中不含的项，则常数a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，合并同类项，以及整式不含某项，正确掌握相关运算法则是解题关键．利用相关运算法则计算得到，根据展开式中不含的项，即的系数为零，据此建立等式求解，即可解题． 【详解】解：， ， 展开式中不含的项， ， 解得， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）综合与实践 问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“多项式的乘法”的结果的一般性规律问题： 观察发现：（1）①； ②； ③_________； ④_________． 规律总结：（2）_________． 应用规律：（3）①若，求的算术平方根； ②若的结果不含的项，求的立方根． 【答案】（1）③；④；（2）；（3）①4；②1． 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，立方根，算术平方根，求代数式的值，利用多项式乘多项式法则发现规律得到猜想是解决本题的关键． （1）根据多项式乘多项式法则计算即可得解； （2）观察各①②③④小题结果的二次项系数、一次项系数及常数项，发现规律得猜想； （3）①利用猜想得，，，从而代入求解即可；②由（2）的规律知：，进而求得，即可得解． 【详解】解：观察发现：（1）③， 故答案为：； ④， 故答案为：． 规律总结：（2）①； ②； ③； ④； 根据上面的计算，可发现： 故答案为： ； 应用规律：（3）①， ∴，， ∴， ∴的算术平方根为； ②由（2）的规律知：， ∵的结果不含的项， ∴， ∴， ∴的立方根为1． 【经典例题十三 多项式的化简求值】 【例13】（23-24八年级上·福建泉州·期中）若且，则代数式的值等于（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的混合运算及求值，利用整体思想代入求值即可． 【详解】∵且， ∴，、 故选：A． 1．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如果，化简的结果是（      ） A．4 B． C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式化简求值，利用多项式乘以多项式的法则，进行计算后，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选C． 2．（2024·广东深圳·三模）已知，则的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了代数式求值，多项式乘多项式，先根据得出，用多项式乘多项式计算得出，然后整体代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：2025． 3．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）先化简，再求值：，其中 【答案】，30 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，直接利用整式的乘除运算法则化简，再合并同类项，再把已知数据代入得出答案． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【经典例题十四 多项式乘多项式与图形面积】 【例14】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式： ①；②；③；④，你认为其中正确的有（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式与几何图形．利用长方形的面积公式得到最大长方形面积为，也可以把最大长方形分割若干个小长方形，再求各小长方形的面积的和即可． 【详解】解：最大长方形的面积为，也可以表示为或或， 故选：D． 1．（23-24七年级下·江苏·期中）如图，在数学兴趣活动中，小吴将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为，，则的值是（   ） A． B． C．27 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的乘法运算及整式的加减运算；由两根铁丝长度相同，求出乙长方形的长，分别计算出，，则可计算． 【详解】解：由于两根铁丝长度相同，乙长方形的长为， 则，， ∴； 故选：D． 2．（24-25八年级上·山西·阶段练习）如图，有边长分别为a，的类、类正方形纸片和长为，宽为的类长方形纸片若干张．若要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片；若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要类纸片 张． 【答案】22 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形面积．利用长方形的面积公式列出算式，根据多项式乘多项式的运算法则展开，然后根据A、B、C类卡片的形状可得答案． 【详解】解：， 若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要类纸片的张数为22张， 故答案为：22． 3．（23-24七年级上·贵州毕节·期中）有足够多的长方形和正方形卡片，如下图： (1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义． (2)小明想用类似方法解释多项式乘法，那么需用2号卡片 张，3号卡片 张； (3)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要1号卡片 张． 【答案】(1)长方形见解析， (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘法与几何图形，根据图形面积相等建立等量关系是解题关键． （1）画出长方形可知长方形的长为，宽为，根据拼成的大长方形面积为即可求解； （2）根据1号正方形的面积为，2号正方形的面积为，3号长方形的面积为即可求解； （3）根据即可求解； 【详解】（1）解：如图所示： 由图可知拼成的长方形的长为，宽为 ∴大长方形的面积 ∵拼成的大长方形面积为 ∴大长方形的代数意义为 （2）解：1号正方形的面积为，2号正方形的面积为，3号长方形的面积为. 故根据（1）中的结论可知，需要2号卡片3张，3号卡片7张. 故答案为： （3）解：∵， ∴需要1号卡片张． 故答案为： 【经典例题十五 多项式乘法中的规律性问题】 【例15】（24-25八年级上·云南昆明·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下．后人也将右表称为“杨辉三角”则展开式中所有项的系数和是（   ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】C 【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律是解题的关键．根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出（n为非负整数）展开式的项系数和为，求出系数之和即可． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为 ， 由此可知展开式的各项系数之和为， 则展开式中所有项的系数和是， 故选：C． 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． … …… 按照上述规律，则展开式中所有项的系数和是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全多项式乘多项式规律探究问题，根据已有等式，推出(a+b)n的展开式的系数之和为2n，即可得出结果． 【详解】解： ，系数之和为； ，系数之和为； ，系数之和为； ， ∴的展开式的系数之和为， ∴展开式中所有项的系数和是． 故选C． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）观察：下列等式，，，据此规律，当时，代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式乘法的规律探索，熟练利用题中等式得出规律是解题的关键．利用规律得出，求出，再代入求解即可． 【详解】解：根据规律可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·江西抚州·阶段练习）发现与探索：你能求的值吗？ 遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值： ①；②； ③；… （1）由此我们可以得到：______． 请你利用上面的结论，完成下面两题的计算： （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）； 【分析】本题主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般要根据所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律，难度一般． （1）根据所给式子从而总结出规律是；， （2）将写成的形式进行计算即可； （3）设， 则， 得出，继而得出，继而得解； 【详解】（1）根据规律可得：， 故答案为：； （2）， ； （3）设， ， ， 解得：， 即 【经典例题十六 整式乘法混合运算】 【例16】（23-24七年级下·全国·单元测试）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键．根据整式的运算性质，逐项计算并判断即可． 【详解】解：A、，该选项正确，符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项错误，不符合题意； 故选A． 1．（23-24八年级上·四川乐山·阶段练习）对于任意自然数n，代数式一定能被一个整数整除，那么这个整数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．12 【答案】C 【分析】先将化简为，由n是自然数，即可得出答案． 【详解】解：， n是自然数， 能被6整除， 故选：C． 【点睛】本题考查了整式乘法运算，加减运算及数的整除性，熟练掌握整式的混合运算法则是解题关键． 2．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）当时，代数式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据整式乘法运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 故答案为：3． 3．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算，熟练掌握整式乘法有关法则是解题的关键．根据整式乘法法则依次计算即可． 【详解】解： ． 【经典例题十七 多项式除法】 【例17】（24-25七年级上·上海普陀·期中）已知，其中n是正整数，那么的值是（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了多项式与单项式的除法，多项式除以单项式用多形式的每一项分别与单项式相除即可．先根据多项式与单项式的除法法则把等式左边化简求出a，b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 故选C． 1．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算的运算法则是解题关键．先根据题意算出这个多项式，再与相加即可． 【详解】解：由题意可知，这个多项式为：， 正确的计算结果是：， 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知多项式A除以得商式，余式，则多项式A为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意列出式子，然后根据多项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意得， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知，是多项式，王虎同学在计算时，将看成了，结果得到 (1)求多项式； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，多项式除以单项式： （1）根据题意可得，据此根据多项式除以单项式的计算法则求解即可； （2）根据（1）所求利用整式的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴； 【经典例题十八 整式四则运算】 【例18】（23-24八年级上·河南南阳·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数得乘除法，根据积的乘方，幂的乘方，同底数得乘除法进行计算，然后合并同类项即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故选：． 1．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如果，那么代数式的值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了求代数式的值，用降次法进行解答，先由已知得，再代入原式把项降为二次项，进而继续将二次项降为一次项便可得结果． 【详解】， ， ， 故选：C． 2．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）化简： 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的混合运算，先计算乘法，在合并同类项，熟练运用计算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了单项式乘以单项式、整式的混合运算． （1）利用积的乘方进行计算，再进行单项式乘以单项式即可； （2）利用积的乘方和单项式乘以单项式计算后，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2） 1．（24-25六年级上·上海·期中）的计算结果是（   ）． A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了逆用积的乘方，逆用同底数幂的乘法，有理数的乘方运算，熟练掌握知识点是解题的关键，将原式化为，再逆用积的乘方计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，是小雅用电脑设计的一个运算程序框图．若输入x的值为10，输出的结果是数m，若输入x的值为5，输出的结果是数n，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求代数式的值，能根据程序求出m、n的值是解此题的关键． 先根据运算程序，算出m和n的值，再将m和n的值代入进行计算即可． 【详解】解：当输入x的值为10时，， 当输入x的值为5时，， ∴， 故选：A． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项系数为5，则的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项的问题，根据多项式乘多项式的法则，计算后，根据不含的二次项，且一次项系数为5，得到的二次项的系数为0，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解： ， 由题意，得：，解得：， ∴； 故选D． 4．（23-24八年级上·四川眉山·期中）若乘积中不含项和项，则、的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的法则，问题的关键是注意各项符号的处理． 把式子展开，找到所有和项的系数，令它们的系数分别为，列式求解即可． 【详解】解：， ， ， 展开式中不含项和项， ， ， 故选：A． 5．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2000 D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂相乘，积的乘方，由已知证明可得，进而求得代数式的值． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴； ∴， ． 故选B． 6．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方，即可求解． 本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．（上海市浦东新区2024—2025学年上学期七年级数学期中考试试卷）若多项式展开后不含x的一次项，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式乘多项式的法则，先根据多项式乘以多项式法则进行计算，展开后不含x的一次项，说明展开后的多项式中一次项系数的和为零，即可得出，求出即可． 【详解】解： ， ∵多项式展开后不含x的一次项， ∴， 解得：， 故答案是：． 8．（24-25八年级上·北京东城·期中）我国古代数学曾有许多重要的成就，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，这个三角形给出了（1，2，3，4，5，6）的展开式（按的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中各项的系数． （1）展开式中的系数为 ； （2）展开式中各项系数的和为 ． 【答案】 5 【分析】此题考查了整式的运算和规律探索，弄清“杨辉三角”中系数规律是解本题的关键，根据“杨辉三角”中系数规律确定出所求系数，并求出系数之和即可． 【详解】解：（1）根据题意中例子所示，展开式中的系数应与第6行的2个数对应，即为5， 故答案为：5； （2）当时， 展开式的各项系数之和分别为2、4、8、16、... ， 由此可知展开式的各项系数之和为， 展开式的各项系数之和为， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法；本题直接利用乘法展开求各系数计算复杂，利用当和时，可以直接得到系数之间关系，再将看作一个整体求解即可． 【详解】解：当时；①， 当时；②， 由①-②得， ∴， 故答案为． 10．（24-25七年级上·上海·阶段练习）长方形内，未被小长方形覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度变化时，按照同样的方式放置，始终不变，则，应满足 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的运算，得到图形中的关系是解题的关键． 对图形进行点标注，则左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为，再结合图形信息表示出；然后根据面积公式求出面积差，根据始终保持不变，即可得到、满足的关系式． 【详解】解：对图形进行点标注，如图所示： 左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为， ，即，， ，即， 阴影部分面积之差， 因为当的长度变化时，按照同样的方式放置，始终不变，故， 即； 故答案为： 11．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查整式的乘法，掌握积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式，同底数幂的乘法是解题的关键． 利用积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式，同底数幂的乘法运算即可求出答案． 【详解】解： ． 12．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查整式的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． 根据多项式乘以单项式法则进行计算即可． 【详解】解： ． 13．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知A、B为整式，且，． (1)如果A与B的乘积中不含和项，求m、n的值； (2)在数轴上将表示m的点记为M，表示n的点记为N，在（1）的条件下，数轴上的点P满足P到点M的距离是P到点N的距离的2倍，求点P表示的数． 【答案】(1) (2)点表示的数为12或4 【分析】本题考查了整式的乘法运算法则，数轴上两点之间的距离，掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． （1）根据整式的乘法的运算法则可知，再根据与的乘积中不含项和项列方程解答即可； （2）设点表示的数为，根据数轴上两点之间的距离公式解答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∵与的乘积中不含项和项， ， 解得：， ； （2）解：∵， ∴点表示的数为0，点表示的数为6， ∴设点表示的数为， ， ， 或， 或， ∴点表示的数为12或4． 14．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子．如图，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个一组邻边长分别为，的长方形，若用不同的方法计算这个长方形面积，你能发现什么结论？ (1)用等式表示出来为______； (2)已知，求的值； (3)已知，，为正整数，求的值． 【答案】(1) (2)的值为； (3)的值为10或8． 【分析】本题考查了多项式的乘法与几何图形，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积． （1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是1个正方形的面积和3个矩形的面积，一种是大正方形的面积，可得等式； （2）由（1）的结论结合已知得到，则，，进一步计算即可求解； （3）将已知等式得到，，根据，为正整数，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，这个等式可以为， 故答案为：； （2）解：由（1）的结论得， ∵， ∴， 即，， ∴，， ∴的值为； （3）解：由题意得， ∴，， ∵，为正整数， ∴，分别为2，8或4，4， ∴或， 综上，的值为10或8． 15．（24-25八年级上·江苏南通·期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白），再类似于数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例如：计算，可用如图的竖式进行计算．因此商式是，余式是1． (1)计算，商式是________，余式是________； (2)计算，结果为________； (3)已知M是一个整式，m是常数，，，求m的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了多项式除以多项式： （1）仿照题意利用短除法求解即可； （2）仿照题意利用短除法求解即可； （3）根据题意可得的余数为0，则有，据此可得答案． 【详解】（1）解： ∴商式是，余式是， 故答案为：；； （2）解： ∴； （3）解：∵M是一个整式，m是常数，，， ∴的余数为0， ∴ ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$