专题02 锐角三角函数的计算重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优)-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题02 锐角三角函数的计算重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 特殊三角形的三角函数 题型二 特殊角三角函数值的混合运算 题型三 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型四 用计算器求锐角三角函数值 题型五 据特殊角三角函数值求角的度数 题型六 给出三角函数值，用计算器求锐角度数 题型七 已知角度比较三角函数值的大小 题型八 根据三角函数值判断锐角的取值范围 题型九 利用同角三角函数关系求值 题型十 求证同角三角函数关系式 题型十一 互余两角三角函数的关系 题型十二 三角函数综合 知识点一、特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 1 【经典例题一 特殊三角形的三角函数】 【例1】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）下列说法中，正确的是（　） A．在中，每边都扩大5倍，则也扩大5倍 B．若，则 C． D．若α为锐角，，则 【答案】D 【分析】本题考查三角函数的性质，根据三角函数的定义利用排除法求解． 【详解】解：A、在中，每边都扩大5倍，但它们的比值不变，所以值不变，故本选项错误； B、若，则，故本选项错误； C、三角函数的度数不能直接相加，故本选项错误； D、根据设两直角边为，根据勾股定理得斜边为，所以，故本选项正确． 故选：D． 1．（2024九年级上·全国·专题练习）的值等于（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角构造直角三角形计算即可． 【详解】解：如图，中，，，则，， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在四边形中，，平分，若，则的度数是 ． 【答案】/150度 【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，解直角三角形，解题的关键是证明三角形． 证明，得出，根据，得出，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）计算 (1)； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再去绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先移项，然后利用提公因式法分解因式，进而解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，求特殊角三角函数值，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂等等，熟知相关计算法则是解题的关键． 【经典例题二 特殊角三角函数值的混合运算】 【例2】（23-24九年级下·全国·期末）的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角三角函数的混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．根据特殊角三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 1．（22-23八年级下·福建泉州·期末）点关于x轴对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，特殊角的三角函数值．先根据特殊三角函数值求出点坐标，再根据对称性解答． 【详解】解：，， 点． 点关于轴对称点的坐标， 关于轴的对称点的坐标是． 故选：B． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查特殊角三角函数值，解题的关键是根据，再代入进行二次根式的乘法运算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）计算： 【答案】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而化简得出答案． 【详解】解： ． 【经典例题三 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 【例3】（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案． 本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴一定是等腰直角三角形， 故选：D． 1．（23-24九年级下·湖南衡阳·期中）在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值即可求出的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形 故选：A． 2．（22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）在中，若，则是 三角形． 【答案】等边 【分析】直接绝对值的性质以及偶次方的性质得出，，再利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】解：， ，， ，， 是等边三角形． 故答案为：等边． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 3．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，．把绕点B逆时针旋转得到，连接．当旋转角为多少度时，． 【答案】30度或150度 【分析】分两种情况：第一种情况，如图1，过点E作于点Q，过点A作于点P，证明，可得；第二种情况，如图2，当时，同法可证，从而可知旋转角α的度数． 【详解】解：如图1中，过点E作于点Q，过点A作于点P， ，， ， ， ，，， ， ， ， 在中，， ， 旋转角α的度数； 如图2中，当时，过点E作交BC延长线于点Q，过点A作于点P， 同理可证，， ， 旋转角α的度数， 综上可知，当旋转角为30或150度时，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，角的正弦值知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题． 【经典例题四 用计算器求锐角三角函数值】 【例4】（2024·山东东营·模拟预测）某款科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用计算器计算锐角三角函数值，根据计算器计算出的结果即可得出答案． 【详解】解：使用计算器计算得：， ∴显示的结果在之间， 故选：B． 1．（2024·山东淄博·二模）如图，在中，，，．若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了计算器，根据正切的定义求出的表达式是解题的关键．根据正切的定义求出的表达式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 2．（23-24九年级上·北京·单元测试）计算： （精确到）． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角函数值的混合计算，分别用计算器求出正弦和余弦的结果，然后求和即可． 【详解】解：利用计算器可以算出：，， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）用计算器求下列各式的值．（结果精确到） (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查用计算器求三角函数的近似值，正确使用计算器是解题的关键． （1）运用计算器即可计算出题中各式中的三角函数值． （2）运用计算器即可计算出题中各式中的三角函数值． （3）运用计算器即可计算出题中各式中的三角函数值． 【详解】（1）； （2）； （3）． 【经典例题五 根据特殊角三角函数值求角的度数】 【例5】（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）若，则锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，根据45度角的正切值为1得到，则． 【详解】解：∵，且为锐角， ∴， ∴， 故选：C． 1．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，都是锐角，且，，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 【答案】C 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值．直接利用特殊角的三角函数值得出，的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴的形状是锐角三角形． 故选：C． 2．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如果，那么锐角的度数是 【答案】/60度 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值．利用特殊角的三角函数值计算即可得到锐角的度数． 【详解】解：∵，， ∴锐角的度数为． 故答案为：． 3．（2024·广东清远·模拟预测）综合与实践 主题：用折纸折出特殊角 素材：一张矩形纸片． 步骤1：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 步骤2：如图2，再一次折叠纸片，使点D落在上的点处，折痕为． (1)直接写出的度数； (2)证明（1）中你发现的结论． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】此题考查了折叠的性质和特殊角的三角函数． （1）根据题意写出答案即可； （2）根据折叠的性质和特殊角的三角函数进行证明即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：证明：由折叠的性质可知， ，， ∴ ∴， ∴ ∴． 【经典例题六 给出三角函数值，用计算器求锐角度数】 【例6】（2023·山东济南·模拟预测）已知β为锐角，且，下列度数与β度数最接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数，用计算器得出，由此可解． 【详解】解：用计算器得， ∴与β度数最接近的是， 故选A． 1．（23-24九年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，，，用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正弦三角函数的定义，及其用计算器求值．根据正弦函数的定义，可得，然后根据科学计算器的应用进一步计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 用科学计算器计算，按键顺序是  ． 故选：B． 2．（22-23九年级下·全国·课后作业）已知sinα＝0.831 0，则锐角α＝ ；cosα＝0.951 1，则锐角α＝ (精确到1′)． 【答案】 56°12′ 17°59′ 【分析】熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据精确度用四舍五入法取近似数． 【详解】由sinα＝0.831 0，得锐角α= 56°12′ 由cosα＝0.951 1，得锐角α=17.99°≈17°59′ 故答案为56°12′；17°59′ 【点睛】考查了计算器-三角函数，本题结合计算器的用法，熟练掌握计算器的用法是解题关键． 3．（23-24九年级上·北京·单元测试）根据下列条件利用计算器求的度数（结果用度、分、秒表示，且精确到）． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了如何利用科学计算器由锐角三角函数值求相应的锐角的大小，解答本题的关键是掌握按键顺序，一般是：先按“”（或“”“”），再按数字键输入三角函数值，最后按“”键便显示结果． （1）按照上述按键顺序进行操作即可； （2）按照上述按键顺序进行操作即可； （3）按照上述按键顺序进行操作即可； （4）按照上述按键顺序进行操作即可． 【详解】（1）按键顺序为 ， 结果：，所以； （2）按键顺序为， 结果：，所以； （3）按键顺序为， 结果：，所以； （4）按键顺序为， 结果：，所以． 【经典例题七 已知角度比较三角函数值的大小】 【例7】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知在中，，，设，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余弦的增减性与特殊角的余弦值，熟练掌握余弦的增减性是解题关键．先求出特殊角的余弦值，再根据余弦的增减性求解即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：B． 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较三角函数值的大小，根据三个三角函数的取值范围和增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选D． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）比较大小（用连接），，， ． 【答案】 【分析】本题考查三角函数的比较大小，掌握正弦值随着锐角角度的增大而增大，但正弦值不大于是解题的关键． 【详解】解：，， ∴， 故答案为：． 3．（22-23九年级下·全国·单元测试）（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用三角函数的增减性的规律即可得答案； （2）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较． 【详解】解：（1）∵锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小． ∴； ． （2），． ∵， ∴． 【点睛】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的增减性的规律是解题关键． 【经典例题八 根据三角函数值判断锐角的取值范围】 【例8】（23-24九年级上·安徽六安·期末）若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在间变化，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），判定即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 1．（23-24九年级上·广东梅州·期末）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，首先明确，，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析． 【详解】解：，正弦值随着角的增大而增大， ， ， 故选C． 2．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知，则锐角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据锐角三角函数的增减性即可求解．熟练掌握特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：由， ∴， ∵当时，随着的增大而减小， ∴， 故答案为： 3．（2022·浙江宁波·一模）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 【答案】（1）2米；（2）符合 【分析】（1）利用影长物高成比例求解即可； （2）先求出锐角三角函数值，再利用锐角三角函数值求出角的范围即可． 【详解】解：（1）， ， 答：滑梯高为2米； （2）∵AC=2m,BC=4m， ∴， ∵正切值随着角的增大函数值增大， ， 这架滑梯的倾斜角符合安全要求． 【点睛】本题考查影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性，掌握影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性是解题关键． 【经典例题九 利用同角三角函数关系求值】 【例9】（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，，，连接，若要计算的面积，只需知道（   ） A．长 B．长 C．长 D．长 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数，余角的性质，以及三角形的面积公式， 过辅助线如图，证明，得出，即，求出，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解∶过C作交延长线于F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， 故选∶D． 1．（2024·江苏无锡·一模）如图是我国古代数学家赵爽创造的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形无缝拼成的大正方形，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．若的度数为，且满足，则正方形与正方形的面积之比为（    ）    A． B．13 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，全等三角形的性质，设中，，，，根据，可得，设，可得，，进而可得，问题随之得解． 【详解】设中，，，， ∴，， ∵， ∴，即， 设， ∴，， ∴在中，， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与正方形的面积之比为：， 故选：B． 2．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，点、在反比例函数的图象上点在点的左侧，直线分别交轴，轴于点，，轴于点，轴于点，连结，，已知，与的面积之和是的面积的倍，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，三角形的面积，有一定难度．利用比例式得出和的关系是解题的关键． 设，，根据，得，利用三角函数得，设，则，，利用与的面积之和是的面积的倍，列式可得结论． 【详解】解：设，，则， ， ， ， ， 即，，， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）（1）； （2）． 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题考查同角三角形函数的关系，特殊角的三角形函数值，关键是掌握同角三角形函数的平方关系，特殊角的三角形函数值． （1）由同角三角形函数的平方关系，特殊角的正弦值，正切值，即可计算； （2）由特殊角的正切值，完全平方公式，二次根式的性质，即可计算． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【经典例题十 求证同角三角函数关系式】 【例10】（2024九年级·全国·竞赛）在中，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的概念，勾股定理，在中，，的a，的b，的c，则，，．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的概念，确定锐角三角函数值的取值范围用三角函数间的关系． 【详解】解：如图，在中，， A、∵，，又∵不能比较a、b大小，∴不能判定与的大小，∴错误；故此选项不符合题意； B、∵，又∵，，但不能比较a、b大小，∴，故此选项不符合题意； C、∵，，∴，又∵ ∴，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，又由勾股定理，得，∴，∴，故此选项符合题意． 故选：D． 1．（2023·福建泉州·二模）常听到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为（    ）（假设有任意角α） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意即可写出式子． 【详解】解：“正弦平方加余弦平方”的数学语言为：， 故选：B． 【点睛】本题考查同角三角函数关系，明确题意，用数学语言正确表达是解题的关键． 2．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）下列结论中（其中，均为锐角），正确的是 ．（填序号） ①；②；③当时，；④． 【答案】①③④ 【分析】根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：①如图，在中， ∵，， ∴，故①正确； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 3．（2024·甘肃武威·模拟预测）如图，在中，，请验证的结论． 【答案】见解析 【分析】本题考查同角的三角函数之间的关系，勾股定理以及互余两角三角函数的关系，掌握直角三角形的边角关系是正确判断的前提．根据直角三角形的边角关系求解即可． 【详解】证明：在中，， ∴ 【经典例题十一 互余两角三角函数的关系】 【例11】（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查互余的两角三角函数的关系，熟练掌握互余的两角三角函数关系是解题的关键； 在直角三角形中，时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即；一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即，即可解答； 【详解】，， ； 故选：B． 1．（23-24九年级上·安徽六安·期末）下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知互余两角三角函数的关系是解答此题的关键．分别根据锐角三角函数的定义及互余两角三角函数的关系进行解答即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，选项正确，符合互余两角的三角函数关系，符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如果是锐角，，那么的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数之间的关系，根据互余关系，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，为半圆O的直径，C为上一点，连接，．请用尺规作图法，在直径上求作一点D，使：．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【分析】本题考查了圆周角定理，三角函数以及垂直平分线的尺规作图，根据圆周角定理可知：，即在中，，结合，即可得，本题即作等于已知角，即点D即为所求． 【详解】解：作图如下：点D即为所作． 【经典例题十二 三角函数综合】 【例12】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，， 各边都扩大5倍， 则锐角A的三角函数值（     ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角的度数确定，锐角的三角函数值为定值，即可得出结果． 【详解】解：由题意，可知，各边都扩大5倍，锐角A的度数不变， ∴锐角A的三角函数值不变； 故选A． 1．（2023·海南海口·模拟预测）如图，直线，相邻两条平行直线间的距离都是2，如果正方形的四个顶点分别在四条直线上，交于点E，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】过点A作于点F，交于点G，利用正方形的性质，正切函数，余弦函数，平行线间的距离． 熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点F，交于点G， ∵， ∴， ∵相邻两条平行直线间的距离都是2， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，正切函数，余弦函数，平行线间的距离． 熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 2．（2023·宁夏银川·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与旋转规律问题，涉及了三角函数、勾股定理以及旋转的性质等知识点，作轴，求出；分别求出将绕点O逆时针旋转一次到六次之后点的坐标，即可找到规律求解． 【详解】解：作轴，如图所示： 由题意得：，， ∴ ∴ ∴， ∴ 将绕点O逆时针旋转一次之后，点与关于轴对称，此时； 将绕点O逆时针旋转二次之后，点落在轴的负半轴上，此时； 将绕点O逆时针旋转三次之后，点与关于原点对称，此时； 将绕点O逆时针旋转四次之后，点与关于轴对称，此时； 将绕点O逆时针旋转五次之后，点落在轴的正半轴上，此时； 将绕点O逆时针旋转六次之后，点回到原始位置，此时； …… 观察可知，六次一个循环， ∵ ∴经过次旋转后，点B的坐标为 故答案为： 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）在如图所示的平行四边形中，射线、分别平分、，且分别交边、于点、，已知． (1)求证：四边形是菱形； (2)若为的中点，且的面积等于，求平行线与间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证，再证，从而四边形是平行四边形，又，于是四边形是菱形； （2）连接，先证明是等边三角形，得到，再证，，于是有，最后根据面积公式即可求得． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 、分别平分、， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：连接， 由（1）知，， ， 为的中点， ， 四边形是菱形， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 平行线与间的距离为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离，熟练掌握相关知识是解题的关键． 1．（2024·山东·模拟预测）计算的结果为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查零指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟知计算法则是解题的关键．根据零指数幂，特殊角的三角函数值的运算法则计算即可解答． 【详解】解： ； 故选：B． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，是的边的中点，，，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，求角的正弦值，延长 至点，使，连接，，可证明四边形是平行四边形，得到，则当最大时，最小；过点A作 交的延长线于点，由于，则最大为30度，据此可得答案． 【详解】解：如图，延长 至点，使，连接，． 是的中点， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， 当最大时，最小． 过点A作 交的延长线于点， ∴， 当且仅当 时等号成立，此时最大，， 的最小值为， 故选：D． 3．（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性的应用，注意∶当角是锐角时，其正弦和正切随角度的增大而增大，余弦随角度的增大而减小；根据三角函数的增减性求解即可； 【详解】解：是锐角， ， ，，， ， 故选：A； 4．（2022·四川眉山·二模）如图，在正方形中，E，F分别是BC，CD的中点，AE交BF于点H，交BF于点G，下列结论，①；②；③；④其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】①根据正方形的性质求证是直角三角形即可得到结果； ②由①求证，利用其对应边成比例即可得到结论； ③由①求证即可得出结论； ④利用相似三角形对应边成比例即可得出结论； 【详解】∵在正方形ABCD中，E、F分别是边BC，CD的中点， ∴， ∴， ∵CG∥AE， ∴， ∴， ∴，即△CGF为直角三角形， ∵CG∥AE， ∴△BHE也是直角三角形， ∴． 故①正确； 由①得， ∴， ∴， 故②正确； 由①得， ∴BH=CG，而不是BH=FG， 故③错误； ∵， ∴， 即， 同理可得：， 可得， ∴， ∴④正确； 综上所述，正确的有①②④． 故答案选D． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义判断，准确结合相似三角形性质和全等三角形性质是解题的关键． 5．（22-23九年级上·广西百色·期末）下列式子中，不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值的运算以及互余两角三角函数的关系对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，A中式子成立，故不符合题意； 如图， ∵， ∴ ∴B中式子成立，故不符合题意； ∵， ∴ ∴C中式子成立，故不符合题意； ∵， ∴，D中式子不成立，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，互余两角三角函数的关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确的计算． 6．（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先根据特殊三角函数，二次根式，负整数指数幂化简，再计算即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 7．（2022·四川自贡·一模）在中，若满足，则是 三角形． 【答案】等边/正 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值；非负数的性质，等边三角形的判定．熟知特殊角的三角函数值是关键．先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值和，即可作出判断． 【详解】解：根据题意得：且， 则， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 8．（2023九年级·四川宜宾·专题练习）在中，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查特殊角三角函数值的问题，绝对值和平方的非负性． 根据题意得出，进而得出，根据三角形的内角和定理，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， ， 故答案为： 9．（22-23九年级下·江苏淮安·开学考试）比较大小：sin35° cos45°． 【答案】＜ 【分析】由cos45°= sin45°，根据正弦在0°到90°内，函数值随角度的增大而增大，比较角度的大小即可． 【详解】∵cos45°= sin45°，正弦在0°到90°内，函数值随角度的增大而增大， ∴sin35°＜sin45°， ∴sin35°＜cos45°， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了三角函数值的大小比较，化不同名函数为同名函数，并运用同名函数的性质是解题的关键． 10．（22-23九年级上·上海青浦·期中）已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】应用互余两角三角函数的关系进行计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，， ， ， ， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了互余两角三角函数的关系，熟练掌握互余两角三角函数的关系进行求解是解决本题的关键． 11．（24-25九年级上·全国·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的性质运算再合并即可； （）根据负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质运算再合并即可； 本题考查了实数的混合运算，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ； （2）解：原式 ， ． 12．（22-23九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，已知 半径为，弦垂直平分半径，并交于点． （1）求弦的长； （2）求弧的长，并求出图中阴影部分面积． 【答案】（1）10cm；（2）cm，cm2． 【分析】（1）先利用垂径定理得出AB=2BD，∠ODB=90°，OD=OC=5，进而根据勾股定理求出BD，即可得出结论； （2）先利用锐角三角函数求出∠BOD=60°，最后利用扇形的弧长公式和扇形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）如图，⊙O半径为10cm，    ∴OB=OC=10， ∵弦AB垂直平分半径OC， ∴AB=2BD，∠ODB=90°，OD=OC=5， 在Rt△BOD中，根据勾股定理得，BD= ， ∴AB=2BD=10cm； （2）由（1）知，OD=5， 在Rt△BOD中，cos∠BOD=， ∴∠BOD=60°， ∵OC⊥AB， ∴∠AOB=2∠BOD=120°， ∴弧 cm， S阴影=S扇形AOB-S△AOB= （cm2）． 【点睛】此题主要考查了垂径定理，锐角三角函数，勾股定理，弧长公式，扇形的面积公式，求出AB是解本题的关键． 13．（2024·河南开封·一模）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用负整数指数幂法则，二次根式性质，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果； （2）利用零指数幂法则，二次根式性质，以及同角三角函数基本关系式计算即可得到结果． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解： ． 14．（22-23九年级下·福建福州·期中）（1）如图，锐角α和线段m，用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角，为的（保留作图痕迹，不写作法）． （2）根据（1）中所画图形证明．    【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）作线段，过点作，作，射线，交于点，即为所求； （2）利用勾股定理，三角函数的定义证明即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求．        （2）证明：， ， ，， ． 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角、作垂线、作三角形、勾股定理、三角函数，熟练掌握勾股定理和三角函数是解题关键． 15．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图所示，外接于锐角，为边的中点，连接并延长交于点，过作的垂线交于点，点为上一点，已知平分且． (1)试求的度数． (2)①证明：． ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）根据同弧圆周角相等得，然后利用直角三角形两个锐角互余，以及等量代换，即可解决问题； （2）①结合等腰三角形性质，证明，即可解决问题； ②过点C作于点H，设，根据勾股定理和锐角三角函数即可解决问题 【详解】（1）解： 平分， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）①证明：，D为中点 ， ， ， ， ， ， ， ； ②解：如图，过点C作于点H， 根据题意设， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的值为 【点睛】本题考查同圆中同弧圆周角相等，直角三角形性质，等腰三角形性质，全等三角形性质和判定，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 锐角三角函数的计算重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 特殊三角形的三角函数 题型二 特殊角三角函数值的混合运算 题型三 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型四 用计算器求锐角三角函数值 题型五 据特殊角三角函数值求角的度数 题型六 给出三角函数值，用计算器求锐角度数 题型七 已知角度比较三角函数值的大小 题型八 根据三角函数值判断锐角的取值范围 题型九 利用同角三角函数关系求值 题型十 求证同角三角函数关系式 题型十一 互余两角三角函数的关系 题型十二 三角函数综合 知识点一、特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 1 【经典例题一 特殊三角形的三角函数】 【例1】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）下列说法中，正确的是（　） A．在中，每边都扩大5倍，则也扩大5倍 B．若，则 C． D．若α为锐角，，则 1．（2024九年级上·全国·专题练习）的值等于（ ） A．1 B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在四边形中，，平分，若，则的度数是 ． 3．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）计算 (1)； (2)解方程：． 【经典例题二 特殊角三角函数值的混合运算】 【例2】（23-24九年级下·全国·期末）的值是（   ） A． B． C．1 D． 1．（22-23八年级下·福建泉州·期末）点关于x轴对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期中）计算： ． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）计算： 【经典例题三 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 【例3】（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 1．（23-24九年级下·湖南衡阳·期中）在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．（22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）在中，若，则是 三角形． 3．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，．把绕点B逆时针旋转得到，连接．当旋转角为多少度时，． 【经典例题四 用计算器求锐角三角函数值】 【例4】（2024·山东东营·模拟预测）某款科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（    ） A． B． C． D． 1．（2024·山东淄博·二模）如图，在中，，，．若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·北京·单元测试）计算： （精确到）． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）用计算器求下列各式的值．（结果精确到） (1)； (2)； (3)． 【经典例题五 根据特殊角三角函数值求角的度数】 【例5】（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）若，则锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，都是锐角，且，，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 2．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如果，那么锐角的度数是 3．（2024·广东清远·模拟预测）综合与实践 主题：用折纸折出特殊角 素材：一张矩形纸片． 步骤1：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 步骤2：如图2，再一次折叠纸片，使点D落在上的点处，折痕为． (1)直接写出的度数； (2)证明（1）中你发现的结论． 【经典例题六 给出三角函数值，用计算器求锐角度数】 【例6】（2023·山东济南·模拟预测）已知β为锐角，且，下列度数与β度数最接近的是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，，，用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（　　）    A． B． C． D． 2．（22-23九年级下·全国·课后作业）已知sinα＝0.831 0，则锐角α＝ ；cosα＝0.951 1，则锐角α＝ (精确到1′)． 3．（23-24九年级上·北京·单元测试）根据下列条件利用计算器求的度数（结果用度、分、秒表示，且精确到）． (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题七 已知角度比较三角函数值的大小】 【例7】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知在中，，，设，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）比较大小（用连接），，， ． 3．（22-23九年级下·全国·单元测试）（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 【经典例题八 根据三角函数值判断锐角的取值范围】 【例8】（23-24九年级上·安徽六安·期末）若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·广东梅州·期末）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知，则锐角的取值范围是 ． 3．（2022·浙江宁波·一模）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 【经典例题九 利用同角三角函数关系求值】 【例9】（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，，，连接，若要计算的面积，只需知道（   ） A．长 B．长 C．长 D．长 1．（2024·江苏无锡·一模）如图是我国古代数学家赵爽创造的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形无缝拼成的大正方形，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．若的度数为，且满足，则正方形与正方形的面积之比为（    ）    A． B．13 C．5 D． 2．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，点、在反比例函数的图象上点在点的左侧，直线分别交轴，轴于点，，轴于点，轴于点，连结，，已知，与的面积之和是的面积的倍，则的值是 ． 3．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）（1）； （2）． 【经典例题十 求证同角三角函数关系式】 【例10】（2024九年级·全国·竞赛）在中，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 1．（2023·福建泉州·二模）常听到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为（    ）（假设有任意角α） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）下列结论中（其中，均为锐角），正确的是 ．（填序号） ①；②；③当时，；④． 3．（2024·甘肃武威·模拟预测）如图，在中，，请验证的结论． 【经典例题十一 互余两角三角函数的关系】 【例11】（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·安徽六安·期末）下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如果是锐角，，那么的大小为 ． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，为半圆O的直径，C为上一点，连接，．请用尺规作图法，在直径上求作一点D，使：．（保留作图痕迹，不写作法） 【经典例题十二 三角函数综合】 【例12】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，， 各边都扩大5倍， 则锐角A的三角函数值（     ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 1．（2023·海南海口·模拟预测）如图，直线，相邻两条平行直线间的距离都是2，如果正方形的四个顶点分别在四条直线上，交于点E，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2023·宁夏银川·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点B的坐标为 ． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）在如图所示的平行四边形中，射线、分别平分、，且分别交边、于点、，已知． (1)求证：四边形是菱形； (2)若为的中点，且的面积等于，求平行线与间的距离． 1．（2024·山东·模拟预测）计算的结果为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，是的边的中点，，，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·四川眉山·二模）如图，在正方形中，E，F分别是BC，CD的中点，AE交BF于点H，交BF于点G，下列结论，①；②；③；④其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 5．（22-23九年级上·广西百色·期末）下列式子中，不成立的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）计算： ． 7．（2022·四川自贡·一模）在中，若满足，则是 三角形． 8．（2023九年级·四川宜宾·专题练习）在中，若，则的度数为 ． 9．（22-23九年级下·江苏淮安·开学考试）比较大小：sin35° cos45°． 10．（22-23九年级上·上海青浦·期中）已知，，则 ． 11．（24-25九年级上·全国·期中）计算 (1) (2) 12．（22-23九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，已知 半径为，弦垂直平分半径，并交于点． （1）求弦的长； （2）求弧的长，并求出图中阴影部分面积． 13．（2024·河南开封·一模）计算： (1)； (2)． 14．（22-23九年级下·福建福州·期中）（1）如图，锐角α和线段m，用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角，为的（保留作图痕迹，不写作法）． （2）根据（1）中所画图形证明．    15．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图所示，外接于锐角，为边的中点，连接并延长交于点，过作的垂线交于点，点为上一点，已知平分且． (1)试求的度数． (2)①证明：． ②若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$