专题01 锐角三角函数重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优)-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题01 锐角三角函数重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 正弦的概念辨析 题型二 求角的正弦值 题型三 已知正弦值求边长 题型四 求角的余弦值 题型五 余弦的概念辨析 题型六 己知余弦求边长 题型七 求角的正切值 题型八 正切的概念辨析 题型九 已知正切值求边长 知识点：锐角的三角函数 在Rt△ABC中，∠C=90°，则的三角函数如下表： 定 义 表达式 取值范围 关 系 正弦 (∠A为锐角) 余弦 (∠A为锐角) 正切 (∠A为锐角) 【经典例题一 正弦的概念辨析】 【例1】（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 1．（2024九年级下·全国·专题练习）在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）若，则锐角 锐角（填、或）． 3．（2023·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是的外接圆，过点 O作的垂线，垂足为 D，分别交直线，于点E，F，射线交直线于点G． (1)求证． (2)若点E在的延长线上，且，求的度数． (3)当时，随着的长度的增大，的长度如何变化? 请描述变化过程，并说明理由． 【经典例题二 求角的正弦值】 【例2】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点，，都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点都在格点上，则的正弦值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，是的内接等腰三角形，其顶角的平分线交于D，交于E，连接 (1)证明； (2)若，，求的值． 【经典例题三 已知正弦值求边长】 【例3】（24-25九年级上·全国·单元测试）在中，，则的长是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 1．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，正方形的边长，点为平面内一动点，且，点为上一点，，连接、，当线段的长最小时，三角形的面积是（　　）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，则的长是 ． 3．（2023·浙江杭州·模拟预测）在中，，平分，点G是的中点，点F是上一点，，延长交的延长线于点E，连接． (1)证明：四边形是平行四边形． (2)若，，求的长． 【经典例题四 求角的余弦值】 【例4】（23-24九年级上·江西·期末）在中，若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．保持不变 D．扩大为原来的4倍 1．（22-23九年级下·四川南充·自主招生）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）若定义等腰三角形底边与底边上高的比值为等腰三角形顶角的值，即，若等腰，，且，则 ． 3．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，中，，，的平分线与边交于点F，与外角的平分线交于点E． (1)求的值； (2)求点E到直线的距离． 【经典例题五 余弦的概念辨析】 【例5】（2024·河北邢台·一模）如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024九年级·全国·竞赛）已知为锐角，则（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）已知锐角满足，则 ． 3．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，已知中，，，，，为边上的中线． (1)求的长； (2)求的值． 【经典例题六 己知余弦求边长】 【例6】（2023·河南信阳·模拟预测）如图，在正方形中，对角线，交于点O，的平分线交于点E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）已知在中，，，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海宝山·期中）在中，，，，那么 ．（结果用的锐角三角函数表示） 3．（23-24九年级上·江西·期末）如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，． (1)求的长． (2)求的正弦值． 【经典例题七 求角的正切值】 【例7】（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（    ） A．2 B．0.5 C． D． 1．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，，，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，，是的角平分线，．将绕点A旋转，如果点C落在射线上，点B落在点E处，连接，那么的正切值为 ． 3．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）计算：． 【经典例题八 正切的概念辨析】 【例8】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，设，，所对的边分别为a，b，c，则（　　） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，，点D为的中点，线段的垂直平分线l交边于点E．设，，则y与x的关系式为 ． 3．（2024九年级下·全国·专题练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先在边上画点F，使，再在边上画点G，使； (2)在图2中，在对角线上画点H，使，再在直线上取一点P，使的值最小． 【经典例题九 已知正切值求边长】 【例9】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点在第一象限，与x轴所夹锐角为，，则t的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 1．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，点为的重心，若，，那么的长为（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，是边的中线，过点作，交延长线于点．若，，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知及边上一点C． (1)用无刻度的直尺和圆规在射线上求作点O，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，以点O为圆心，以为半径的圆交射线于点B，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点M，使点M到点C的距高与点M到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，求的长． 1．（2024·广东·模拟预测）正方形网格中，如图所示放置（点A，O，C均在网格的格点上，且点C 在上），则的值为（   ） A． B． C． D．1 2．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知正方形的边长为4，点P为边上任意一点，连接，以为边，在的右侧做正方形，连接，在点P由B运动到C的过程中，下列判断正确的是 嘉嘉说：有最小值，最小值为 琪琪说：点E所走的路程为    A．只有嘉嘉说的对 B．只有琪琪说的对 C．嘉嘉、琪琪说的都对 D．嘉嘉、琪琪说的都不对 3．（2023·安徽·模拟预测）如图①，在中，，，动点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，过点作于点，图②是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽·模拟预测）如图所示，在矩形中，，平分，分别交、于点、，，则（    ） A． B．4 C． D． 6．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么的值为 ． 7．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在矩形中，，垂足为点E．若，，则的长为 ． 8．（22-23九年级上·全国·单元测试）在中，，，，则 9．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，在矩形纸片中，，，将沿翻折，使点落在处，为折痕；再将沿翻折，使点恰好落在线段上的点处，为折痕，连接．若，则 ． 10．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，经过两点，交于点，连接的延长线交于点．若，，则的半径为 ．    11．（23-24九年级上·河南南阳·期末）在中，，，点是平面内不与点，重合的任意一点，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结，，． (1)观察猜想 如图①，当时，请直接写出线段与的数量关系：_______． (2)类比探究 如图②，当时，探究线段与的数量关系，并说明理由． (3)解决问题 当时，若，，，请直接写出线段的长． 12．（24-25九年级上·上海·期中）如图，，，动点P、Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直移动到点A为止． (1)写出的长和的长关于时间t的函数； (2)经过多少时间后，与相似？ (3)在整个过程中，是否存在使的面积恰好为面积一半的情况，若存在，请问此时点Q运动了多少时间？若不存在，请说明理由． 13．（23-24九年级上·广东梅州·期末）已知、、分别为中、、的对边，若关于的方程有两个相等的实根，且，判断的形状，并说明理由． 14．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）如图，已知的直径，点P是弦上一点，连结，，求 (1)弦的长； (2)的正切． 15．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）图1、图2分别是的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A、B两点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各取一点C（点C必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C为顶点的三角形分别满足以下要求：    (1)在图1中画一个，使是以为边的直角三角形且； (2)在图2中画一个，使为等腰三角形，且，直接写出的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 锐角三角函数重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 正弦的概念辨析 题型二 求角的正弦值 题型三 已知正弦值求边长 题型四 求角的余弦值 题型五 余弦的概念辨析 题型六 己知余弦求边长 题型七 求角的正切值 题型八 正切的概念辨析 题型九 已知正切值求边长 知识点：锐角的三角函数 在Rt△ABC中，∠C=90°，则的三角函数如下表： 定 义 表达式 取值范围 关 系 正弦 (∠A为锐角) 余弦 (∠A为锐角) 正切 (∠A为锐角) 【经典例题一 正弦的概念辨析】 【例1】（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，由于三边的长度都扩大为原来的倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角的正弦值也不变． 【详解】因为三边的长度都扩大为原来的倍，所得的三角形与原三角形相似， 所以锐角的大小没改变，所以锐角的正弦值也不变． 故选A． 1．（2024九年级下·全国·专题练习）在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在中，．锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴的对边与斜边的比， ∵的三边都缩小5倍， ∴的对边与斜边的比不变， ∴的值不变． 故选：C． 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）若，则锐角 锐角（填、或）． 【答案】 【分析】本题考查了正弦的定义，根据在锐角范围内，正弦的函数值随着角度的增大而增大即可得出答案，熟练掌握相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：∵在锐角范围内，正弦的函数值随着角度的增大而增大， ∴若，则锐角锐角， 故答案为：． 3．（2023·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是的外接圆，过点 O作的垂线，垂足为 D，分别交直线，于点E，F，射线交直线于点G． (1)求证． (2)若点E在的延长线上，且，求的度数． (3)当时，随着的长度的增大，的长度如何变化? 请描述变化过程，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当时，，随增大，从4.5附近开始逐渐减小到0；当时，，随增大，从0附近开始逐渐增大． 【分析】（1）连接并延长交于点H, 连接，根据线段垂直平分线判断垂直平分，得到，结合，，即得； （2）连接，设，得，得，根据， 垂直平分，得到，得到，根据垂径定理推出，得到，在中，推出, 得到，即得； （3）在和中，根据，得，得，结合，得，当时， ，随增大而减小，从4.5附近开始逐渐减小到0；当时， ，随增大而增大，从0附近开始逐渐增大． 【详解】（1）连接并延长交于点H, 连接， ∵， ∴ 垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴；　 （2）连接，设， 由（1）知，， ∴， ∵, 垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时， ， ∴， 随增大而减小，从4.5附近开始逐渐减小到0； 当时， ， ∴， 随增大而增大，从0附近开始逐渐增大． 【点睛】本题主要考查了圆与三角形结合．熟练掌握等腰三角形的判定和性质，垂径定理，三角形外角性质，线段垂直平分线的判定和性质，正弦定义，分类讨论，是解决问题的关键 ． 【经典例题二 求角的正弦值】 【例2】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点，，都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，角的正弦值，能够作出辅助线得到直角三角形是解题关键． 如图，取格点，可通过勾股定理算出三者长度，再通过勾股定理逆定理得到为直角三角形，进而通过正弦的定义即可解题． 【详解】解：取格点，通过勾股定理可算出 ，， 得到 ∴为直角三角形，且 ∴ 故选：A． 1．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点都在格点上，则的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查网格中的三角函数，连接，，则，勾股定理求出的长，利用正弦的定义，进行求解即可. 【详解】解：连接，，则，如图： 由勾股定理，得：， ∴； 故选：B． 2．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，过点B作交延长线与D，由网格的特点可知，则由勾股定理可得，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，过点B作交延长线与D， 由网格的特点可知， ∴， ∴，即， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，是的内接等腰三角形，其顶角的平分线交于D，交于E，连接 (1)证明； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，求角的正弦值： （1）圆周角定理，得到，对顶角相等得到，即可得证； （2）三线合一，得到，勾股定理求出的长，根据，求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）∵是的内接等腰三角形，其顶角的平分线交于D， ∴，， ∴， ∴． 【经典例题三 已知正弦值求边长】 【例3】（24-25九年级上·全国·单元测试）在中，，则的长是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】本题考查的是锐角的正弦的定义，勾股定理的应用．由三角函数的定义，可得的值，进而由勾股定理可得的大小． 【详解】解：如图， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：A 1．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，正方形的边长，点为平面内一动点，且，点为上一点，，连接、，当线段的长最小时，三角形的面积是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质及应用，涉及三角形面积，动点问题，圆的定义，正弦函数．由，知的轨迹是以为圆心，4为半径的，故当在线段上时，最小，过作于，可得，，根据，即得，从而可得答案． 【详解】， 的轨迹是以为圆心，4为半径的， 当在线段上时，最小，过作于，如图：   ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，正弦，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，正弦，勾股定理是解题的关键． 如图，作于，由，可得，由，可求，由勾股定理得，，进而可求的长． 【详解】解：如图，作于， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：6． 3．（2023·浙江杭州·模拟预测）在中，，平分，点G是的中点，点F是上一点，，延长交的延长线于点E，连接． (1)证明：四边形是平行四边形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为4 【分析】（1）证明，得到，即可得证； （2）根据平行四边形的性质，得到，进而得到，结合，求出的长，进而求出的长，利用求出的长，再用即可得解． 【详解】（1）证明：∵平分，点G是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形．掌握并能够灵活运用相关知识点，是解题的关键． 【经典例题四 求角的余弦值】 【例4】（23-24九年级上·江西·期末）在中，若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．保持不变 D．扩大为原来的4倍 【答案】C 【分析】本题考查了角的余弦值，某个角的余弦值只与该角的大小有关，据此即可求解． 【详解】解：∵某个角的余弦值只与该角的大小有关， ∴若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值保持不变 故选：C ． 1．（22-23九年级下·四川南充·自主招生）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用完全平方公式将原式转化为关于同角的三角函数的关系来进行解答．本题考查了锐角三角函数的计算，完全平方公式，利用了同角的三角函数的关系来进行变形，注意角的范围，的结果是小于0的． 【详解】解：， ； 又， ． 故选：B． 2．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）若定义等腰三角形底边与底边上高的比值为等腰三角形顶角的值，即，若等腰，，且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及锐角三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．过点A作于，设，，根据等腰三角形的性质及勾股定理得，即可求得答案． 【详解】解：如图，过点A作于， ， 设，则， ，， ， 根据勾股定理得，， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，中，，，的平分线与边交于点F，与外角的平分线交于点E． (1)求的值； (2)求点E到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三线合一定理可知，，即可利用勾股定理求出，则； （2）过点作，垂足为，由角平分线性质可得，进而可得，可知，设，在中，由，即，求解即可． 【详解】（1）解：∵，，的平分线与边交于点， ∴，． 在中， ． ∴． （2）如图，过点作，垂足为． ∵平分，，， ∴． 又∵ ∴ ∴． 设 在中， 即 解得： ∴点到直线的距离为． 【点睛】本题主要考查了三线合一定理，勾股定理，角平分线的性质，角平分线的定义，解直角三角形，熟知三线合一定理是解题的关键． 【经典例题五 余弦的概念辨析】 【例5】（2024·河北邢台·一模）如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：在中，． 故选：C． 1．（2024九年级·全国·竞赛）已知为锐角，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，化简二次根式，根据锐角的余弦值小于1化简二次根式，然后根据绝对值性质即可得到答案． 【详解】解：在直角三角形中，表示的邻边与斜边的比值，是小于1的， ， ， 故选：B． 2．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）已知锐角满足，则 ． 【答案】35 【分析】本题考查正弦余弦关系．根据题意利用正弦余弦等值则角度互余，即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴，即：， 故答案为：35． 3．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，已知中，，，，，为边上的中线． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理和三角函数，熟练掌握相关知识即可解题． （1）运用余弦定义得到求得的长，再运用勾股定理即可求得的长； （2）运用，，再结合（1）结论运用勾股定理即可求得的长，从而求得的值． 【详解】（1）解：， ， 又，， ， ， ； （2）解：由（1）可知：， ， ， ， ， ． 【经典例题六 己知余弦求边长】 【例6】（2023·河南信阳·模拟预测）如图，在正方形中，对角线，交于点O，的平分线交于点E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，角平分线的性质等知识，过点E作于点F，判断出，均为等腰直角三角形，根据角平分线的性质得出，解求出，设，证明，求出，可得出，即可求解． 【详解】如解图，过点E作于点F． ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴，均为等腰直角三角形， ∵为的平分线， ∴． 在中，． 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∵，即， 解得， ∴． 故选：B． 1．（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）已知在中，，，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查锐角的三角函数，结合图形根据余弦函数的定义求解可得，熟练掌握余弦函数的定义是解题的关键． 【详解】如图， ∵，即， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海宝山·期中）在中，，，，那么 ．（结果用的锐角三角函数表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据余弦的定义可得． 【详解】解：在中，，，， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江西·期末）如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，． (1)求的长． (2)求的正弦值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了正弦与余弦、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握正弦与余弦的概念是解题关键． （1）先根据余弦的定义可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得； （2）先求出，利用余弦可求出的长，从而可得的长，再在中，利用正弦的定义求解即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是边的中点， ∴， 所以的长为5． （2）解：∵是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 所以的正弦值为． 【经典例题七 求角的正切值】 【例7】（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（    ） A．2 B．0.5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．根据三角函数的定义即可求出的值． 【详解】解：如图， ． 故选B． 1．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，，，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个角的正切值，勾股定理，先根据，，，运用勾股定理列式得，然后代入数值到进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，，是的角平分线，．将绕点A旋转，如果点C落在射线上，点B落在点E处，连接，那么的正切值为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、解直角三角形等知识，熟练掌握旋转的性质和相似三角形的性质是解答的关键．设，，先利用勾股定理和角平分线的定义，，再由旋转性质得，，，进而利用等腰三角形的性质得到， ，证明，求得，在中，利用正切定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵在中，，是的角平分线， ∴，， 如图，由旋转性质得，，， ∴，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，先计算零指数幂和特殊角三角函数值，再去绝对值后计算加减法即可． 【详解】解： ． 【经典例题八 正切的概念辨析】 【例8】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，设，，所对的边分别为a，b，c，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数的定义．根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题． 【详解】解：∵中，，、、所对的边分别为a，b，c， ∴，即，则A选项不成立，B选项成立； ，即，则C、D选项均不成立； 故选：B． 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角的三角函数值，根据锐角三角函数的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵，a，b，c分别为的对边， ∴； 故成立的是选项B； 故选B． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，，点D为的中点，线段的垂直平分线l交边于点E．设，，则y与x的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定、直角三角形斜中线定理、中垂线定理、正切的定义等知识点，综合运用这些性质和定理是解题的关键． 如图：连接，再证明可得求得BD2，再根据求得x与y的关系式即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，点D为的中点， ∴， ∴， ∵l是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即． 故答案为：． 3．（2024九年级下·全国·专题练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先在边上画点F，使，再在边上画点G，使； (2)在图2中，在对角线上画点H，使，再在直线上取一点P，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据相似三角形的性质作图即可求解； （2）先过点作的垂直线，再结合中位线的性质，作关于的对称点，根据题意连接即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，根据网格的特点，找到距离A点下方一个单位格点，距离B点上方三个单位长的格点，连接两格点交于，则， 同理找到右边的格点连线交于，连接，则，， ， ， ； 则即为所求， ； （2）解：如图2所示，根据题格点可得，找到点，使得， 则， ， ， 即于点， 作平行四边形，设交于点， 倍长找到，，延长交于，同理得，， 是关于的对称点， 连接交于点，点即为所求， ． 【点睛】本题考查了复杂作图，三角函数的定义，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质与判定，找出格点中符合题意角度的正切值是解题的关键． 【经典例题九 已知正切值求边长】 【例9】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点在第一象限，与x轴所夹锐角为，，则t的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形， 坐标与图形，过点A作轴于D，则，再解得到，即． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于D， ∵点在第一象限， ∴， ∵与x轴所夹锐角为，， ∴， ∴，即， 故选：C． 1．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，点为的重心，若，，那么的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的重心，三角函数，直角三角形的性质，勾股定理，由点为的重心可得为边的中线，为边的中线，，即得，进而由三角函数可得，再由勾股定理得，进而由直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得，据此即可求解，掌握三角形的重心的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，∵点为的重心， ∴为边的中线，为边的中线，， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，为边的中线， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，是边的中线，过点作，交延长线于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据正切的定义得，根据勾股定理得，根据直角三角形斜边上的中线的性质得，根据三角形中线的性质得，继而推出，最后在中利用勾股定理即可得解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是边的中线， ∴，， ∵， 又∵是边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形中线的性质，三角形的面积等知识点．根据正切值求边长是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知及边上一点C． (1)用无刻度的直尺和圆规在射线上求作点O，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，以点O为圆心，以为半径的圆交射线于点B，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点M，使点M到点C的距高与点M到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）作的垂直平分线交于，点O即为所作； （2）作是平分线交于，点即为所作； （3）由（2）可知，，由，可得，可求，由勾股定理得，，证明，则，设，由，，可得，可求，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，作的垂直平分线交于， 由垂直平分线的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴点O即为所作； （2）解：如图1，作是平分线交于， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， 如图1，作于， ∴， ∴点即为所作； （3）解：由（2）可知，， ∵， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得，， 由勾股定理得，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了作垂线，作角平分线，三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，正切，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握作垂线，作角平分线，三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，正切，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 1．（2024·广东·模拟预测）正方形网格中，如图所示放置（点A，O，C均在网格的格点上，且点C 在上），则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，勾股定理逆定理，找出边上的格点，连接，利用勾股定理求出、、的长度，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，然后根据正弦的定义计算即可得解． 【详解】如图，为边上的格点，连接， 根据勾股定理，， ， ， 所以，， 所以，是直角三角形， ． 故选：B． 2．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知正方形的边长为4，点P为边上任意一点，连接，以为边，在的右侧做正方形，连接，在点P由B运动到C的过程中，下列判断正确的是 嘉嘉说：有最小值，最小值为 琪琪说：点E所走的路程为    A．只有嘉嘉说的对 B．只有琪琪说的对 C．嘉嘉、琪琪说的都对 D．嘉嘉、琪琪说的都不对 【答案】C 【分析】在线段上取点，使得，连接，，由，，，得到，，由，，得到是等腰直角三角形，进而得到，，当时，取得最小值，此时是等腰直角三角形，，即可判断嘉嘉的说法，由是等腰直角三角形，得到，由点P为边上任意一点，得到，进而得到，点E所走的路程为，即可判断琪琪的说法， 本题考查了，正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，特殊角三角函数值，解题的关键是：连接辅助线构造全等三角形． 【详解】解：在线段上取点，使得，连接，，    ∵，， ∴，即：， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 当时，取得最小值， 此时是等腰直角三角形，，故嘉嘉说得对， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点P为边上任意一点， ∴， ∴，点E所走的路程为，故琪琪说的对， 故选：C． 3．（2023·安徽·模拟预测）如图①，在中，，，动点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，过点作于点，图②是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查动点函数的图象问题，根据题意可得的最大面积是，此时点D与点C重合，由的面积可求出，再根据特殊角可求出的长． 【详解】解：根据题意可知：的最大面积是，此时点与点重合，如图． 在中，，设，则，， ， 解得（负值舍去）． ， ． 在中，， ， ， ． 故选：C． 4．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦，余弦，正切的定义进行计算，即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键. 【详解】解：在中, 故选：． 5．（2024·安徽·模拟预测）如图所示，在矩形中，，平分，分别交、于点、，，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】证明，则，如图，连接，则，，由，可得，由平分，可得，则，，由，可得，则，由，可求，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 如图，连接， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，正切等知识．熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，正切是解题的关键． 6．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么的值为 ． 【答案】/ 【分析】先根据矩形的性质得， ，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据正弦函数的定义即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ， ∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处， ∴，， 在中，∵， ∴， 设，则 在中，∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，求正弦值，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理． 7．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在矩形中，，垂足为点E．若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查矩形的性质、正弦的定义、同角的余角相等．根据同角的余角相等，得到，再根据正弦定义即可解得的长． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 8．（22-23九年级上·全国·单元测试）在中，，，，则 【答案】8 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦、余弦的定义是解题关键． 根据题意得出，确定，然后再利用余弦求解即可． 【详解】解： ，， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：8． 9．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，在矩形纸片中，，，将沿翻折，使点落在处，为折痕；再将沿翻折，使点恰好落在线段上的点处，为折痕，连接．若，则 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查矩形的性质、折叠性质、勾股定理、解直角三角形，也考查学生图形分析能力和逻辑推理能力．连接，设，先判断，再利用勾股定理通过进行等量代换列出关于x的方程，然后解方程求得x值，进而可求解．本题中根据折叠性质得到，利用勾股定理求解是解答的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， 设，则， 由折叠性质得，，，，， ∴，则， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，又， ∴，即， 解得，， 当时，，，则，不满足题意，舍去； 当时，，，则，满足题意， ∴， 在中，， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，经过两点，交于点，连接的延长线交于点．若，，则的半径为 ．    【答案】 【分析】本题考查正切，圆的半径相等，勾股定理，连接，过点作于点， 得等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求出，结合，列关于的方程即可． 【详解】如解图，连接，过点作于点，   ，， 为等腰直角三角形， ，， ∴， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ， 的半径为． 11．（23-24九年级上·河南南阳·期末）在中，，，点是平面内不与点，重合的任意一点，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结，，． (1)观察猜想 如图①，当时，请直接写出线段与的数量关系：_______． (2)类比探究 如图②，当时，探究线段与的数量关系，并说明理由． (3)解决问题 当时，若，，，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或5 【分析】（1）根据旋转的性质得出是等边三角形，由证明是等边三角形，根据等边三角形的性质，利用证明，即可得结论； （2）根据等腰直角三角形点性质，利用三角函数得出，即可证明，利用相似三角形的性质即可得答案； （3）分点在外部和内部两种情况，利用（2）的结论及勾股定理分别求出的长，即可得答案． 【详解】（1）解：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，， ∴，， ∴是等边三角形，，， ∵在中，，， ∴是等边三角形，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 故答案为： （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 由旋转可知：，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，当点在外部时，设、交于点， 由（2）可知：， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴ ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 如图，当点在内部时，过点作于， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的长为或5． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关性质与判定定理是解题关键． 12．（24-25九年级上·上海·期中）如图，，，动点P、Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直移动到点A为止． (1)写出的长和的长关于时间t的函数； (2)经过多少时间后，与相似？ (3)在整个过程中，是否存在使的面积恰好为面积一半的情况，若存在，请问此时点Q运动了多少时间？若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，. (2)在中，；在中， (3)存在，在中，；在中， 【分析】（1）根据题意表示出和即可. （2）分情况讨论，当时，①若，则有，②若，则有，当时，点P与C重合．当时， 有．分别根据相似三角形的性质得出比例代入求出t的值即可. （3）当时，过点P、C分别作的垂线，垂足为D、E．再根据正弦的定义得出，,再根据三角形面积公式可得出，代入求解出t的值. 当时，点P与C重合．即代入求解出t的值. 【详解】（1）解：，， ∴，. （2）当时，①若，则有． ∴． ∵，，，， ∴， 解得：． ②∵，若，则有． ∴． ∴， 解得：．（不符合题意，舍去） 当时，点P与C重合． ∵，只有当时， 有． ∴． ∴， 解得：． 综上所述： 在中，当时，． 在中，当时，． （3）当时，过点P、C分别作的垂线，垂足为D、E． ∴，, 如果的面积恰好为面积一半， 那么， ∴， 得：， 解得：或者（舍去）． 当时，点P与C重合．即， 如果的面积恰好为面积一半， 那么， 解得：． 综上所述： 在中，当时，的面积恰好为面积一半． 在中，当时，的面积恰好为面积一半. 【点睛】本题主要考查了动点函数问题，列函数关系式，相似三角形的判定以及性质，正弦的定义等知识，掌握这些知识是解题的关键. 13．（23-24九年级上·广东梅州·期末）已知、、分别为中、、的对边，若关于的方程有两个相等的实根，且，判断的形状，并说明理由． 【答案】为等腰直角三角形，理由见解析 【分析】根据题意可得，且，结合勾股定理的逆定理得是直角三角形，再根据三角函数及得，即可得出结论． 【详解】解：为等腰直角三角形，理由如下： ∵关于的方程有两个相等的实根， ∴，且，即． ∴， ∴． ∴为直角三角形． ∵， ∴ ∴即， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，正弦、余弦，根据一元二次方程的根的情况，判断三角形的情况，掌握一元二次方程的根的情况与的关系是解决此题的关键． 14．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）如图，已知的直径，点P是弦上一点，连结，，求 (1)弦的长； (2)的正切． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）作于，则，由得到，得到，设，则，，由得到，由勾股定理得，求出的值即可得到答案； （2）由（1）得：，，，根据正切的定义进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，作于，则，   ， ， ， 设，则， ， ， 是的弦，， ， ，且是的直径， ， 在中，， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， ，， ； （2）解：由（1）得：，，， ． 【点睛】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、正切的定义，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． 15．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）图1、图2分别是的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A、B两点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各取一点C（点C必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C为顶点的三角形分别满足以下要求：    (1)在图1中画一个，使是以为边的直角三角形且； (2)在图2中画一个，使为等腰三角形，且，直接写出的长度． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析，或 【分析】本题考查锐角三角函数和勾股定理解直角三角形，等腰三角形的性质，充分利用格点特点，描点，画图是解题关键． （1）画一个是以为斜边的直角三角形，根据，得到，利用勾股定理求得的长度，然后利用格点的特点找点C即可； （2）为等腰三角形，且，则为三角形的腰，则，结合勾股定理和格点的特征确定点C的位置，然后利用勾股定理求的长度． 【详解】（1）∵当是以为斜边的直角三角形，时，则， ∴在中， 解得， 又∵ ∴如图1，即为所求；    （2）∵为等腰三角形，且，则为三角形的腰， ∴， ∵， ∴如图2，等腰三角形和等腰三角形即为所求 此时， ∴的长度为：或．    学科网（北京）股份有限公司 $$