北京市陈经纶中学2024-2025学年高一上学期期中诊断数学试卷

北京市陈经纶中学 2024-2025学年第一学期期中诊断 试卷编码：24-2501011102 高一 年级 数学 学科 第 1 页 共 10 页 北京市陈经纶中学期中诊断 高一 年级 数学 学科 （时间： 120 分钟 满分：150 分） 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四 个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“ x R， 2 0x  ”的否定是( ) （A） x R， 2 0x  （B） x R， 2 0x  （C） x R， 2 0x  （D） x R， 2 0x  2.下列函数中，在 ( 1,1) 上单调递增的是( ) （A） | | 1y x  （B） 1y x   （C） e xy  （D） 3y x 3. 已知 , ,a b cR， a b ，则下列不等式正确的是( ) （A） ac bc （B） 2( ) 0a b c  （C） 1 1 a b  （D） 2 2a b 4. 已知集合 1{ | ( ) 1} 2 xA x  , 2{ | 6 8 0}B x x x    ，则 RA C B =( ) （A）{ | 0}x x  （B）{ | 2 4}x x  （C）{ | 0 2 4}x x x  或 （D）{ | 0 2 4}x x x  或 5. 若 2 31( ) 3 a  ， 1 32( ) 3 b  ， 2 32( ) 3 c  ，则( ) （A） c a b  （B） c b a  （C） a c b  （D） b a c  6. 设 a R ，则“ 1a  ”是“函数 2( ) 2f x x ax   在 (1, ) 上是减函数”的( ) （A） 充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 7. 函数 3 ( ) 3 1x xf x   的图象大致为( ) （A） （B） （C） （D） 北京市陈经纶中学 2024-2025学年第一学期期中诊断 试卷编码：24-2501011102 高一 年级 数学 学科 第 2 页 共 10 页 8.设 f（x）是定义在 R上的奇函数，且 f（x）在（0，+∞）上单调递减， f（﹣7）＝0，则下列结论错误的是（ ） （A） ( )f x 在 ( ,0) 上单调递减（B） ( )f x 的图象与 x轴只有 2个公共点 （C） f（8）＜0 （D）不等式 ( ) 0f x  的解集为 ( , 7) (0,7)   9. 已知 ( )f x 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 ( ,0) 上单调递增．若实 数 a满足 | 1|(2 ) ( 2)af f   ，则 a的取值范围是( ) （A） 1 3( , ) 2 2 （B） 1 3( , ) ( , ) 2 2   （C） (0,2) （D） ( ,0) (2, )  10. 对于函数 ( )f x ，若 ( )f x x 则称 x为 ( )f x 的“不动点”，若 ( ( ))f f x x ，则称 x为 ( )f x 的“稳定点”，记 { | ( ) }A x f x x  ， { | ( ( )) }B x f f x x  ，则下列说法错误的是( ) （A）对于函数 ( )f x x ,有 A B 成立. （B）若 ( )f x 是二次函数，且 A是空集，则 B为空集. （C）对于函数 1( ) ( ) 2 xf x  ，有 A B 成立. （D）对于函数 ( ) bf x x  ，存在 (0, )b  ，使得 A B 成立. 二、填空题：本大题共 10 个小题，每小题 4分，共 40 分. 11. 函数 1( ) xf x x   的定义域是 . 12. 计算 1 3 3 227 log 4 log 9     ________． 13. 已知不等式 2 0ax bx c   的解集为 2x x   或 1x  ，则不等式 2 2 5 0bx ax c b    的解集是________． 14. 函数 ( 2) 2 ( ) 1 2( ) 1 2 x a x x f x x     是 R上的单调递减函数，则实数 a 的取值范围是 . 15. 已知函数 2 , 3, ( ) ( 1), 3. x x f x f x x      „ （ⅰ） 2(2 log 3)f  的值为________； （ⅱ）当 0x  时，方程 ( )f x x a  有且仅有一个实根，则实数 a的取值范围是______． 北京市陈经纶中学 2024-2025学年第一学期期中诊断 试卷编码：24-2501011102 高一 年级 数学 学科 第 3 页 共 10 页 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 85分.解答应写出文字说明，演算步骤 或证明过程。 16.（13 分）已知集合 2{ | 6 8 0}A x x x     ，集合 2 2{ | 4 3 0}B x x ax a    ． （Ⅰ）当 2a  时，求 BAð ； （Ⅱ）若 A B A ，求实数 a的值； （Ⅲ）设集合C B N ，若C中有且只有三个元素，请直接写出所有的集合C ． 17.（13 分）某公司计划投资 A，B 两种金融产品，根据市场调查与预测， A产品的利润 y1与投资金额 x的函数关系为 1 18018 10 y x    ，B 产品的利润 y2与投资金额 x 的函数关系为 2 5 xy  （注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有 100 万元资金， 并全部投入 A，B 两种产品中且均有投，其中 x 万元资金投入 A 产品． （1）请把 A，B 两种产品利润总和 y表示为 x的函数，并直接写出定义域； （2）在（1）的条件下，当 x 取何值时才能使公司获得最大利润？ 18. （14 分）已知定义域为 R的函数 2( ) 2 x x bf x a    是奇函数． （1）求 ,a b的值； （2）用定义证明 ( )f x 在 ( , )  上为减函数． （3）若对于任意 t R ，不等式 2 2( 2 ) (2 ) 0f t t f t k    恒成立，求 k的取值范围． 19.（15分）（1）若命题“ x R， 2 2 2 0x ax a    ”是真命题，求实数 a的取值范围； （2）求关于 x的不等式    2 2 2 0ax a x a    R 的解集． 北京市陈经纶中学 2024-2025学年第一学期期中诊断 试卷编码：24-2501011102 高一 年级 数学 学科 第 4 页 共 10 页 20.（15 分） 已知函数 2( )f x x ax  的最小值不小于-1，且 1 3( ) 2 4 f    ． （1）求函数 ( )f x 的解析式； （2）函数 ( )f x 在 [ , 1]m m  的最小值为实数m的函数 ( )g m ，若关于m的方程 ( )g m a 无 解，试确定实数 a的取值范围． 21（15分）已知集合 A为数集，定义   1, 0,A x A f x x A     .若  *, N,| 8A B x x x   ， 定义：              , 1 1 2 2 8 8A B A B A Bd A B f f f f f f        . (1)已知集合  1,2A  ，直接写出  1Af ，  2Af 及  8Af 的值； (2)已知集合  1,2,3A  ，  2,3,4B  ，C ，求  ,d A B ，  ,d A C 的值； (3)若  *, , 8, NA B C x x x  ∣ .求证：      , , ,d A B d A C d B C  . 北京市陈经纶中学 2024-2025学年第一学期期中诊断 试卷编码：24-2501011102 高一 年级 数学 学科 第 5 页 共 10 页 参考答案： 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四 个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D B C C A C B A D 二、填空题：本大题共 10 个小题，每小题 4分，共 40 分. 11. ( ,0) (0,1]  12. 13 3 13. ( , 3] [1, )   14. 15.（ⅰ）6 （ⅱ） (1,7] 三、解答题： 16.（13分）已知集合 2{ | 6 8 0}A x x x     ，集合 2 2{ | 4 3 0}B x x ax a    ． （Ⅰ）当 2a  时，求 BAð ； （Ⅱ）若 A B A ，求实数 a的值； （Ⅲ）设集合C B N ，若C中有且只有三个元素，请直接写出所有的集合C ． 【解答】 （Ⅰ）解：令 2 6 8 0x x    ，解得 2 4x  . …………………1分 当 2a  时， 2{ | 8 12 0}B x x x    ， 令 2 8 12 0x x   ，解得 2 6x  ． …………………3分 所以 { | 4 6}BA x x  ð ． …………………4分 （Ⅱ）解：由 2 24 3 ( )( 3 )x ax a x a x a     …………………5分 ①当 0a  时， B  ，符合题意 …………………6分 ②当 0a  时， { | 3 }B x a x a   ，此时不满足 A B A …………………8分 ③当 0a  时， { | 3 }B x a x a   若 A B A ，则需 2 3 4 a a    ，此时方程组无实数解．…………………10分 综上， 0a  ． …………………11分 （Ⅱ）解：{2,3,4}，{3,4,5} …………………13分 北京市陈经纶中学 2024-2025学年第一学期期中诊断 试卷编码：24-2501011102 高一 年级 数学 学科 第 6 页 共 10 页 18.（13分）某公司计划投资 A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润 y1与投资金额 x的函数关系为 1 18018 10 y x    ，B产品的利润 y2与投资金额 x的函数关 系为 2 5 xy  （注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有 100万元资金，并全部 投入 A，B两种产品中且均有投，其中 x万元资金投入 A产品． （1）请把 A，B两种产品利润总和 y表示为 x的函数，并直接写出定义域； （2）在（1）的条件下，当 x取何值时才能使公司获得最大利润？ 【解答】 解：（1）∵x万元资金投入 A产品，则剩余的 100﹣x（万元）资金投入 B产品，1分 ∴y＝18﹣ + ………3分 ＝38﹣ ﹣ ，………4分 x∈[0，100]；………5分 （2）由（1）得 y＝40﹣ ﹣ ，x∈[0，100]，………7分 ∴f（x）≤40﹣2 ………8分 ＝40﹣2 ＝28，………10分 当且仅当 ＝ 时，即 x＝20时等号成立，………11分 故分别用 20万元和 80万元资金投资 A、B两种金融产品，可以使公司获得最大利润， 最大利润为 28万元．………13分 18. （14分）已知定义域为 R的函数 2( ) 2 x x bf x a    是奇函数． （1）求 ,a b的值； （2）用定义证明 ( )f x 在 ( , )  上为减函数． （3）若对于任意 t R ，不等式 2 2( 2 ) (2 ) 0f t t f t k    恒成立，求 k的取值范围． 【解答】 解：（1） 因为 为 上的奇函数，所以 ， ．………2分 又 ，得 ．……… 4分 北京市陈经纶中学 2024-2025学年第一学期期中诊断 试卷编码：24-2501011102 高一 年级 数学 学科 第 7 页 共 10 页 （2） 任取 ，且 ，则……… 5 分 ……… 7 分 因为 ， 所以 ，又 ， ， 所以 为 上的减函数． ………9 分 （3） 因为 ，不等式 恒成立， 所以 ．………10 分 因为 是奇函数， 所以 ，………11 分 因为 为减函数， 所以 ．即 恒成立，………12 分 而 ．……… 13 分 所以 即 k的取值范围是 1( , ) 3   ． ……… 14 分 19.（15分）（1）若命题“ x R， 2 2 2 0x ax a    ”是真命题，求实数 a的取值范围； （2）求关于 x的不等式    2 2 2 0ax a x a    R 的解集． 【解答】 解：（1）∵ x R， 2 2 2 0x ax a    为真命题， 则函数 2 2 2y x ax a    与 x轴有交点，………1分 ∴  24 4 2 0a a     ，即 2 2 0a a   ，解得 1a   或 2a  ．……… 3分 ∴实数 a的取值范围是 1a   或 2a  ．………4分 （2）当 0a  时，不等式等价于 2 2 0x   ，即 1x   ； ………5分 北京市陈经纶中学 2024-2025学年第一学期期中诊断 试卷编码：24-2501011102 高一 年级 数学 学科 第 8 页 共 10 页 当 0a  时，原不等式化为  2 1 0x xa        ，………7分 当 2a  时，即 2 1 a    时，解得 2x a   或 1x   ；………9分 当 2a  时，即 2 1 a    时，原不等式即为  21 0x   ，解得 xR ； ………10分 当 2 1 a    时，即0 2a  时，解得 2x a   或 1x   ．………12分 当 0<a 时，原不等式化为  2 1 0x x a        ， 解得 21 x a     ．………14分 综上所述，当 2a  时，不等式的解集为 2{ |x x a   或 1}x   ；………15分 当 2a  时，不等式的解集为 R； 当0 2a  时，不等式的解集为 2{ |x x a   或 }1x ³ - ； 当 0a  时，不等式的解集为 1x x   ； 当 a<0时，不等式的解集为 21x x a          . 注：综上没写扣 1分 20.（15 分） 已知函数 2( )f x x ax  的最小值不小于-1，且 1 3( ) 2 4 f    ． （1）求函数 ( )f x 的解析式； （2）函数 ( )f x 在 [ , 1]m m  的最小值为实数m的函数 ( )g m ，若关于m的方程 ( )g m a 无 解，试确定实数 a的取值范围． 【解答】 解：（1） 因为 最小值不小于 ， 所以 ，………1分 即 ，………2分 又因为 ，所以 ，即 ，………3 分 北京市陈经纶中学 2024-2025学年第一学期期中诊断 试卷编码：24-2501011102 高一 年级 数学 学科 第 9 页 共 10 页 综上所述， ．………4分 所以 ．………5分 （2） 的对称轴为 ，………6 分 所以 ，即 时， ，…8 分 ，即 时， …9 分 时， ，……11 分 所以 ，……12 分 故 的值域为 ．……14 分 所以 ．……15 分 21.（15分）已知集合 A为数集，定义   1, 0,A x A f x x A     .若  *, N,| 8A B x x x   ， 定义：              , 1 1 2 2 8 8A B A B A Bd A B f f f f f f        . (1)已知集合  1,2A  ，直接写出  1Af ，  2Af 及  8Af 的值； (2)已知集合  1,2,3A  ，  2,3,4B  ，C ，求  ,d A B ，  ,d A C 的值； (3)若  *, , 8, NA B C x x x  ∣ .求证：      , , ,d A B d A C d B C  . 【详解】（1）集合  1,2A  ，   1, 0,A x A f x x A     则  1 1Af  ，   12Af  ，  8 0Af  ……3 分 （2）集合  1,2,3A  ，  2,3,4B  ，C ，              , 1 1 2 2 8 8A B A B A Bd A B f f f f f f        1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2                              , 1 1 2 2 8 8A CAC A Cd A C f f f f f f       1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3                 ……9分 北京市陈经纶中学 2024-2025学年第一学期期中诊断 试卷编码：24-2501011102 高一 年级 数学 学科 第 10 页 共 10 页 （3）由              , 1 1 2 2 8 8A B A B A Bd A B f f f f f f        ， 可得  ,d A B 的值即为两集合 ,A B中相异元素个数， 定义 ( )Card A 为集合 A中元素个数， 则     , ,d A B Card x x A B x A B     令  *, , , , , , ,| 8 NM N P Q R S T x x x   ， M N P Q R S T       ， , ,A M N R S B N P Q R C Q R S T           , 则   ( ) ( ) ( ) ( ), Card M Card Pd A B Card Q Card S      ( ) ( ) ( ) ( ), Card M Card Nd A C Card Q Card T      ( ) ( ) ( ) ( ), Card N Card Pd B C Card S Card T    则     2 ( ) ( ) ( ), ,d Card M CardA B d A C N Card P   2 ( ) ( ) ( )Card Q Card S Card T        , 2 ( 0, , ) 2 ( )Cad A B d A C d B rd M CarC d Q     ， 故有      , , ,d A B d A C d B C  . ……15分