小升初典型奥数：逆推还原问题(讲义)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

逆推还原问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 【知识点归纳】 1．逆推问题内容： 逆推问题还可称为还原问题，解答这类问题时，要根据题意的叙述顺序，由后向前逆推计算． 2．解题方法： （1）要根据题意的顺序，从最后一组数量关系逆推至第一组数量关系，这就是逆推法中去处顺序的逆推含义． （2）原题相加，逆推用减；原题相减，逆推用加；原题相乘，逆推用除；原题相除，逆推用乘，这就是逆推法中计算方法的逆运算含义． 【解题方法点拨】 解题思路： ①从结果出发，逐步向前一步一步推理． ②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算． ③列式时注意运算顺序，正确使用括号． 第二部分 典型例题 例题1：同学们可能知道，歌星、影星一般都不愿意公开自己的年龄．这个小故事说的就是一个记者千方百计要从一个女影星嘴里打听出她的年龄．影星不想说谎，却又不愿意把自己的年龄讲出来，于是就对记者说：“我年后岁数的倍，减去我年前岁数的倍，正好是我现在的年龄．”记者想了半天，还是没有想出来影星的年龄．同学们开动脑筋想一想，这个影星今年到底多少岁了？ 【答案】50岁. 【详解】可以假设影星现在的年龄是岁，那么她年前、年后的年龄分别是岁和岁.两者相差（岁），所以这个影星今年的年龄是岁. 同学们可以考虑一下，自己年后比年前的年龄大多少岁？自己的爸爸、妈妈年后又比年前的年龄大多少岁呢？我们会发现，都是岁.所以，这个影星今年的年龄是（岁）. 例题2：刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝。他第一口就喝了整瓶水的一半，第二口又喝了剩下的，第三口则喝了剩下的，第四口再喝剩下的，第五口喝了剩下的。此时瓶子里还剩0.5升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？ 【答案】3升 【分析】第五口喝了剩下的，那么还剩下，它对应的数量是0.5升，由此用除法求出第五口之前矿泉水的量，同理可以求出第四口之前、第三口之前……一直到原来的升数。据此列式解答即可。 【详解】 ＝3（升） 答：最开始瓶子里有3升矿泉水。 【点睛】解决本题运用倒推法，逆着喝水的顺序，从后向前推算，逐步找出最初的状态。 例题3：文具柜上的某种笔盒每次卖出一半时，就从仓库中调来15个补充．到第八次卖出一半后，恰好余下15个．文具柜原有这种笔盒的个数是多少个？ 【答案】30个 【分析】每次卖出一半余下15个，就补15个，这样不管多少次，始终余15个，所以原有笔盒的个数就是15×2． 【详解】15×2=30（个） 答：文具柜原有这种笔盒的个数是30个． 例题4：便民水果店卖芒果，第一次卖掉总数的一半多2个，第二次卖掉剩下的一半多1个，第三次卖掉第二次卖后剩下的一半少1个，这时只剩下11个芒果．求水果店里原来一共有多少个芒果？ 【答案】88个 【分析】第三次卖掉第二次卖后剩下的一半少1个，这时只剩下11个芒果，那么第二次卖后剩下：（11-1）×2=20（个）；第二次卖掉剩下的一半多1个，这是剩下20个，那么第一次卖后剩下：（20+1）×2=42（个）；第一次卖掉总数的一半多2个，剩下42个，则总数为（42+2）×2=88（个）． 【详解】{[(11－1)×2+1]×2+2}×2 =[（10×2+1）×2+2]×2 =（21×2+2）×2 =44×2 =88（个） 答：水果店里原来一共有88个芒果． 第三部分 高频真题 1．张、王、李、赵四个小朋友共有课外读物200本，为了广泛阅读，张给王13本，王给李18本，李给赵16本，赵给张2本。这时4个人的本数相等。他们原来各有多少本？ 2．同学们玩扔沙袋游戏，甲乙两班共有140袋沙袋，如果甲班先给乙班5只，乙班又给甲班8只，这时两班沙袋相等，两班原来各有沙袋多少只？ 3．袋里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共操作了5次，袋中还有3个球．问：袋中原有多少个球？ 4．一桶油，每次倒掉油的一半，倒了三次后连桶重8千克，已知桶重1.5千克，原来桶里有油多少千克？ 5．某人去银行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100元．这时他的存折上还剩1250元．他原有存款多少元？ 6．一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长一倍，40天能长到20厘米，问长到5厘米时要用多少天？ 7．甲、乙、丙、丁四人共做了 270 个零件，如果甲多做 10 个，乙少做 10 个，丙做的个数乘 2，丁做的个数除以 2，那么四人做的个数恰好相等。求甲、乙、丙、丁实际做的个数。 8．将小明奶奶今年的年龄依次减去15并乘，再加上4后除以，恰好是100岁，小明奶奶今年多少岁？ 9．学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦，第一次用去全长的一半还多2米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩9米，那么这根绳子原来有多少米呢？ 10．甲、乙各有糖若干块，每操作一次是由糖多的人给糖少的人一些糖，使得糖少的人的糖数增加一倍，经过三次这样的操作后，甲有5块糖，乙有12块糖，两个人原来的糖数分别是多少？ 11．淘气在做一道减法时，把减数个位上的9看成了3，把十位上的4看成了7，得到的结果是164，请你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢？ 12．第一次在一盒珠子中，取走总数的又4个，第二次取出余下的又3个，第三次取出余下的又2个，第四次取出余下的又1个，这时盒里还剩1个？问盒内原有珠子多少个﹖ 13．小巧、小亚、小红共有个玻璃球，小巧给小亚个，小亚给小红个，小红给小巧个，他们的玻璃球个数正好相等。小巧、小亚、小红原来各有多少个玻璃球？ 14．办公室有一桶水，第一天喝掉一半多1升，第二天喝掉剩下的一半多2升，第三天喝掉剩下的一半多3升，最后桶里还剩下2升水。问：原来桶里有多少升水？ 15．3个笼子里共养了78只鹦鹉，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的鹦鹉一样多。求3个笼子里原来各养了多少只鹦鹉？ 16．某工厂有、、、、五个车间，人数各不相等。由于工作需要，把车间工人的调入车间，车间工人的调入车间，车间工人的调入车间，车间工人的调入车间。现在五个车间都是30人。原来每个车间各有多少人？ 17．有铅笔若干支，分一半加1支送甲，分余下的一半加2支送乙，剩下的4支送丙，这些铅笔原有多少支？ 18．有一筐苹果，甲取出一半又1个；乙取出余下的一半又1个；丙取出再余下的一半又1个，这时筐里只剩下1个苹果。这筐苹果共值6元6角，问每个苹果平均值多少钱？ 19．小马虎在做一道加法题时，把一个加数个位上的9看作6，十位上的6看作9，结果和是174，那么正确的结果应该是多少呢？ 20．甲、乙、丙3人共有192张邮票。从甲的邮票中取出乙那么多给乙后，再从乙的邮票中取出丙那么多给丙，最后从丙的邮票中取出甲那么多给甲，这时甲、乙、丙3人邮票数相同，甲、乙、丙原来各有多少张？ 21．牛老师带着37名同学到野外春游。休息时，小强问：“牛老师您今年多少岁啦？”牛老师有趣地回答：“我的年龄乘2，减去16后，再除以2，加上8，结果恰好是我们今天参加活动的总人数。”小朋友们，你知道牛老师今年多少岁吗？ 22．有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克．先将甲桶油倒入乙、丙两桶，使它们各增加原有油的一倍；再将乙桶油倒入丙、甲两桶，使它们的油各增加一倍；最后按同样的规律将丙桶油倒入甲、乙两桶．这时，各桶油都是16千克．问：各桶原有油多少千克？ 23．、、三个试管中各盛有克、克、克水．把某种浓度的盐水克倒入中，充分混合后从中取出克倒入中，再充分混合后从中取出克倒入中，最后得到的盐水的浓度是．问开始倒入试管中的盐水浓度是百分之几？ 24．爸爸去银行取款．第一次取了存款的一半还多20元，第二次取了余下的一半还多30元，这时银行里还剩250元，爸爸原来有存款多少元？ 25．某小贩出售一筐苹果，第一天卖掉了全部的一半多2千克，第二天卖掉了余下的一半少2千克，这时筐内还剩下20千克苹果．问：这筐苹果原有多少千克？ 26．三个容器各放一些水，第一次从第一个容器倒一些水到另两个容器，使得它们的水分别增加到原来的2倍与3倍，第二次从第二个容器倒一些水到第一个与第三个容器中，使它们的水分别增加到3倍与2倍，第三次从第三个容器中倒一些水到第一个与第二个容器中，使它们的水都增加到2倍，这时三个容器中的水都为96毫升，原来三个容器中各有多少毫升水？ 27．把57个甜橙分成三袋，当第一袋再放上7个，第二袋拿去4个，第三袋减少一半时，三袋个数正好相等．原来三个袋里各有甜橙多少个？ 28．有一个财迷总想使自己的钱成倍增长，一天他在一座桥上碰见一个老人，老人对他说：“你只要走过这座桥再回来，你身上的钱就会增加一倍，但作为报酬，你每走一个来回要给我32个铜板．”财迷算了算挺合算，就同意了．他走过桥去又走回来，身上的钱果然增加了一倍，他很高兴地给了老人32个铜板．这样走完第五个来回，身上的最后32个铜板都给了老人，一个铜板也没剩下．问：财迷身上原有多少个铜板？ 29．有一堆棋子，把它三等份后剩一枚，拿去两份和另一枚，将剩下的棋子再三等份后还是剩下一枚，再拿去两份和另一枚，最后将剩下的棋子再三等份后还是剩下一枚，问原来至少有多少枚棋子？ 30．甲、乙、丙、丁四个小组同学按下列方法分配苹果：甲组取了全部的又81个，乙组取了甲组取后所剩下的又81个，丙组取了乙组取后所剩下的又81个，最后丁组取了丙组取后余下的和所剩下的81个。问甲组取了多少个苹果？ 31．第24届大冬会吉祥物专卖店购进一批吉祥物“冬冬”。开幕式当天上午卖出一半多30个，下午卖出剩下的一半少10个，还剩下200个。商店原来购进多少个？ 32．有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取出8个给乙堆后，甲、乙两堆的石子数就相等了；再从乙堆中取出6个给丙堆，乙、丙两堆的石子数也相等；此时又从丙堆中取2个给甲堆，使甲堆石子数是丙堆石子数的2倍，问：原来甲堆有多少个石子？ 33．有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚。问：原来至少有多少枚棋子？ 34．有一根电线，第一次用去了4m，又用去余下的一半；第二次用去了5m，又用去余下的一半，最后还剩下6m．问这根电线原来有多少米？ 35．池塘里生长着一种浮萍，这种植物在水面上繁殖，而且每天都能增长一倍，如果10天后，池塘里刚好长满这种浮萍，那么多少天后，池塘里的浮萍会正好占据了一半的水面？ 36．甲、乙、丙3人各有糖豆若干粒。甲从乙处取来一些糖豆，使自己的糖豆增加一倍；乙接着从丙处取来一些糖豆，使自己的糖豆也增加一倍；丙再从甲处取来一些糖豆，也使自己的糖豆增加一倍。现在3人的糖豆一样多。如果开始时甲有5l粒糖豆，那么最初乙有糖豆多少粒？ 37．三棵树上共有36只鸟，有4只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上，有8只鸟从第二棵树上飞到第三棵树上，有10只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上，这时，三棵树上的鸟同样多。原来每棵树上各有几只鸟？ 38．两个两位数相加，其中一个加数是73，另一个加数不知道，只知道另一个加数的十位数字增加5，个位数字增加1，那么求得的和的后两位数字是72．问另一个加数原来是多少? 39．甲和乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少，每次操作由糖多的人给糖少的人一些糖，使其糖数增加1倍；经过2005次这样的操作以后，甲有10块糖，乙有8块糖，请问：两个人原来分别有多少块糖？ 40．美红商店出售洗衣机，上午出售总数的一半多20台，下午售出剩下的一半少20台，结果还剩105台，美红商店原有多少台洗衣机？ 41．食堂买进一批大米，第一天吃了全部的一半少28千克，第二天吃了余下的一半少8千克，最后剩下122千克。这批大米共有多少千克？ 42．一瓶果汁，第一次喝了所有果汁的一半少50毫升，第二次喝了剩下果汁的一半多25毫升，这时瓶中还剩125毫升．这瓶果汁原有多少毫升？ 43．兄弟三人分24个桔子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数．如果老三先把所得的桔子的一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同．问：兄弟三人的年龄各多少岁？ 44．某商场春季优惠出售洗衣机，上午售出了总数的一半，下午售出剩下的一半后，还剩10台．这个商场原来有洗衣机多少台？ 45．程才到书店买书，他先用所带的钱的一半少8元买了本《数学大世界》，接着用剩下的钱的一半多1元买了本《数学探秘》，最后用剩下的钱的一半多2元买了本《趣味数学》，买完后还剩下13元。程才一共带了多少钱？ 46．3个探险家结伴去原始森林探险，路上觉得十分乏味就聚在一起玩牌。第一局，甲输给了乙和丙，使他们每人的钱数都翻了一番。第二局，甲和乙一起赢了，这样他们俩钱袋里面的钱也都翻了倍。第三局，甲和丙又赢了，这样他们俩钱袋里的钱都翻了一倍。结果，这3位探险家每人都赢了两局而输掉了一局，最后3人手中的钱是完全一样的。细心的甲数了数他钱袋里的钱发现他自己输掉了100元。你能推算出来甲、乙、丙3人刚开始各有多少钱吗？ 47．一堆西瓜，第一次卖出总数的多4个，第二次卖出余下的多2个，还剩2个．这堆西瓜共有多少个？ 48．甲、乙、丙3人的钱数各不相同．甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加两倍，结果丙的钱最多；最后丙又拿出一些钱给甲和乙，使他们的钱数各增加两倍，结果3人的钱数一样多．如果他们3人共有81元，那么3人原来的钱数分别是多少元? 参考答案： 1．61本；55本；48本；36本 【分析】用倒推法，求每个人原来各有多少本书，可以从最后结果50本开始，把给出的本数加上，收进的本数减去，就得到各人原有课外读物的本数。 【详解】（1）张原有读物的本数：50＋13－2＝61（本） （2）王原有读物的本数：50＋18－13＝55（本） （3）李原有读物的本数：50＋16－18＝48（本） （4）赵原有读物的本数：50＋2－16＝36（本） 答：张原有读物本，王原有读物本，李原有读物本，赵原有读物本。 【点睛】解这道题应该先明白这样一个道理，他们共有课外读物200本，经过互相交换后，这200本书的总数没有变化，仍然是200本。后来这4个人的本数相等时，每个人的本数是50本。 2．甲班原有67袋，乙班原有73袋 【分析】通过题中“甲乙两班共有140只沙袋”和“这时两班沙袋相等”这两个条件，我们可以知道甲、乙两班各有140÷2=70（袋），然后可以列表推算： 甲 乙 这时 70 70 第2次 70－8 70＋8 第3次 70－8＋5 70＋8－5 【详解】由分析可得， 最后甲、乙两班各有：140÷2=70（袋） 甲班原有：70－8＋5=67（袋） 乙班原有：70＋8－5=73（袋） 答：甲班原有67袋，乙班原有73袋沙袋． 3．34 【详解】利用逆推法从第5次操作后向前逆推．第5次操作后有3个，第4次操作后有（3—1）×2＝4（个），第3次……为了简洁清楚，可以列表逆推如下： 所以原来袋中有34个球． 4．52千克 【分析】由题意，倒了三次后连桶重8千克，已知桶重1.5千克，则油重（8-1.5）千克，每次倒掉油的一半，则第三次没倒前油重（8-1.5）×2，同理第二次没倒前油重（8-1.5）×2×2，第一次没倒前油重（8-1.5）×2×2×2． 【详解】（8-1.5）×2×2×2 =6.5×2×2×2 =52（千克） 答：原来桶里有油52千克． 5．5500元 【分析】由“第二次取余下的一半多100元”可知，“余下的一半少100元”是1250元，从而“余下的一半”是1250+100=1350（元） 余下的钱（余下一半钱的2倍）是：1350×2=2700（元） 用同样道理可算出“存款的一半”和“原有存款”． 【详解】[（1250+100）×2+50]×2=5500（元） 答：他原有存款5500元． 6．38天 【分析】本题考查的知识点是用逆推法或者叫还原法来解答趣味数学问题．解答时要理解，一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，40天能长到20厘米，逆推知道39天就长到10厘米，38天就长到5厘米，由此得出答案． 【详解】40-1-1=38（天） 答：长到5厘米时要用38天． 7．甲:50  乙:70  丙:30  丁:120 【详解】解：设恰好相等的数量为x， （x-10）+（x+10）+2x+x÷2＝270 解得x＝60 可得，甲:50，乙:70，丙:30，丁:120。 8．79岁 【分析】从最后的结果出发，如果小明奶奶的年龄不除以，那就是100× = 20（岁）；不加上4，就是20 – 4 = 16（岁）；不乘，就是16÷ = 64（岁）；最后再加上15就是奶奶今年的年龄． 【详解】（100×－4）÷+ 15 = 79（岁） 答：小明奶奶今年79岁． 9．米 【分析】根据题意，画图倒推分析如下：                         即：（米）；             即：（米）；    即：（米）； 【详解】[（15＋9－10）×2＋2]×2 ＝[14×2＋2]×2 ＝30×2 ＝60（米） 答：这根绳子全长60米。 【点睛】根据题意，画出线段图，倒推分析。 10．甲原来有7块糖，乙原来有10块糖． 【详解】试题分析：第三次操作后，甲有5块糖，乙有12块糖，那么这次操作是甲把糖给了乙，那么这之前，乙有12÷2=6块糖，甲有：5+6=11块糖；第二次操作如果是把乙的糖给甲，那么11不是2的倍数，所以不会增加1倍，所以仍是有甲给乙，那么第二次操作前，乙就有6÷2=3块糖，甲有11+3=14块糖；由于14是2的倍数，所以第一次操作是把乙的糖给甲，那么甲原来有14÷2=7（块），乙有3+7=10（块）． 解：第三次操作前，乙有：12÷2=6（块） 甲有5+6=11（块）； 6是2的倍数，而11不是2的倍数，所以第二次操作仍是甲给乙， 第二次操作前，乙有：6÷2=3（块）， 甲有：11+3=14（块）； 14是2的倍数，所以第一次操作是乙给甲， 那么原来甲有：14÷2=7（块） 乙有：3+7=10（块） 答：甲原来有7块糖，乙原来有10块糖． 点评：解决本题运用逆推的方法求解，关键是判断每一次操作都是谁给谁． 11．188 【分析】根据题意，减数个位上的9看成了3，也就是减数小了6；十位上的4看成了7，也就是减数大了30。故原数是：164＋30－6＝188。 【详解】164＋30－6＝188 答：正确的答案应该是188。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 12．解：第三次拿走后余下的是：（1+1）÷（1﹣）=4（个） 出第二次余下的是：（4+2）÷（1﹣）=9（个） 第一次余下的是：（9+3）÷（1﹣）=16（个） 这盒珠子原来的个数是：（16+4）÷（1﹣）=25（个） 答：盒内原有珠子25个．   【详解】【分析】从最后剩下的1个珠子入手，向前推，如果加上1个，正好是第三次取出后余下的一半，据此求出第三次拿走后余下的是（1+1）÷（1﹣）=4个珠子，这个结果再加上2个正好是第二次取出后余下的，据此可得出第二次余下的是：（4+2）÷（1﹣）=9个，这个结果再加上3个，就是第一次余下的1﹣=， 据此可得第一次余下的是（9+3）=16个，这个结果再加上4个，就是这盒珠子的1﹣=， 据此解决． 13．28个；29个；33个 【分析】由已知条件可知，小巧比原来多了个，小亚比原来多了个，小红少了个，三人一样多时，都是（90÷3）个，即30个；所以小巧原来有（30＋6－8）个，小亚原来有（30＋5－6）个，小红原来有（30＋8－5）个。 【详解】90÷3＝30（个） 30＋6－8＝28（个） 30＋5－6＝29（个） 30＋8－5＝33（个） 答：小巧、小亚、小红原来分别有28、29、33个玻璃球。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 14．50升 【分析】已知第三天喝掉剩下的一半多3升，最后桶里还剩下2升水，说明剩下的一半是（2＋3）升水，说明第三天原来一共有[（2＋3）×2]升水，也就是10升水；第二天喝掉剩下的一半多2升，剩下10升水，说明剩下的一半是（10＋2）升水，第二天原来一共有[（10＋2）×2]升水，也就是24升；第一天喝掉一半多1升，剩下24升水，说明一半是（24＋1）升水，第一天原来一共有[（24＋1）×2]升水，据此解答。 【详解】（2＋3）×2 ＝5×2 ＝10（升） （10＋2）×2 ＝12×2 ＝24（升） （24＋1）×2 ＝25×2 ＝50（升） 答：原来桶里有50升水。 【点睛】用倒推法求解还原问题是，每一步都要变成原来的逆运算，也可以画图帮助理解问题。 15．34只；24只；20只 【分析】3个笼子里的鹦鹉不管怎样取，78只的总数始终不变。变化后“3个笼子里的鹦鹉一样多”，可以求出现在每个笼里的是（78÷3）只，即26只。根据“从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里”，可以知道第1个笼子里原来养了（26＋8）只；再根据“从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里”，得出第个笼子里有：（26＋6－8）只，第3个笼子里原有（26－6）只。 【详解】78÷3＝26（只） 26＋6－8＝24（只） 26－6＝20（只） 答：第1个笼子里原来养了34只，第2个笼子里有24只，第3个笼子里原有20只。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 16．11人；38人；33人；32人；36人。 【分析】最后每个车间都是30人，逆着调入的顺序，列表倒推，逐步求出原来的状态。 【详解】采用倒推法，列表如下 单位：人 A车间 B车间 C车间 D车间 E车间 调整结束后 30 30 30 30 30 E往D调前 30 30 30 24 36 D往C调前 30 30 22 32 36 C往B调前 30 19 33 32 36 B往A调前 11 38 33 32 36 所以原来、、、、车间分别有11、38、33、32、36个工人。 答：原来A车间有11人，B车间有38人，C车间有33人，D车间有32人，E车间有36人。 【点睛】解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘。列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法。 17．26支 【详解】（4+2）÷=12（支） （12+1）÷=26（支） 答：这些铅笔原有26支． 18．3角 【分析】画线段示意图倒推分析如下： ； 从上面的线段图可以看出： 最后剩下的1个再加上丙取出的1个就是再余下的一半，即2个是再余下的一半，因此，再余下的就是：2×2＝4（个）；4个再加上乙取出的1个就是余下的一半，所以，甲取出后余下的就是：5×2＝10（个）；10个再加上甲取出的1个就是全筐的一半，所以，全筐苹果的总数是：11×2＝22（个）。22个苹果共值6元6角，于是可求出每个苹果平均值多少钱？先求有多少个苹果：{[（1＋1）×2＋1]×2＋1}×2＝22（个）；再求每个苹果平均值多少钱：66÷22＝3（角），每个苹果平均值3角钱。 【详解】{[（1＋1）×2＋1]×2＋1}×2 ＝11×2 ＝22（个） 66÷22＝3（角） 答：每个苹果平均值3角钱。 【点睛】根据题意，画出线段图，倒推分析。 19．147 【分析】我们可以这样理解这道题的意思：一个数（正确答案），由于小马虎两次错误的计算，变成了另一个数（错误结果），我们知道引起这种变化的原因是：①把个位上的9看作6，这就相当于把正确答案减少了：9−6＝3；②把十位上的6看作9，这就相当于把正确答案增加了：10×（9−6）＝30；这样原题就变成了“一个数减去3，再加上30，所得结果是174，求这个数。”我们只要把少加的加上，多加的减去，就可以求出正确的结果：174＋（9−6）−10×（9−6）＝147。 【详解】174＋（9−6）−10×（9−6） ＝174＋3−30 ＝147 答：正确的结果应该是147。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 20．88张；56张；48张 【分析】甲、乙、丙原共有192张邮票，经过三次交换后，甲乙丙三人仍有邮票192张，而且三人邮票数相同，即3人各有邮票：（192÷3）张，即64张。第三次交换从丙的邮票中取出甲那么多给甲，说明这次交换前甲有邮票（64÷2）张，丙有邮票：（64＋64÷2）张，依此类推，就可以推出答案了。 【详解】192÷3＝64（张） 丙有邮票：（64＋64÷2）÷2 ＝（64＋32）÷2 ＝96÷2 ＝48（张） 乙有邮票：（64＋48）÷2 ＝112÷2 ＝56（张） 甲有邮票：64÷2＋56 ＝32＋56 ＝88（张） 最后相等时各有64张，列表倒推如下： 甲（张） 乙（张） 丙（张） 最后 64 64 64 前次 32 64 96 再前次 32 112 48 原来 88 56 48 答：甲、乙、丙原有邮票数依次为88张、56张、48张。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 21．38岁 【分析】采用倒推法，我们可以从最后的结果“参加活动的总人数”即38倒着往前推。这个数没加上8时应是多少？没除以2时应是多少？没减去16时应是多少？没乘2时应是多少？这样依次逆推，就可以求出牛老师今年的岁数。没加上8时应是：38−8＝30；没除以2时应是：30×2＝60；没减去16时应是：60＋16＝76；没乘2时应是：76÷2＝38。 【详解】[（38−8）×2＋16]÷2 ＝[30×2＋16]÷2 ＝76÷2 ＝38（岁） 答：牛老师今年38岁。 【点睛】解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘。列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法。 22．甲：26千克   乙：14千克   丙桶：8千克 【详解】列表逆推如下： 甲桶 乙桶 丙桶 初始状态 4+14+8＝26 28÷2＝14 16÷2＝8 第一次变化 8÷2＝4 8+4+16＝28 32÷2＝16 第二次变化 16÷2＝8 16÷2＝8 16+8+8＝32 第三次变化 16 16 16 原来甲、乙、丙桶分别有油26千克，14千克，8千克． 23．12% 【详解】整个过程中盐水浓度在下降．倒入中后，浓度变为原来的；倒入中后，浓度变为中的；倒入中后，浓度变为中的．所以对于一开始倒入中的盐水浓度可以用倒推的方法，，即一开始倒入中的盐水浓度为． 24．1160元 【分析】250加上30就是第一次取款后的一半，相加后再加上20元就是总数的一半，这样就能计算出总存款数. 【详解】250＋30=280（元）， 280＋280＋20=580（元）， 580＋580=1160（元） 答：爸爸原来有存款1160元. 25．76千克 【详解】〔（20-2）×2+2〕×2=38×2=76（千克）　答：这筐苹果原有76千克. 解决这类一半多几，一半少几的还原法应用题，我们往往借助线段图来帮助我们解题．根据题意此题可以画图,图略 26．168毫升；88毫升；32毫升 【分析】为了使每一步之间的关系一目了然，列表从后面向前倒推如下；先在第一行填上三个96，第二行的前2个数是：，第3个数是：，第三行的第1个数是：，第3个数是：，第2个数是：，第四行第2个数是：，第3个数是：，第1个数是：，所以三个容器原来有水168毫升、88毫升、32毫升。 【详解】列表解答如下： 容器1 容器2 容器3 最终结果 96 96 96 第三次倒之前 48 48 192 第二次倒之前 16 176 96 原来 168 88 32 答：三个容器原来分别有水168毫升、88毫升、32毫升。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 27．8个、19个、30个 【分析】第一个袋子放上7个，第二个袋子拿去4的时候，总的甜橙数目为57+7-4=60（个）；这时3个袋子的甜橙数目比=1：1：2，则此时第一个袋子甜橙数为：60×=15（个），第一个袋子原有甜橙15-7=8（个），此时第二个袋子甜橙数为60×=15（个），第二个袋子原有甜橙15+4=19（个），此时第三个袋子甜橙数为60×=30（个）．所以原来三个袋子各有甜橙8个、19个、30个． 【详解】57+7－4=60（个），60÷（3+1）=15（个） 原来第一袋：15－7=8（个） 原来第二袋：15+4=19（个） 原来第三袋：15×2=30（个） 答：原来三个袋里各有甜橙8个、19个、30个． 28．31个 【分析】第5次以后，财迷只剩下32个铜板，相当于第5次过桥前手里有16个； 第4次过桥后给了老人32个，所以第四层结束以后手中有48个，相当于第4次过桥前手中有24个； 第3次过桥后给了老人32个，所以第3次结束以后手中有56个，相当于第3次过桥前手中有28个； 第2次过桥后给了老人32个，所以第2次结束以后手中有60个，相当于第2次过桥前手中有30个； 第1次过桥后给了老人32个，所以第1次结束以后手中有62个，相当于第1次过桥前手中有31个． 【详解】第五次后有：32÷2=16（个） 第四次后有：（32+16）÷2=24（个） 第三次后有：（32+24）÷2=28（个） 第二次后有：（32+28）÷2=30（个） 第一次原有：（32+30）÷2=31（个） 答：财迷身上原有31个铜板． 29．枚 【分析】根据“最后将剩下的棋子三等份还是剩一枚”，可知解题的关键是确定在“最后将剩下的棋子三等份”后，每一份是几枚棋子？再根据提问“原来至少有多少枚棋子”可知在“最后将剩下的棋子三等份”后，每一份是一枚棋子。据此采用倒推法，再结合列表法一一列举进行分析推理。 【详解】列表倒推如下： 一份 一份 一份 剩余 最后棋子数（枚） 1 1 1 1 前次棋子数（枚） 4 4 4 1 再前次棋子数（枚） 13 13 13 1 原来至少有棋子数（枚） 40 [（1×3＋1）×3＋1]×3＋1 ＝[4×3＋1]×3＋1 ＝13×3＋1 ＝39＋1 ＝40（枚） 答：原来至少有40枚棋子。 【点睛】本题考查了还原问题，本题的数量关系更加隐蔽、复杂，应如何解答呢？解答此题的关键是，根据提问“原来至少有多少枚棋子”可知在“最后将剩下的棋子三等份”后，每一份是一枚棋子。 30．256个 【分析】丙组取后余下的和所剩下的81个，是将余下的苹果是单位“1”，取了后，剩下的是81个，已知一个数的几分之几，求这个数，用除法得出丙取完剩下108个。 同理丙组取了乙组取后所剩下的又81个，也就是将乙组取后所剩的苹果个数看成单位“1”，取完后，又取了81个还剩下108个，也就是乙组取后所剩的苹果个数的是189个，则用除法得出乙组取后所剩的苹果个数是252个。 同理乙组取了甲组取后所剩下的又81个，也就是将甲组取后所剩的苹果个数看成单位“1”，取完后，又取了81个还剩下252个，也就是甲组取后所剩的苹果个数的是333个，则用除法得出乙组取后所剩的苹果个数是444个。 同理甲组取了全部的又81个，也就是将全部苹果个数看成单位“1”，取完后，又取了81个还剩下444个，也就是全部苹果个数的是525个，则用除法得出全部苹果个数是700个。 甲组取的苹果个数＝全部的苹果个数×＋81。 【详解】81÷（1－） ＝81÷ （个） （108＋81）÷（1－） ＝189÷ ＝ ＝252（个） （252＋81）÷（1－） ＝333÷ ＝ ＝444（个） （444＋81）÷（1－） ＝525÷ ＝ ＝700（个） 700×＋81 ＝175＋81 ＝256（个） 答：甲组取了256个苹果。 【点睛】解决复杂的还原问题，已知多个对象的变化过程和结果，求开始时各自的量，这类问题是较复杂的还原问题，常涉及倍数变化。一般情况下可以结合列表法来解决。 31．820个 【分析】根据线段图可知，上午卖出后的一半是200个与10个的差即190个；那么全部的一半就是190个的2倍与30个的和，据此求原来购进多少个。 【详解】 （个） 答：原来购进820个。 【点睛】本题考查逆推问题，关键是利用逆推的方法，找出两个“一半”所对应的具体的数量，由此列式解答即可。 32．26 【详解】解：设甲堆原来有x个石子，那么甲堆取出8个给乙堆后，甲乙两堆都是个石子；再从乙 堆中取出6个给丙堆，乙、丙两堆的石子数都变成（）个石子；此时又从丙堆中取2个给甲堆，那么甲堆石子数变成（）个，丙堆石子数变成（）个，有，解得．题目中的变化过程比较多，在设立未知数后，一步步跟上分析，把每一步的变化结果都用x的式子表示出来，最后建立等量关系． 33．85枚 【分析】棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为1枚，由此逆推出第一次四等分之前有多少枚棋子即可。 【详解】第三次分之前有： 1×4＋1 ＝4＋1 ＝5（枚）， 第二次分之前有： 5×4＋1 ＝20＋1 ＝21（枚）， 第一次分之前有： 21×4＋1 ＝84＋1 ＝85（枚） 答：原来至少有85枚棋子。 【点睛】本题考查了还原问题，有一定的逻辑推理能力是解题的关键。 34．38米 【分析】由“第二次用去了5m，又用去余下的一半，最后还剩下6m”可知6米是第二次用去5米后剩余长度的一半，那么第二次用去了5米后剩下6×2=12米，第二次没用5米之前是12=5=17米；则第一次用去了4米后剩下17×2=34米，因此这根电线原来长34+4=38（米）． 【详解】（6×2+5）×2+4 =（12+5×2）+4 =17×2+4 =34+4 =38（米） 答：这根电线原来有38米． 35．9天后． 【分析】解决此类问题的关键是抓住最后得到的数量，从后向前进行推理，得出结果． 【详解】每天增长1倍，就是前一天的2倍，如果10天后，池塘里刚好长满这种浮萍，那么它的前一天正好是一半，即9后池塘里的浮萍会正好占据了一半的水面． 10﹣1=9（天）， 答：9天后，池塘里的浮萍会正好占据了一半的水面． 36．85粒 【分析】分析题意，先利用乘法求出丙从甲取之前甲的糖豆数量。丙从甲取一些糖豆，使自己的糖豆增加1倍，并且此时三人的糖豆一样多，那么可以用甲的糖豆数量除以3乘2求出此时每个人的糖豆数量。从而利用除法求出乙未从丙处取之前的糖豆数量，再加上51粒求出乙最初有的糖豆数量。 【详解】丙从甲取之前，甲有：51×2＝102（粒） 102÷（1＋1＋1）×（1＋1） ＝102÷3×2 ＝68（粒） 乙未从丙处取之前有68÷2＝34（粒） 开始时，乙有糖豆34＋51＝85（粒） 答：乙有糖豆85粒。 【点睛】本题考查了还原问题，有一定的逻辑推理能力是解题的关键。 37．6只；16只；14只 【分析】这道题要采用倒推法，最后三棵树上的鸟同样多，那每棵数上就是：（36÷3）只，即12只；第一棵树上的鸟，先是飞了4只到第二棵树上，然后又有10只飞了回来，现在和原来比小鸟增加了6只，这样比较就能求出第一棵树上小鸟的只数；第二棵树上的鸟，先是飞来了4只，然后又有飞走了8只，现在和原来比少了4只，这样比较就能求出第二棵树上小鸟的只数；第三棵树上的鸟，先是飞来了8只，然后又飞走了10只，现在和原来比少了1只，这样比较就能求出第三棵树上小鸟的只数。 【详解】现在一样多的：36÷3＝12（只）； 第一棵树上的小鸟只数：12－10＋4＝6（只）； 第二棵树上的小鸟只数：12＋8－4＝16（只）； 第三棵树上的小鸟只数：12＋10－8＝14（只）； 答：第一棵树上有6只小鸟；第二棵树上有16只小鸟；第三棵树上有14只小鸟。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 38．48 【详解】另外一个加数的十位数字增加5，个位数字增加1后，其与73的和只能是172，不然和为272、372、472、…，则原来的另一个加数的位数超过2位． 所以，原来的另一个加数为172－73－5×10－1＝48． 39．甲5乙13． 【详解】试题分析：本题中两人的糖数和为18，是偶数，那么两人每步手中的糖数有两种情况：全为偶、全为奇，据此列表分析解答即可． 解： 周期为6，2005÷6=334…1，说明2005次操作和一次操作的作用效果是相同的， 那么有两种情况：甲14乙4或甲5乙13，结合题中条件甲比乙少，可知甲5乙13． 点评：解答此题的关键是弄清操作周期，类似于周期性问题． 40．380台 【分析】此题抓住剩下的105台，往前推算，105台再减去20台就是上午卖完剩下的一半，据此乘2，即可得出上午卖完剩下的是85×2=170台，170台，再加上20台，就是这批洗衣机的一半，据此乘2，就是洗衣机的总台数． 【详解】[（105-20）×2+20]×2 =[85×2+20]×2 =190×2 =380（台） 答：美红商店原有380台洗衣机． 41．400千克 【分析】需要从最后剩下122千克出发，一步步向前推。最后剩下了122千克，它是吃了余下的一半少8千克后剩下的，那么余下的一半就是（122－8）千克，再乘2就是第一次吃完剩下的，同样的方法，结合第一天吃了全部的一半少28千克，就可以求出原来大米的重量。 【详解】[（122－8）×2－28]×2 ＝[114×2－28]×2 ＝200×2 ＝400（千克） 答：这批大米共有400千克。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 42．500毫升 【分析】由“第二次喝了剩下果汁的一半多25毫升，这时瓶中还剩125毫升”，那么第二次没喝之前应为（125+25）×2=300（毫升）；由“第一次喝了所有果汁的一半少50毫升，是300毫升”，那么这瓶果汁原有（300-50）×2． 【详解】[(125+25)×2－50]×2 =[300－50]×2 =250×2 =500（毫升） 答：这瓶果汁原有500毫升． 43．16，10，7 【详解】由于总共有24个桔子，最后三人所得到的桔子数相等，因此每人最后都有24÷3＝8（个）桔子．由此列表逆推如下表： 老大 老二 老三 初始状态 14-（2÷2）＝13 8-（2÷2）＝7 2×2＝4 老三分过后 16-（4÷2）＝14 4×2＝8 4-（4÷2）＝2 老二分过后 8×2＝16 8-（8÷2）＝4 8-（8÷2）＝4 老大分过后 8 8 8 由上表看出，老大、老二、老三原来分别有桔子13，7，4个，现在的年龄依次为16，10，7岁． 44．40 【分析】我们可以根据题意，画出线段图进行分析思考． 结合上图，从“下午售出剩下的一半后还剩10台”向前倒推，上午售后剩下的一半，那么上午售出后剩下的台数就是10×2＝20台；而20台又正好是总数的一半，那么原有洗衣机的台数就是20×2＝40台． 【详解】10×2＝20台 原有洗衣机的台数：20×2＝40台． 答：这个商场原来有洗衣机40台． 45．108元 【分析】可以用逆推还原的方法。程才到书店买了三本书，第一本是《数学大世界》，第二本《数学探秘》，第三本是《趣味数学》。按照题目的意思画出线段图。 从线段图中可以得出买完《数学探秘》剩的钱是30元。 从线段图中可以得出买完《数学大世界》剩的钱是62元。 程才带了108元。 【详解】（13＋2）×2 ＝15×2 ＝30（元） （30＋1）×2 ＝31×2 ＝62（元） （62－8）×2 ＝54×2 ＝108（元） 答：程才一共带了108元。 【点睛】数学上有些问题，如果顺着题目条件的叙述去求解会感到很困难，但是如果改变思考的顺序，从最后一步出发，一步一步倒着往前推算，问题就很容易解决。这种思考问题的方法叫做还原法，用还原法来解决的问题称为还原问题。 46．260元；80元；140元 【分析】根据题意，假设最后每个人手中的钱是8份，三人总共24份，又在每一局重新变化后，三个人钱袋里的钱的总数是一个不变的数，由此，可从最后3人手中的钱是完全一样的出发进行倒推，求每一局重新变化以前三个人各自的钱的份数，再根据甲输掉了100元，求出每份代表的钱数，即可求他们三个人刚开始各有多少。列表倒推如下。 【详解】假设最后每个人手中的钱是8份，三人总共24份，列表解答如下： 甲 乙 丙 第三局后 8 8 8 第二局后 4 16 4 第一局后 2 8 14 开始 13 4 7 从开始到最后甲的份数少了：13－8＝5（份）， 每份的钱数是：100÷（13－8） ＝100÷5 ＝20（元） 13×20＝260（元） 4×20＝80（元） 7×20＝140（元） 所以刚开始时，甲有260元，乙有80元，丙有140元。 【点睛】本题考查了“还原问题”，我们可采用倒推法，再结合列举法进行分析推理。 47．16个 【详解】（2+2）÷（1-）=8（个） （8+4）÷（1-）=16（个） 答：这堆西瓜共有16个． 48．55,19，7 【详解】我们逐步还原： 甲 乙 丙 丙分后 27 27 27 乙分后 27÷(2+1)＝9 9 81－9－9＝63 甲分后 9÷(2+1)＝3 81－3－21＝57 63÷(2+1)＝21 甲分前 81－19－7＝55 57÷(2+1)＝19 21÷(2+1)＝7 即甲、乙、丙三人原来的钱数分别55、19、7元． 学科网（北京）股份有限公司 $$