1.1.1 空间向量及其线性运算讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.1　空间向量及其线性运算 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 【题型1】空间向量的概念 4 【题型2】空间向量的加减运算 8 【题型3】空间向量的数乘运算 11 【题型4】共线向量 14 【题型5】共面向量 17 知识点一　　　空间向量 (1)定义 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． (3)表示方法 几何表示法 空间向量用有向线段表示 字母表示法 如图，此向量的起点是A，终点是B，可记作a，也可记作A，其模记为|a|或|| (4)几类特殊的空间向量 ①零向量：长度为0的向量叫做零向量，记为0.当有向线段的起点A与终点B重合时，＝0. ②单位向量：模为1的向量叫做单位向量． ③相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a. ④相等向量：方向相同且模相等的向量叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量． 知识点二　　　空间向量的加减法 (1)定义 类似平面向量，定义空间向量的加法、减法运算(如图)： a＋b＝＋＝； a－b＝－＝. (2)加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a； ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 知识点三　　　空间向量的数乘运算 (1)向量a与λa的关系 λ的范围 方向关系 λ>0 方向相同 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 λ<0 方向相反 (2)空间向量的数乘运算律 设λ，μ是实数，则有： ①结合律：λ(μa)＝ (λμ)a. ②分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 知识点四　　　共线向量与共面向量 (1)共线(平行)向量 定义 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 充要条件 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 a＝λb 直线的方向向量 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得O＝λa.我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量 (2)共面向量 定义 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量 充要 条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 1．在空间，向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是长度相等，方向相反． 2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加、减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行． 3．空间向量进行减法运算时，一定要抓住向量的起点与终点，否则容易导致结果计算错误．如－，误写成，应为. 4．对于不共线的三点A，B，C，四点P，A，B，C共面⇔对空间任意一点O，都有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1. 5．证明(或判断)A，B，C三点共线时，只需证明存在实数λ，使＝λ(或＝λ)即可，也可用“对空间任意一点O，有＝t＋(1－t)”来证明A，B，C三点共线． 【题型1】空间向量的概念 （2024•腾冲市开学）下列关于空间向量的命题中，不正确的是　　例1 A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】 【分析】根据题意，利用向量、相等向量的定义依次分析选项，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于：由相等向量的定义，长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，正确； 对于：平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，错误； 对于：若两个向量不相等，但模长仍可能相等，例如不共线的单位向量，错误； 对于：相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，错误． 故选：． ◄ 点拨 ► 处理空间向量概念问题要关注的两个要素和两个关系 (1)两个要素 判断与空间向量有关的命题时，要抓住空间向量的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可． (2)两个关系 ①模相等与空间向量相等的关系：两个空间向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个空间向量(非零向量)的模相等是两个空间向量相等的必要不充分条件． ②向量的模与空间向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对空间向量来说是没有意义的．但空间向量的模是可以比较大小的． 【变式1】　（2023秋•新化县期末）下列说法正确的是　　 A．零向量没有方向 B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量 【变式2】　（2023秋•贵州月考）关于空间向量，下列四个结论正确的是　　 A．方向相反的两个向量是相反向量 B．任意两个空间向量总是共面的 C．零向量没有方向 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【变式3】　（2023春•牡丹江期末）下列命题中为真命题的是　　 A．向量与的长度相等 B．空间向量就是空间中的一条有向线段 C．若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 1．【答案】 【分析】利用空间向量的相关定义进行判断即可． 【解答】解：对于：零向量的方向是任意的，错误； 对于：空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小，正确； 对于、：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量， 所以中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，错误；符合定义，正确． 故选：． 2．【答案】 【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解． 【解答】解：对于，方向相反长度相等的向量是相反向量，故错误， 对于，空间中，任意两个向量是共面的，故正确， 对于，零向量的方向是任意的，故错误， 对于，两个不相等的向量模长可以相等，此时方向不相同，即为不相等的向量．故错误， 故选：． 3．【答案】 【分析】直接利用向量的定义，向量的模，向量和有向线段的关系判断、、、的结论． 【解答】解：对于：向量与的长度相等，方向相反，故正确； 对于：空间向量可以用有向线段表示，但是不是有向线段，故错误； 对于：若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，故错误； 对于：对于不相等的两个空间向量，它的模不一定不相等，故错误． 故选：． 【题型2】空间向量的加减运算 （2024春•南通期末）在三棱锥中，已知，是线段的中点，则　　例2 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，利用空间向量的基本定理求解即可． 【解答】解：连接，因为是线段的中点，所以， 因为， 所以； 所以． 故选：． ◄ 点拨 ► 1．空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加减法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果． 2．化简空间向量的常用思路 (1)分组：合理分组，以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简． (2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和． (3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)． 【变式1】　（2024春•湖北月考）空间四边形中，，，，点为中点，点为靠近的三等分点，则等于　　 A． B． C． D． 【变式2】　（2023秋•滕州市期中）在棱柱中，　　 A． B． C． D． 【变式3】　（2023秋•佳木斯期中）在直三棱柱中，若，，，则　　 A． B． C． D． 1．【答案】 【分析】利用向量的加减法规则，运算即可得出结果． 【解答】解：由题意，． 故选：． 2．【答案】 【分析】根据向量的加法运算法则直接计算． 【解答】解：． 故选：． 3．【答案】 【分析】根据空间向量线性运算的性质进行求解即可． 【解答】解：由已知得． 故选：． 【题型3】空间向量的数乘运算 （2024春•临夏州期末）如图，在平行六面体中，点，分别为，的中点，则　　例3 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用向量的线性运算求出结果． 【解答】解：在平行六面体中，点，分别为，的中点，则． 故选：． ◄ 点拨 ► 利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 【变式1】　（2023秋•叙州区期末）三棱柱中，为棱的中点，若，，，则　　 A． B． C． D． 【变式2】　（2023秋•淄博期末）如图，在四面体中，，分别为，的中点，为的重心，则　　 A． B． C． D． 【变式3】　（2023秋•新洲区期末）如图，在四面体中，点，分别是，的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，令，，，则　　 A． B． C． D． 1．【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算法则与向量相等的定义，求解即可． 【解答】解：． 故选：． 2．【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算，将用表示即可． 【解答】解：因为，分别为，的中点，所以． 因为为的重心，所以， 所以． 故选：． 3．【答案】 【分析】连接，，利用空间向量运算的几何表示求解． 【解答】解：连接，，如图所示， ． 故选：． 【题型4】共线向量 （2023秋•薛城区期末）已知为空间任意一点，，，，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为　　例4 A． B． C．1 D．2 【答案】 【分析】根据题意，分析可得，由空间向量基本定理可得，解可得的值，即可得答案． 【解答】解：因为，变形可得， 变形可得：， 又由为空间任意一点，，，，四点共面，但任意三点不共线． 则有，解可得． 故选：． ◄ 点拨 ► 1．判断空间向量共线的策略 (1)熟记空间向量共线的充要条件：①a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ，使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b. (2)判断空间向量共线的关键：找到实数λ. 2．证明空间三点共线的三种思路 对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使＝λ成立． (2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)． (3)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)． 【变式1】　（2023秋•邢台期末）在长方体中，下列向量与是相等向量的是　　 A． B． C． D． 【变式2】　（2024春•琼山区期末）若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3】　（2023秋•成华区期中）对于空间中的任意三个向量，，，它们一定是　　 A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量 1．【答案】 【分析】根据长方体的性质，结合相等向量的定义进行判断即可． 【解答】解：如图所示的长方体中， 对于：向量与方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确； 对于：向量与大小相等，方向相同，所以这两个向量相等，因此本选项正确； 对于：向量与方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确； 对于：显然向量与向量方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确． 故选：． 2．【答案】 【分析】根据平面向量的基本定理，可得答案． 【解答】解：对于，设，，则，显然不存在，使得等式成立，故正确； 对于，设，，则，利用对应关系，解得，故错误； 对于，设，，则，利用对应关系，即，解得，故错误； 对于，设，，则，利用对应关系，解得，，故错误． 故选：． 3．【答案】 【分析】根据空间向量共面定理，即可求解． 【解答】解：若，共线，则，，共线，也共面， 若，不共线，则由空间共面向量定理知，，，共面． 故选：． 【题型5】共面向量 （2024春•道里区期末）在空间四面体中，对空间内任意一点，满足，则下列条件中可以确定点与，，共面的为　　例5 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用共面向量基本定理求出结果． 【解答】解：由于空间内任意一点，满足，则下列条件中可以确定点与，，共面的， 故，解得． 故选：． ◄ 点拨 ► 证明空间向量共面、点共面的常用方法 (1)证明空间三个向量共面常用的方法 ①证明其中一个空间向量可以表示成另两个空间向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则空间向量a，b，c共面； ②寻找平面α，证明这些空间向量与平面α平行． (2)对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面 ①＝x＋y； ②对空间任一点O，＝＋x＋y； ③对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)； ④∥(或∥，或∥)． 【变式1】　（2024春•扬州期末）已知是三个不共面的向量，，且，，，四点共面，则实数的值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】　（2024春•宿迁期末）已知，，三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定，，，四点共面的是　　 A． B． C． D． 【变式3】　（2023秋•玉溪期末）已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则　　 A． B． C． D． 1．【答案】 【分析】直接利用向量的坐标运算和向量共面的充要条件求出结果． 【解答】解：已知是三个不共面的向量，，且，，，四点共面， 故，即，2，，，，，， 故，解得． 故选：． 2．【答案】 【分析】直接利用共面向量的充要条件求出结果． 【解答】解：根据向量共面的充要条件为：，且， 对于，不满足条件，故错误； 对于，故错误； 对于：由于，故错误； 对于：由于，，故正确． 故选：． 3．【答案】 【分析】根据空间向量共面定理求解即可． 【解答】解：由题意，，，，四点共面，则系数和为1，即，解得． 故选：． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $$