小升初典型奥数：工程问题(讲义)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

工程问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 【知识点归纳】 工程问题公式 （1）一般公式：工效×工时＝工作总量；　　工作总量÷工时＝工效； 工作总量÷工效＝工时． （2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式： 1÷工作时间＝单位时间内完成工作总量的几分之几； 1÷单位时间能完成的几分之几＝工作时间． （注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5…．特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便．） 解答工程问题利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等．抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间． 第二部分 典型例题 例题1：有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？ 【答案】12天 【详解】很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙. 设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份. 8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.由张、李合作需要 （60-4×8）÷（4+3）=4（天）. 8+4=12（天）. 答：这两项工作都完成最少需要12天. 例题2：有一批零件共450个。 （1）师徒俩一起加工这批零件，如果徒弟完成了全部的，师傅需要加工多少个零件才能全部完成任务？ （2）已知师傅单独完成需要12天，徒弟单独完成需要18天。现在，由徒弟先做3天，再由两人合作。两人需要再合作几天才能完成任务？ 【答案】（1）270个 （2）6天 【分析】（1）先用零件总数乘求出徒弟完成的数量，再用总数减去徒弟完成的数量即可； （2）把这批零件总数看作单位“1”，那么师傅的效率为，徒弟的效率为，根据：工作总量＝工作效率×工作时间，求出徒弟3天完成的工作量，再用单位“1”减去徒弟完成的工作量，用剩下的工作量除以师徒效率和即可求出合作完成时间。 【详解】（1）450－450× ＝450－180 ＝270（个） 答：师傅需要加工270个零件才能全部完成任务。 （2（1－3×）÷（＋） ＝（1－）÷ ＝× ＝6（天） 答：两人需要再合作6天才能完成任务。 【点睛】此题考查了分数乘、除法的应用，关键能够掌握工程问题的解题思路。 例题3：刘军、王强、李明三人合修一面墙。刘、王合修，6天修好围墙的；王、李合修，2天修好余下的；剩下的三人又合修5天才完成。他们共得工资1800元，根据按劳分配的原则，每人应分多少钱？ 【答案】李明分得560元；刘军分得330元；王强分得910元 【分析】把这项工程看作单位“1”，已知刘、王合修，6天修好围墙的，则剩余这项工程的（1－），王、李合修，2天修好余下的，根据分数乘法的意义，得王、李2天修好这项工程的（1－）×，也就是；剩下的三人又合修5天才完成，三人5天完成了这项工程的（1－－），也就是，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用÷6即可求出刘、王的工作效率和，用÷2即可求出王、李的工作效率和，用÷5即可求出三人的工作效率和；然后用三人的工作效率和减去刘、王的工作效率和，即可求出李的工作效率；用王、李的工作效率和减去李的工作效率，即可求出王的工作效率；用刘、王的工作效率和减去王的工作效率，即可求出刘的工作效率；又已知刘军工作了（6＋5）天，王强工作了（6＋2＋5）天，李明工作了（2＋5）天，根据工作总量＝工作时间×工作效率，代入数据分别求出三人各自的工作量占总工作量的几分之几；然后把总工资看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用总工资分别乘每个人工作量对应的分率，即可求出三人各自应得的工资。 【详解】（1－）× ＝× ＝ 1－－＝ 刘、王的工作效率和： ÷6 ＝× ＝ 王、李的工作效率和： ÷2 ＝× ＝ 三人的工作效率和： ÷5 ＝× ＝ 李的工作效率：－＝ 王的工作效率：－＝ 刘的工作效率：－＝ 李的工作量： ×（2＋5） ＝×7 ＝ 王的工作量： ×（6＋2＋5） ＝×13 ＝ 刘的工作量： ×（6＋5） ＝×11 ＝ 李分得的工资：1800×＝560（元） 王分得的工资：1800×＝910（元） 刘分得的工资：1800×＝330（元） 答：李明分得560元；刘军分得330元；王强分得910元。 【点睛】解答本题的关键是求出每个人各自的工作量占总工作量的分率，然后根据分数乘法进行按劳分配。 例题4：有10根大小相同的进水管给、两个水池注水，原计划用4根进水管给水池注水，其余6根给水池注水，那么5小时可同时注满。因为发现水池以一定的速度漏水，所以改为各用5根进水管给水池注水，结果也是同时注满。 （1）如果用10根进水管给漏水的水池注水，需要多少分钟注满？ （2）如果增加4根同样的进水管，水池仍然漏水，并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多少分钟？（结果四舍五入到个位） 【答案】（1）144分钟；（2）257分钟 【分析】（1）设每只进水管的工效为“1”，根据原计划的情况，可以求出A、B池的容量，再结合实际的情况，可以求出漏水的效率，然后计算10根进水管给漏水的A水池注水的效率，进而计算时间. （2）增加4根同样的进水管，一共14根，可以先假设同时注满，根据A、B池的容量之比，求出各自所需要的进水管数量，但由于进水管数量是整数，所以只能取临近的整数进行分类讨论。 【详解】（1）设每只进水管的工效为“1”，那么A池容量为4×5＝20，B池容量为6×5＝30； 当用5根进水管给B池灌水时需30÷5＝6小时，而在6小时内5只其水管给A池也是灌有30的水，所以漏了30—20＝10，因此漏水的工效为； （1）用10根进水管给漏水的A池灌水，那么需要的时间是： （ 小时） 2.4小时＝144分钟 答：需要144分钟注满。 （2）设A池需根，那么B池需14根，有， 所以有，化简解得。所以A池用7根或6根进水管，此时对应所需时间，分别为： ①当A池用7根进水管时： A：7根水管； 需时间小时＝225分钟； B：7根水管，需时间小时257分钟； 此时要把两个水池注满最少需要257分钟； ②当A池用6根进水管时： A：6根水管， 需时间小时277分钟； B：8根水管，需时间30÷8＝小时＝225分钟； 此时要把两个水池注满最少需要277分钟。 所以，要把两个水管都注满，最少需257分钟，7根水管注A池，7根水管注B池。 答：最少需要257分钟。 【点睛】本题考查的是工程问题，当有多种情况时，需要进行分类讨论。 第三部分 高频真题 1．甲、乙、丙三队要完成，两项工程，工程的工作量是工程工作量再增加，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成工程所需要的时间分别是天，天，天。现在让甲队做工程，乙队做工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做工程若干天，然后再与甲队合做工程若干天。问丙队与乙队合做了多少天？ 2．有一批工人完成某项工程，如果能增加 8个人，则 10天就能完成；如果能增加3个人，就要20天才能完成．现在只能增加2个人，那么完成这项工程需要多少天？ 3．有240个零件，平均分给甲、乙两个车间加工．乙车间有紧急任务，因此在甲车间开始加工了4小时之后才开始加工这批零件，而且比甲车间晚40分钟才完成任务．已知乙车间的效率是甲车间的3倍，那么甲车间每小时能加工多少个零件？ 4．有一堆黄沙，用大汽车运需运50次，如果用小汽车运，要运80次．每辆大汽车比小汽车多运3吨，这堆黄沙有多少吨？ 5．一项工作，甲单独做20天可以完成，乙单独做30天可以完成，现在两人合做，用16天就完成了工作，已知在这16天中甲休息了2天，乙休息了若干天．请问：乙休息了多少天？ 6．一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做18天完成。那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天？ 7．一项工程，由甲队单独工作需要15天完成，由乙队单独工作需要12天完成，由丙队单独工作需要10天完成．现在由甲、乙两个工程队共同工作了3天后，剩下的工程由丙队单独完成，丙队还需要几天才能完成这项工程？ 8．一水库原有存水量一定，河水每天入库．5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？ 9．一项工程，甲队独做需要天完成，乙队独做需要天完成，丙单独做需要天完成，现在由甲、乙、丙合作这项工作，在工作过程中，甲休息了天，乙休息了天，丙没有休息，最后把工作完成了．问完成这项工作一共用了多少天？ 10．师、徒两人合做 264 个零件，徒弟先做 4 小时后又和师傅合做了 8 小时才完成了任务．已知徒弟每小时比师傅少做 3 个，师傅每小时做多少个？ 11．修筑一条高速公里。若甲、乙、丙合作，90天可完工：若甲、乙、丁合作，120天可完工；若丙、丁合作，180天可完工，若甲、乙合作36天后，剩下的工程由甲、乙、丙、丁合作。还需多少天可完工？ 12．如图1，在正方体水箱侧面一条高线3等分处，有两个排水孔A和B，它们排水的速度相同且保持不变，现在以一定的速度从上面给水箱注水，如果打开A孔、关闭B孔，那么经过28分钟可将水箱注满；如果关闭A孔，打开B孔，那么需要32分钟水箱才能注满。若将水箱如图2放置，则两个孔正好位于高线的中点处，将两个孔都打开，以相同的速度从上面给水箱注水，注满水箱需要多少分钟？ 13．甲、乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半，甲完成任务的时乙加工了50个零件，甲完成3/5时乙完成了一半．问：这批零件共多少个？ 14．一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水。若只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满。又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍。则该水箱最多可容纳多少吨水？ 15．一项工程，甲单独干需要20天，乙单独干需要30天，现在由他们两人合干，又知甲在工作途中先请了3天事假，后因公事出差2天．求他们完成这项工程从开工到结束一共花了多少天？ 16．某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零件全部合格，甲种零件只有合格，两种零件合格的一共是42个，两种零件各生产了多少个？ 17．有160个机器零件，平均分给甲、乙两个车间加工，乙车间比甲车间晚3小时开工，所以比甲车间晚20分钟完成．已知甲车间加工1个零件和乙车间加工3个零件的时间相同，甲、乙两个车间加工1个零件各需要多长时间？ 18．一个空水池有甲、乙两根进水管和一根排水管，单开甲管需5分钟注满水池，单开乙管需10分钟注满水池，满池水如果单开排水管需要6分钟流尽．某次池中无水，打开甲管若干分钟后，发现排水管未关上，随即关上排水管，同时打开乙管．又过了同样时间，水池的注了水．如果继续注满水池，前后一共花了多少时间？ 19．蓄水池装有甲、乙两根进水管和丙出水管。单开甲进水管，注满空蓄水池需要4小时；单开乙进水管，注满空蓄水池需要5小时。单开丙出水管，排光一池水要3小时。现知池内有池水，如果按甲、乙、丙的顺序轮流各开1小时，多少小时后，第一次有水溢出水池？ 20．几个同学去割两块草地的草，甲地面积是乙地面积的4倍，开始他们一起在甲地割了半天，后来留下12人割甲地的草，其余人去割乙地的草，这样又割了半天，甲、乙两地的草同时割完了，问：共有多少名学生？ 21．甲、乙、两三人共加工735个零件，已知甲加工的零件个数是乙的，乙加工的零件个数是丙的．甲、乙、丙三人各加工零件多少个？ 22．一项挖土万工程，如果甲队单独做，16天可以完成，乙队单独做要20天能完成。现在两队同时施工，工作效率提高20%。当工程完成时，突然遇到了地下水，影响了施工进度，使得每天少挖了47.25方土，结果共用了10天完成工程。问整工程要挖多少方土？ 23．甲、乙、丙3队要完成A，B两项工程。B工程的工作量比A工程的工作量多。甲、乙、丙3队单独完成A工程所需时间分别是20天、24天、30天。为了同时完成这两项工程，先派甲队做A工程，乙、丙两队共同做B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程。那么，丙队与乙队合作了多少天？ 24．一项工程，甲队单独做需要12天完成，乙队单独做需要15天完成。 （1）甲、乙两队共同做6天，完成这项工程的几分之几？ （2）甲、乙两队共同做，完成这项工程的需要多少天？ 25．放满一个水池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2，3，4阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；如果同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成。问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分钟可以完成？ 26．一项工程，乙单独做需要17天完成；如果第一天由甲作，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，这校交替轮流做，那么比上次轮流的做法要多半天才能完成。甲单独做这项工作要多少天完成？ 27．某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天都能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天都能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天都能完成。那么这五个小队一起合作需要多少天才能完成这项工程？ 28．一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？ 29．一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的.打开A管，8小时可将满池水排空，打开C管，12小时可将满池水排空.如果打开A，B两管，4小时可将水排空.问打开B，C两管，要几小时才能将满池水排空？ 30．一项工程，甲15天做了后，乙加入进来，甲、乙一起又做了，这时丙也加入进甲、乙、丙一起做完。已知乙、丙的工作效率的比为3∶5，整个过程中，乙、丙工作的天数之比为2∶1，问题中情形下做完整个工程需多少天？ 31．甲、乙、丙三村准备合作修筑一条公路，他们原计划按派工，后因丙村不出工，将他承担的任务由甲、乙两村分担，由丙村出工资360元，结果甲村共派出45人，乙村共派出35人，完成了修路任务，问甲、乙两村各应分得丙村所付工资的多少元？ 32．一项工程，甲单独完成要30天，乙单独完成要45天，丙单独完成要90天．现由甲、乙、丙三个合作完成此工程．在工作过程中甲休息了2天，乙休息了3天，丙没有休息，最后把这项工程完成了．问这项工程前后一共用了多少天？ 33．王师傅每分钟能加工螺丝帽128个。他从10：20开始加工到11：00结束，王师傅共加工螺丝帽多少个？ 34．4月20日，甲、乙两个工程队同时从两侧挖山洞，甲队每天挖23米，乙队每天挖25米，山洞长480米。5月1日前能完成这项工程吗？ 35．一项工程，甲单独完成要10天，丙和乙单独完成各要20天，现三人一起合做，但甲途中因事离开，完成这项工程共用了6天．求甲做了几天？ 36．一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？ 37．某工程限期完成，甲队单独做正好按期完成，乙队单独做误期3天才能完成，现在两队合作2天后，余下的工程再由乙队独做，也正好按期完成．那么该工程限期是多少天？ 38．一件工程，甲单独做要小时，乙单独做要小时，如果接甲、乙、甲、乙…顺序交替工作，每次小时，那么需要多长时间完成？ 39．某车间按计划每天应加工 50 个零件，实际每天多加工 6 个零件，这样，不仅提前 3 天完成原计划加工零件的任务，而且多加工了 120 个零件，这个车间实际加工了多少个零件？ 40．甲、乙两项工程分别由一、二队来完成。在晴天，一队完成甲工作要12天，二队完成乙工程要15天；在雨天，一队的工作效率要下降，二队的工作效率要下降。结果两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨？ 41．一批零件平均分给甲、乙两人去做，经过6小时，甲完成了任务，乙还差96个没有做完．已知乙的工效是甲的，求这批零件共有多少个？ 42．一个水池装了一根进水管和3根粗细相同的出水管．单开一根进水管20分钟可将水池注满，单开一根出水管45分钟可将水池的水放完．现在水池中有池水，4根水管一起打开，多少分钟后水池的水还剩下？ 43．一件工作，甲单独完成需要30小时，乙单独完成，需要20小时，丙单独完成，需要40小时，现在这件工作甲乙合作3小时后，甲因有事离开了，又过3小时后，丙加入进来，直到工作完成，完成这件工作共用了多少小时？ 44．有一项工程，由小熊和小猴合做6天就能完成。若小熊、小猴分别单独做，则小熊完成该工程的与小猴完成该工程的所用的时间相同。如果按小熊、小猴、小熊、小猴……的顺序每位轮流做一天，则需要多少天才能完成任务？ 45．甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时。第二天三人又到两个大仓库工作，这两个仓库的工作量相同。甲在仓库，乙在仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16个小时将两个仓库同时搬完。丙在仓库搬了多长时间？ 46．李师傅加工一批零件，第一天加工了48个，第二天比第一天多加工25％，第三天比第二天多加工5％，三天共完成这批零件的95％．这批零件共有多少个？ 47．甲、乙、丙三人合修一堵围墙，甲、乙合修6天完成了，乙、丙合修2天完成余下工程的，剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成，现领工资共180元，按工作量分配，甲、乙、丙应各领多少元？ 48．一项工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要天，由丙单独做需要天完成，那么如果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天？ 49．一项工程，甲队单独完成需要10天，乙队单独完成需要12天，甲、乙两队合做5天后，由于甲队有新的工作任务，剩下的工程由乙队完成．乙队还要工作多少天？ 50．某工厂的一个车间，组装一批电脑．当每个工人在自己的岗位上工作时，9个小时可完成这项任务；如果交换工人A与B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可提前1小时完成这项任务；如果交换工人C与D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，也可提前1小时完成这项任务．问：如果同时交换A与B及C与D的工作岗位，其他工人生产效率不变，可以提前多少时间完成这项任务？ 51．一项工程，甲独做天完成，甲天的工作量，乙要天完成。两队合做天后由乙队独做，还要几天才能完成？ 52．某水池有甲、乙、丙3个放水管，每小时甲能放水100升，乙能放水125升．现在先使用甲放水，2小时后，又开始使用乙管，一段时间后再开丙管，让甲、乙、丙3管同时放水，直到把水放完．计算甲、乙、丙管的放水量，发现它们恰好相等．那么水池中原有多少水？ 53．甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高．甲乙两人合作6小时，完成全部工作的，第二天乙又单独做了6小时，还留下这件工作的尚未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？ 参考答案： 1．天 【分析】这个问题当中有两个不同的工程，三个不同的人，因此显得很难解决，数学中化归的思想很重要，即以一个为基准，把其他的量转化为这个量，然后进行计算，我们不妨设 A工程的工作总量为单位“1”，那么B工程的工作量就是“”，先求出总共的工作时间，再确定丙帮乙做了几天。 【详解】三队合作完成两项工程所用的天数为： （天） 天里，乙队一直在完成工作，因此乙的工作量为； 剩下的工作量应该是由丙完成，因此丙在工程上用了 （天） 答：丙队与乙队合作了天。 【点睛】本题考查的是工程问题，求解问题的关键是先整体考虑问题，得到工作时间是多少。 2．25天 【详解】将1人1天完成的工作量称为1份．调来3人与调来8人相比，10天少完成（8-3）×10=50（份）．这50份还需调来3人干10天，所以原来有工人50÷10－3＝2（人），全部工程有（2+8）×10=100（份）．调来2人需100÷（2+2）=25（天）． 3．24 【详解】40分钟＝小时，乙车间一共比甲车间少用了小时，时间乙车间的效率是甲车间的3倍，乙比甲少工作4－＝3小时，但都完成了120个零件．如果乙和甲的是一样的话，那么乙就会多完成240个零件，也就是说乙在3小时内可做240个零件，所以乙每小时完成的零件个数为240÷3＝72个，甲每小时完成72÷3＝24个零件． 甲每小时能加工24个零件． 4．400吨 【分析】把一堆黄沙的重量看作单位“1”，用大卡车装要50辆，如果用小卡车装要80辆．一辆大卡车装黄沙的，小卡车装货物的，3对应的分率是（-），用3除以（-）就是黄沙的总吨数． 【详解】解：3÷（-） =3× =400（吨） 答：这堆黄沙有400吨． 5．7天. 【详解】试题分析：甲队休息了2天，说明甲干了14天，然后假设乙没有休息干了16天，这样把甲乙的工作量加在一起，一定会超过单位“1”，超出的工作量就是乙休息的时间内的工作量，除以乙的工作效率就是乙休息的天数． 解：[×（16﹣2）+×16﹣1]÷ =[+﹣1]×30 =×30 =7（天） 答；乙队休息了7天． 点评：本题运用假设法进行解答，考查了学生思维创新的能力，解决问题的能力． 6．48天 【分析】根据题目给出的三种情况，可以分别求出甲、乙，乙、丙，丙、甲的工作效率，观察发现2（甲＋乙＋丙）＝（甲＋乙）＋（乙＋丙）＋（甲＋丙），可以求出甲、乙、丙的工作效率之和，进而求出丙的工作效率，以及丙所需的时间。 【详解】＋＋＝ 甲、乙、丙的工作效率之和为： ÷2＝ 那么丙单独工作的工作效率为： －＝ （天） 答：丙一个人来做，完成这项工作需48天。 【点睛】本题考查的是工程问题，求出丙的工作效率是求解问题的关键。 7．5天 【分析】这一项工程看作单位“1”，甲队单独工作需15天完成，甲队工作效率应是，乙队单独工作需要12天完成，乙队工作效率应是，丙队单独工作需10天完成，丙队工坐效率应是，现由甲、乙两队先共同工作3天，可完成这项工程的(＋)×3＝，还剩下1－＝ ，剩下的由丙队去完成，需要的天数÷． 【详解】[ 1－（＋）×3 ]÷ ＝5（天） 答：丙队还需要工作5天． 8．12台 【详解】水库原有的水与20天流入的水可供多少台抽水机抽1天？(台). 水库原有的水与15天流入的水可供多少台抽水机抽1天？(台). 每天流入的水可供多少台抽水机抽1天？(台). 原有的水可供多少台抽水机抽1天？(台). 若6天抽完，共需抽水机多少台？(台). 9．完成这项工作一共用了天． 【详解】略 10．15个 【详解】3×8=24（个） 264-24=240（个） 徒弟每小时做：240÷（4+8+8）=12（个） 师傅每小时做：12+3=15（个）． 答：师傅每小时做15个． 11．天 【分析】设这项工程为单位“1”，则甲＋乙＋丙的工作效率为，甲＋乙＋丁的工作效率为，丙＋丁的工作效率为，据此可以求出甲和乙的工作效率之和，然后求出甲、乙合作36天后，剩下的工程量是多少，再除以甲、乙、丙、丁的工作效率之和即可。 【详解】甲＋乙＋丙的工作效率为，甲＋乙＋丁的工作效率为，丙＋丁的工作效率为； 那么甲＋乙的工作效率为： 甲＋乙＋丙＋丁的工作效率为； 因此剩下的工程还需要： （天） 答：还需60天可完工。 【点睛】本题考查的是工程问题，工程问题中，工作时间＝工作总量÷工作效率。 12．48分钟 【分析】将水箱内水量看作单位“1”。设只进水的时间设为x分钟，即进水又排水的为y分钟。一定的速度从上面给水箱注水，当打开A孔、关闭B孔，就是当水到了A的高度时也就是的正方体时，开始排水了，也就是直接进水了2个进水的时间＋1个进水和出水＝2x＋y＝28，那么y＝28－2x；当关闭A孔，打开B孔，就是当水到了B的高度时也就是的正方体时，开始排水了，也就是一个进水时间＋2个的进水和出水＝x＋2y＝32。这样只进水的效率是，进水和排水的总效率是，这样只排水的效率为。同时开两个排水管的效率就是，那么两个排水和一个注水的效率就是。注入一半的时候就是这个正方体分成3份的一半，也就是，这个一半只进水，用的时间为12分钟，后面的一半也是是的进水速度是，时间为36分钟。合在一起就是48分钟。 【详解】设只进水的时间设为x分钟，即进水又排水的为（28－2x）分钟 （分钟） （分钟） （分钟） 12＋36＝48（分钟） 答：注满水箱需要48分钟。 【点睛】本题是将水箱内水量看作单位“1”。工作时间＝工作总量÷工作时间，且本题的工作效率都是水量增加的工作效率。 13．360个 【详解】甲完成时乙完成了一半，效率比为6：5．所以乙加工50个零件的时候甲应该加工了60个．占．所以甲的总任务180个．这批零件为360个． 14．吨 【分析】 由于乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍。那么甲管注入18吨水的时间是乙管注入36吨水的时间，甲管注入18吨水的时间与乙管注入27吨水的时间比是4∶3，也就是这两种情况下丙管注水的时间比为4∶3，可以求出当甲管注入18吨水时丙管注水多少吨，甲管的注水量加上丙的注水量，得到总的注水量。 【详解】甲管注入18吨水的时间是乙管注入： （吨） 甲管注入18吨水的时间与乙管注入27吨水的时间比是： 那么在这两种情况下丙管注水的时间比为，而且前一种情况比后一种情况多注入吨水； 则甲管注入18吨水时，丙管注入水： （吨） （吨） 答：该水箱最多可容纳54吨水。 【点睛】本题将工程问题与比例问题相结合，当时间一定时，工作总量与工作效率成正比例关系。 15．15天 【详解】×(3+2)= (1-)÷（+） =÷ =10（天） 10+3+2=15（天） 答：他们完成这项工程从开工到结束一共花了15天． 16．甲种零件30个，乙种零件18个 【分析】我们可以根据“两种零件合格的一共42个”建立等式，可列出方程． 【详解】解：设生产乙种零件为x个，则生产甲种零件为x＋12个． （x+ 12）× +x= 42 x+= 42 x= 18 甲种零件个数为：18+12=30（个） 答:甲种零件生产了30个，乙种零件生产了18个． 17．甲：3分钟   乙：1分钟 【详解】解：设乙车间加工一个零件的时间为X分钟，则甲车间为3X分钟 3小时=180分 160÷2=80（个） 80×3X-80X=180-20 160X=160 X=1 3×1=3 答：甲车间加工1个零件需3分钟,乙车间需1分钟. 18．4分钟 【分析】一方面，可以根据：第一段注入的水+第二段注入的水=，列出方程来求解． 另外，由题目知甲、乙管及排水管的工效率以及两上阶段所用时间相等，可求出工作效率和，进而求解． 【详解】解法一：设打甲管未发现排水管关上这段时间为x分钟，列出方程得： 那么注满水池共需 解法二：甲管的工作效率为，排水管的工作效率为，那么在单开甲管，没有发现排水管未关上这段时间内，每分钟只能注入：的水；又关上排水管，同时打开乙管后每分钟注入：的水． 我们又知道这段时间相等．所以，可以认为用的工作效率之和注水若干分钟后，水池注入，以后继续注水时间为．因此，注满水池，前后一共花了1.5+2.5=4(分钟)． 答：注满水池共用4分钟． 19．小时 【分析】假设水池总量为整数（计算方便），计算出甲、乙进水管的注水效率及丙出水管的排水效率。把按甲、乙、丙的顺序轮流各开1小时看作一个周期，计算一个周期的注水量是多少。假设最后一个周期内甲乙注水后没有溢出，用总水量的减掉甲乙各开1小时注入的水除以一个周期的注水量计算出需要几个这样的周期是否还有剩余的水量。根据周期数计算按照完整周期注水后，剩余的水量，甲乙丙依次工作所需的时间，据此解答。 【详解】设水池总量为60 甲管每小时进水60÷4＝15 乙管每小时进水60÷5＝12 丙管每小时进水60÷3＝20 已经有水 甲、乙各开1小时，进水15＋12＝27 甲、乙、丙各开1小时，进水27－20＝7 为保证最后的周期里甲、乙先各开1小时后水是未溢出的，从需要注入的水量里扣除。 （60－10－27）÷7 ＝23÷7 ＝3……2 剩余水量为2，说明是可以注水4个周期的，这时水池还差的水量是 60－10－7×4 ＝50－28 ＝22 甲再开1小时后还差22－15＝7 乙还需再开7÷12＝（小时） 一共需要的时间： 3×4＋1＋ ＝13＋ ＝（小时）。 答：小时后，第一次有水溢出水池。 【点睛】本题考查复杂的工程问题，因为甲乙先注入的水量比一个周期内的注水量多很多，所以假设最后一个周期内甲乙先注水后没有溢出，并应用这一条件计算周期数和剩余水量是解题的关键。 20．20名 【分析】有12人全天都在甲地割草，设有人上午在甲地，下午在乙地割草。由于这些人在下午能割完乙地的草，也就是甲地草的，所以这些人在上午也能割甲地的草，所以12人一天割了甲地 的草。 【详解】设甲的草量是“1”，那么乙的草量是“”； 有些人上午在甲地，下午在乙地割草，这些人在下午能割完乙地的草，所以这些人在上午也能割甲地的草，所以12人一天割了甲地的草； 每人每天割草为，全部的草为甲地草的，，所以共有20名学生。 答：共有20名学生。 【点睛】本题考查的是工程问题，也可以设下午在乙地割草的人数是未知数，根据总草量列方程求解。 21．甲：210个  乙：245个  丙：280个 【详解】乙加工：735÷（+1+1÷） =735÷3 =245（个） 甲：245×=210（个） 丙：245÷=280（个） 答：甲加工零件210个，乙加工零件245个，丙加工零件280个． 22．1100方土 【分析】先求出两队同时施工的工作效率之和，以及遇到地下水后的工作效率之和，求出47.25方土，占总的工程量的几分之几，然后根据量率对应求出总的工程量。 【详解】甲、乙合作时工作效率为： （＋）×（1＋20%） ＝ ＝ 则的工程量需÷＝（天） 则遇到地下水后，甲、乙两队又工作了10－＝（天） 则此时甲、乙合作的工作效率为÷＝ 遇到地下水前后工作效率的差为：－＝ 则总工作量为47.25÷＝1100（方） 答：整工程要挖1000方土。 【点睛】本题考查的是工程问题，需要注意的是施工过程中，工作效率是变化的。 23．15天 【分析】先整体考虑，求出三人完成A，B两项工程所需要的时间，然后求出这段时间里乙完成的工程量，B剩下的一部分工程量是丙完成的，求出这部分的工程量是多少，除以工作效率即可。 【详解】设A项工程的工程总量为“1”，那么B工程的工程总量为，A、B两项工程的工程总量为1＋＝； 而甲、乙、丙合作时的工作效率为＋＋＝，甲、乙、丙始终在同时工作，所以两项工程同时完成时所需的时间为÷＝18（天） 在这18天，乙完成18×＝的工程量，则B工程中剩下的－＝的工程量是由丙帮助完成，即÷＝15（天） 答：丙队与乙队合作了15天。 【点睛】对于这种“帮忙型”的工程问题，整体考虑是解题的关键，先整体分析，再局部分析。 24．（1）；（2）5天 【分析】（1）甲队工作效率，乙队工作效率，甲乙两队工作效率之和是，再运用工作效率×时间＝工作量； （2）工作量是，工作效率是，根据工作量÷工作效率＝工作时间。 【详解】（1）6×（） ＝6× ＝ 答：完成这项工程的。 （2）÷（） ＝÷ ＝5（天） 答：需要5天。 【点睛】灵活运用公式：工作量÷工作效率＝工作时间。 25．分钟 【分析】1、2、3号阀门的效率之和是；2、3、4号阀门的效率之和是；1、3、4号阀门的效率之和是 ；1、2、4号阀门的效率之和是；据此可以求出1、2、3、4号阀门的效率之和，然后再计算时间。 【详解】根据条件，列表如下（画○表示阀门打开，画×表示阀门关闭）： 1号 2号 3号 4号 工作效率 ○ ○ ○ × × ○ ○ ○ ○ × ○ ○ ○ ○ × ○ 从表中可以看出，每个阀门都打开了三次，所以这4个阀门的工作效率之和为： 那么同时打开这4个阀门，需要（分钟） 答：18分钟可以完成。 【点睛】本题考查的是工程问题，四个量任意三个相加的和再相加，得到的和是四个量之和的3倍。 26．8.5天 【分析】如果两人轮流做完的天数是偶数，那么不论甲先还是乙先，两种轮流做的方式完成的天数必定相同。现在乙先比甲先要多用半天，说明甲先时，完成的天数一定是奇数。于是可表示为： 竖线左边的工作量相同，右边的工作量也相同，说明乙做一天等于甲做半天，乙做17天相当于甲做8.5天。 【详解】17÷2＝8.5（天） 答：甲单独做这项工作要8.5天完成。 【点睛】此题关键是理清甲先时，完成的天数一定是奇数，通过分析可得乙做一天等于甲做半天。 27．6天 【分析】我们注意到，在题目中二、四、五每支队都恰出现两次，一、三两支小队恰出现三次，因此题目中四种方式的效率总和为5个小队效率和的2倍再加上一、三两支小队的效率和。因此，再加上一个二、四、五3支小队效率和，得到的结果就应该是5个小队效率的3倍。再由此效果得出天数即可。 【详解】由分析可知，我们有以下公式： （一＋二＋三＋四＋五）×3＝（一＋二＋三）＋（一＋三＋五）＋（二＋四＋五）×2＋（一＋三＋四）。 所以，5支小队效率和为： ＝ ＝ 1÷＝6（天） 答：这五个小队一起合作需要5天才能完成这项工程。 【点睛】解决本题的关键是求出5支小队效率和。 28．54分钟 【分析】水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的. 【详解】先计算1个水龙头每分钟放出水量. 2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4×60= 240（立方米）. 时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240÷（5×150-8×90）=8（立方米）， 8个水龙头1个半小时放出的水量是8×8×90， 其中 90分钟内流入水量是 4×90，因此原来水池中存有水8×8×90-4×90=5400（立方米）. 打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要5400÷（8×13-4）=54（分钟）. 答：打开13个龙头，放空水池要54分钟. 29．4小时48分 【分析】本题也要分开考虑，水池原有水（满池）和渗入水量.由于不知具体数量，像工程问题不知工作量的具体数量一样.这里把两种水量分别设成“1”.但这两种量要避免混淆.事实上，也可以整数化，把原有水设为8与12的最小公倍数 24. 【详解】设满水池的水量为1. A管每小时排出+1小时渗入水量，A管4小时排出+4小时渗入水量， 因为A、B合开时，4小时将满池水排完，所以B管4小时的排水量为，每个小时排水量为÷4=. C管每小时排水量是+1小时的渗水量，因此，B，C两管齐开，每小时排水量是++1小时的渗水量，B，C两管齐开，排光满水池的水，所需时间是 1÷（+）=4（小时）=4小时48分. 答： B，C两管齐开要4小时48分才将满池水排完. 30．天 【分析】甲的工作效率可以直接求出来，把乙、丙的工作效率设为未知数，根据题目的工作方式，表示出乙和丙各自的工作时间，根据工作时间之比列方程求解。 【详解】显然甲的工作效率为设乙的工作效率为，那么丙的工作效率为； 所以有乙工作的天数为； 丙工作的天数为 且有 即 解得 所以乙的工作效率为，丙的工作效率为高； 那么这种情形下完成整个工程所需的时间为： （天） 答：做完整个工程需27天。 【点睛】本题考查的是工程问题与比例问题，设未知数的时候设一份量比较方便。 31．元 【分析】丙村出的360元钱应该是其他两个村帮他完成的工作量，换句话说，我们应该考虑的是甲乙两村各帮丙村出了多少人，然后再计算如何分配。 【详解】甲、乙两村共派出了人，而这80人，按照原计划应是甲村派出人，乙村派出32人，丙村派出12人； 所以，实际上甲村帮丙村派出了人，乙村帮丙村派出了人，所以丙村拿出的360元钱，也应该按来分配给甲、乙两村，所以，甲村应分得： ＝360÷4×3 ＝270（元） 乙村应分得：元。 答：甲村分到270元，乙村分到90元。 【点睛】本题考查的是工程问题与比例问题，注意这里是按照工程量分配，而不是按照人数分配。 32．17天 【分析】本题实际上是求丙一共工作了天数，解题的关键在于怎样处理三个人工作时间不一致的问题．我们可进行如下处理：以丙的工作天数为所求，把甲、乙两人看作未休息，在工作总量上加上甲、乙丙人未休息所作的工作量，这样就可以看作三个人的工作时间相同，即丙的工作时间，从而求出这个数． 【详解】把这项工程看作“1”，指甲休息2天，乙休息3天的工作量加在总工作量上，看成三人的工作时间与丙相同． 答：完成这项工程前后一共用了17天． 33．5120个 【分析】经过时间＝结束时间－开始时间，据此求出王师傅的工作时间。用工作时间乘每分钟加工螺丝帽的个数，即可求出加工螺丝帽的总个数。 【详解】11时－10时20分＝40（分钟） 128×40＝5120（个） 答：王师傅共加工螺丝帽5120个。 【点睛】熟练掌握经过时间的计算公式，注意1小时＝60分钟。 34．能 【分析】用总长度除以甲、乙两个工程队每天挖的米数之和，就是两队合作完成这项工作需要的天数。然后再根据完成这项工作需要的天数、开工日期，推算出5月1日前能否完成这项工程。 【详解】 （天 4月20日＋10天－1天 ＝4月30日－1天 ＝4月29日 4月20日这天开始，工作10天到4月29日，还不到5月1日。 答：5月1日前能完成这项工程。 【点睛】准确求出两队合作完成这项工作需要的天数是解答此题的关键。 35．4天 【详解】1 ÷（++）=5（天） 6-5=1（天） （+）÷=1（天） 5-1=4（天） 答：甲做了4天． 36．11天 【详解】解法一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量×8＋×2= 余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是             2+8+1= 11（天）. 答：从开始到完工共用了11天. 解法二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作（30- 3 × 8- 1× 2）÷（3+1）= 1（天）. 2+8+1= 11（天）. 答：从开始到完工共用了11天 解法三：甲队做1天相当于乙队做3天. 在甲队单独做 8天后，还余下（甲队） 10-8= 2（天）工作量.相当于乙队要做2×3=6（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量. 4=3+1 其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天. 2+8+1= 11（天）. 答：从开始到完工共用了11天 37．6天 【详解】由题可知，甲2天的工作量相当于乙3天的 工作量，所以工程期限为：2×（3÷（3－2））=2×3=6天． 38．小时分钟 【分析】先求出甲、乙各自的工作效率，然后轮流做的话，每两小时完成的工程量是一样的，可以按照周期问题求解。 【详解】甲小时完成整个工程的，乙小时完成整个工程的，交替干活时两个小时完成整个工程的； 甲、乙各干小时后完成整个工程的，还剩下； 甲再干小时完成整个工程的，还剩下，乙花小时即分钟即可完成。 答：需要小时分钟来完成整个工程。 【点睛】本题考查的是工程问题，如果直接用是错误的，相当于是把最后单独做的情况看成合作的情况。 39．2520个 【详解】如果一样的生产天数（按计划的天数），实际上的零件总数：120+3×56=288（个） 按计划的天数：288÷6=48（天） 实际加工：50×48+120=2520（个） 答：这个车间实际加工了2520个零件。 40．10个 【分析】先求出晴天时甲、乙的工作效率，再计算雨天时甲、乙的工作效率，求出晴天、雨天甲、乙的工作效率的关系；由于两队同时开工、同时完工，可以求出晴天和雨天之比，然后再计算具体的天数。 【详解】在晴天，一队、二队的工作效率分别为和，一队比二队的工作效率高； 在雨天，一队、二队的工作效率分别为和，二队的工作效率比一队高； 由知，3个晴天5个雨天，两个队的工作进程相同，此时完成了工程的，所以在施工期间，共有6个晴天10个雨天。 答：工作时间内下了10天雨。 【点睛】本题考查的是工程问题，这里将工程问题与比例问题相结合，求出晴天和雨天的天数比是解题的关键。 41．960个 【详解】96÷（1-）×2=960（个） 42．16分钟 【分析】由题目条件知，水池原有水，减至，所以水池的水减少了，因此我们要从“放水”这个角度来考虑问题．由于既有进水，又有出水，所以放水的工作效率应为放水效率与进水效率的差． 【详解】因为一根进水管20分钟可将水池注满，所以它的进水效率为．一根出水管45分钟可将水池水放完．所以一根出水管放水效率为．水池原有水，后减少到，所以放水量为．4根水管齐开，流水的工作效率为．所以，花费的时间为． 答：需16分钟． 43．14小时 【详解】略 44．15天 【分析】工作量÷工作时间＝工作效率，据此求出小熊和小猴工作效率的比是2∶3，再分别求出小熊和小猴单干时需要的天数，和小熊与小猴合作完成工程需要的时间，经计算是天。可知合干天数整数部分的2倍即14天可以看作是小熊、小猴轮流工作的天数。根据剩余的天，求出剩下的工作量是多少，看由小熊单干是否一天内能完成。据此解答。 【详解】小熊和小猴的工作效率比： ∶＝＝2∶3 单独做小熊需要的天数： （天） 单独做小猴需要的天数： （天） 小熊和小猴合干需要的天数： （天） 剩余的工作量： 说明由小熊再单干一天能够完成。 一共的天数： （天） 答：按小熊、小猴、小熊、小猴……的顺序每位轮流做一天，需要15天才能完成任务。 【点睛】本题考查工程问题，关键是弄清交替干活的顺序，再利用“工作量、工作效率、工作时间”三者间的关系解答。 45．小时 【分析】先整体考虑，求出三个人搬完两个仓库所需要的时间，然后考虑甲在这段时间里完成了多少，剩下的是丙帮甲做的，求出这部分工作量，再除以工作效率即可。 【详解】甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时，设该仓库的工程量都是“1”； （小时） A、B这两个大仓库的工程量都是“2”； （小时） （小时） 答：丙在A仓库搬了6小时。 【点睛】本题考查的是工程问题，工程问题始终是围绕着工作效率、工作时间、工作总量的关系展开的。 46．180 【详解】48×[1＋125％×（1＋105％）]÷95％＝180（个）． 47．甲：33元    乙：91元    丙：56元 【分析】此题看上去有点复杂，其实问题的关键在于求出甲、乙、丙三个各自的工作效率． 由已知条件，甲、乙合作6天完成了，故可求出甲、乙两人的工作效率和，即，同样可求出乙、丙两人工作效率以及甲、乙、丙三人工作效率的和．从而可求出甲、乙、丙三人各自的工作效率，进而根据他们各自完成的工作天数（即工作量）求出他们应领到的工资． 【详解】因为甲、乙合修了6天完成工作的，所以甲、乙两人的工作效率和为． 剩下的工作量为，剩下工作量的为，由乙、丙两天完成，所以乙、丙的工作效率和为． 最后剩下的工作量为，由甲、乙、丙三人5天完成，所以甲、乙、丙三个的工作效率和为．因此，甲的工作效率为． 因此，甲的工作效率为，丙的工作效率为，乙的工作效率为．进而，甲完成的工作量为，乙完成的工作量为，丙完成的工作量为． 所以，甲应领工资，乙应领工资，丙应领工资 48．天 【分析】丙单独做的工作效率是，乙、丙合作的工作效率是，甲、乙合作的工作效率是 ；先求出乙的工作效率，再计算甲的工作效率，然后求出甲、丙合作的工作效率之和，再计算时间。 【详解】我们可以有： 甲乙，乙丙，丙 不难求得，乙的工作效率为，因此甲的工作效率为，从而甲丙合作的工作效率为， （天） 答：甲、丙合作12天能完成。 【点睛】本题考查的是工程问题，合作的工作效率等于每个人的工作效率之和。 49．1天 【分析】要求剩下的由乙队单独修，还要多少天才能完成，应先求出剩下的工作量．根据题意，把这项工程的工作量看做单位“1”，由甲队单独完成需要10天，可知甲的效率是，由乙队单独完成需要12天，可知乙的效率是；甲、乙两队合做5天，完成的工作量是（+）×5，因此还剩下的工作量是1﹣（+）×5，然后用剩下的工作量除以乙的工作效率即可． 【详解】[1﹣（+）×5]÷ =[1﹣×5]×12 =[1﹣]×12 =×12 =1（天）； 答：乙队还要工作1天． 50．小时 【分析】工作效率问题的基本关系式，即工作效率×工作时间=工作量 虽然很简单，但是实际的生产问题要复杂得多．这是因为实际生产中一项任务的完成要涉及诸多环节，某一环节的工作效率发生变化后，其他环节的工作效率也相应地随之发生改变． 在本例题中，我们不可由已知“A与B交换工作岗位后，可提前1小时完成任务；C与D交换工作岗位后，也可提前1小时完成任务”，简单地得出，同时交换A与B及C与D的工作岗位，可提前1＋l=2（小时）完成这项任务．事实上，A与B交换工作岗位后，还有一个条件是“其他工人的生产效率不变”，也就是说，交换岗位的工人们是两两互相影响对方的，而对其他工人的效率不发生影响；C与D交换岗位的情形也一样．同时交换A与B及C与D的工作岗位后，其整个生产计划与分别只交换A与B，或者只交换C与D的情形是不一样的．下面我们给出本题的三种解法． 【详解】☆解法一：（1）设总工作量为1，原来全车间每小时完成． （2）A与B交换后，8小时完成．全车间每小时完成．由于其他工人工作效率不变，所以，A与B每小时多了；同时，C与D交换后，每小时也多干了． （3）A与B、C与D同时交换后，这四人每小时多干，全车间每小时完成，所以，完成这项任务需要 （小时） 比原来提前（小时） ☆解法二：题目中8和9的最小公倍数是72，所以把这项任务分成72份，原来每小时全车间完成72÷9＝8（份），每份需要60÷8=7．5（分钟） A与B交换后，每小时完成72÷8=9（份），比原来多干了1份，由于其他工人工作效率不变，所以这一份是A、B两人干的． 同理，C与D交换后，这两人每小时也多干了1份任务． 同时交换后，A与B、C与D每小时都多干1份任务，故全车间工人每小时干了8+l+1＝10（份）任务，每份任务只要60÷10=6（分钟）即可完成．所以，每干1份任务，可提前7．5-6=1．5（分钟），72份任务一共可提前72×1．5＝108（分钟）（小时）． ☆解法三：A与B交换后，全车间在8小时内完成原来9小时的工作．由于其他工人工作效率不变，所以A、B二人在8小时中多干了原来全车间1小时的工作；同时，C与D交换后，这二人在8小时中也多干了原来全车间1小时的工作． A与B、C与D同时交换后，他们四人就在4小时内多干了原来全车间1小时的工作．这就是说，A与B、C与D同时交换后，全车间在4小时内干了原来全车间在5小时内干的工作，缩短工作时间． 原来9小时的工作，在A与B、C与D同时交换后，就可以缩短（小时） 答：可以提前小时完成这项任务． 51．天 【分析】根据题目的条件，可以求出甲的工作效率，再根据甲、乙的关系，求出乙的工作效率，然后求出合作2天后剩下的工程量是多少，再计算所需要的时间。 【详解】 ； （天） 答：还要天才能完成。 【点睛】本题考查的是工程问题，也可以根据甲、乙的工作效率的关系，按照比例问题求解。 52．3000 【详解】甲开始2小时放水200升，最后3管放的水相同，而乙管每小时比甲管多放25升水，所以乙管放水的时间为200÷25＝8小时，放水量为125×8＝1000升．因此池中原有水3000升． 53．33小时 【详解】乙6小时单独工作完成的工作量是 乙每小时完成的工作量是 两人合作6小时，甲完成的工作量是 甲单独做时每小时完成的工作量 甲单独做这件工作需要的时间是 答：甲单独完成这件工作需要33小时. 学科网（北京）股份有限公司 $$