浙江省杭州市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

杭州二中2024学年第一学期高一年级期中考数学试卷 命题 桂小兵 校对 审核 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分，考试时间120分钟。 选择题部分（共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，又， 所以. 故选：C 2．若函数的定义域是，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得函数的定义域是，则，故定义域为 故选：A 3．不等式的解集为，则函数的图象大致为（   ） A．     B．   C．   D．   【答案】B 【详解】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，对称轴为，与轴交点纵坐标为 故选：B 4.已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由，列出方程，求出的值，再检验定义域是否关于原点对称即可. 【详解】由得：， 解得，. 当时，，定义域为关于原点对称， 故符合题意， 故选：B. 5．已知命题p：，，则（    ） A．命题p的否定为，，且p是真命题 B．命题p的否定为，，且p是真命题 C．命题p的否定为，，且p是假命题 D．命题p的否定为，，且p是假命题 【答案】C 【详解】，则. 由，得，即，解得， 所以命题为假命题. 故选：C 6.已知函数是R上的增函数，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】 因为函数是上的增函数，所以. 故选：D 7．已知为正数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 答案：C 解析：，当且仅当时取等号 8．已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 答案：D 解析：，易证为R上的单调递增函数且为奇函数，故，即 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设，若，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 答案：BC 10．某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有3人 【答案】AB 【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}， {是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人， 只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人. 故选：AB 11．设，表示不超过的最大整数，如，记.则下列说法正确的有（ ） A. ，都有 B.,都有 C.,都有 D.若存在实数，使得同时成立，则正整数的最大值为4. 答案：ACD 解析：对于D，，，，， 当时，，， 因为，所以，即 当时，，，， 因为，所以， 当时，，，，， 因为，所以，所以若则，此时，，故不存在满足，， ，，同时成立. 正整数的最大值为4. 非选择题部分（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设集合，则中元素的个数为 答案：4个 【解析】(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),共4个. 13.如果，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用函数的最值求出，通过函数的值域，求出的取值范围 【详解】，，则. 故答案为： 14．函数的定义域为D，若对于任意,当时，有，则称函数在D上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件： ①②；③.则 答案： 解析：由题意得 即. 由函数在上为非减函数得， 因为， 因为， 故，所以又， 即，因此 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本题满分13分）已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为A． (1)求集合A； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【分析】（1）由题意可知有解，利用其判别式大于等于0即可求得答案； （2）结合题意推出且，讨论B是否为空集，列出相应不等式（组），求得答案. 【详解】（1）因为为真命题，所以方程有解，即， 所以，即； （2）因为是的必要不充分条件，所以且， i）当时，，解得； ii）当时，，且等号不会同时取得， 解得， 综上，. 16.(本题满分15分)已知函数 （1）当时，根据定义证明函数在上单调递增. （2）若有最小值4，求的值. 【解析】（1）,且,则 故的单调递增区间为. （2）当时，在R上单调递增，无最小值； 当时，，当且仅当时取等到，故，即. 17．(本题满分15分)某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1 m的小路，中间A、B、C三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中B、C区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为 m，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示（如图所示），并写出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【解析】（1）设矩形花园的长为， 矩形花园的总面积为， ，可得， 又阴影部分是宽度为的小路， 可得，可得， 即关于的关系式为. （2）由（1）知，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 18. (本题满分17分) 设函数，其中． （1）若， (i)当时，求的最大值和最小值; (ii)对任意的，都有，求实数的取值范围； （2）若对任意的，都有，求实数的取值范围． 【分析】（1）(i) ; (ii)先求出，根据函数的对称性知时，，故分类为和，分别得到，再根据可得； （2）“对任意的，，都有”等价于最大值与最小值之差不大于8，根据二次函数的性质对进行分类计算最大值最小值，即可. 【详解】（1）(i) ; (ii)因为， 所以在区间上单调减，在区间上单调增， 且对任意的，都有， 若，则， 在区间上单调递减，在区间上单调递增． “对任意的，都有”等价于“在区间上，”． ①当，即时，， ，得，所以； ②当，即时，，恒成立，故． 综上所述，，实数的取值范围为区间． （2）设函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以“对任意的，，都有”等价于“”． ①当时，，， 由，得，又，无解； ②当时，，， 由，得，因此； ③当时，，， 由，得，因此； ④当时，，， 由，得，无解， 综上所述，实数的取值范围为区间． 19. (本题满分17分) 定义在R上的奇函数，当时，. （1）求的解析式； （2）当的定义域为（）时，的值域为，求的取值. （3）是否存在实数，使得当的定义域为时，的值域为，如果存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）时，，则 所以 所以的解析式为 （2）当时， 所以 1 当时，单调递增，此时解得不合题意 2 当时，在单调递增，在单调递减，则符合题意； 3 当时，在单调递减，则解得不合题意. 综上可知，. （3）由于可得 ①当时，由于时，，故，则， 所以在区间上单调递减， 所以 即为方程的根，观察到方程有一个根为2，从而解出. ②同理时，由于时，，故，则 故在区间上单调递减， 所以 解得. 综上可得，或. 学科网（北京）股份有限公司 $$杭州二中2024学年第一学期高一年级期中考数学试卷 命题桂小兵— 校对李鸽 审核陈商粗 本试卷分为第1卷（迹择题）和第Ⅱ卷（非远择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。 选择题部分（共58分） 一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.设集合A={x∈N-1sx≤2，B={-2,-l,0,,则AnB=（ A.{-2-1,01,2} B.{-1,0,1 D.(1 2.若函数f+)的定义域是{-1<x<0,则函数f()的定义域为( A,{x0<x<B.{x-2<x<-l}C.{-H<x<0D.{x-2<x<0} 不等式++6>0的解集为1x<引， 则函数y=a2+bx-c的图象大致为 华· 4.已知f(x)= x是偶函数，则a=( +ae A.-2 B.-1 C,1 D.2 5.已知命题p:x20,x+1<1,则下列说法正确的为（) x+1 A.命题p的否定为x≥0，x+ 21，且p是真命题 x+1 B.命题p的否定为3x≥0，x+之1，且p是真命题 x+1 C.命题p的否定为≥0，x+ 21，且p是假命题 x+1 D.命题p的否定为x<0,x+之1，且p是假命题 x+1 数学试题卷·第1页（共4页） 6.已知函数f(x)= a",xs2, ax+3,x>2 是R上的增函数，则实数a的取值范围) A.a>1 B.1<a<3 (.-Isas3 D.I<as3 7已知a6,c为正数，且0+2b+c=2,则，+年的最小值为() atb b+c 9 9 4 4-1 8.已知定义在R上的函数f(x) +x3,则不等式f(2x-)+f(x)<0的解集为 4"+1 () A.几，+o) B.(o,10 C(j,t@) D.（-0 二多选愿：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求全部进对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 、9设abeR,若a->0,则下列结论正确的是 hb-a>0 Bo+a>0 C.2-b2>0 D.a3+b3<0 10.某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中 有8人参加100米比赛”，有7人参加400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400 米"都参加的有4人，“100米和1500米"都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则 下列说法正确的是() A.三项比赛都参加的有2人 B只参加100米比赛的有3人 ⌒.只参加400米比赛的有3人 D.只参加1500米比赛的有3人 11.设xeR,[冈表示不超过x的最大整数，如[1.5尸[-1.5]=-2，记{=x-[则下 列说法正确的有) A.r∈R,neZ,都有[n+x]=n+[] B.x,y∈R,都有[y≥[x]y] C.xeR,neN,都有 月阅 D.若存在实数x,使得[x=L,[x]=2,[x]=3[x]=n同时成立，则正整数n的最大值为4. 数学试题卷·第2页（共4页） 非选择题部分（共2分） 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设集合A={《x,y川x2+y2≤2，x∈N,y∈N,则A中元素的个数为 13.如果3<9，则x的取值范围为一 14.函数f(x)的定义域为D,若对于任意xx∈D,当x<x时，有f(x)5f(3),则称函 数f(x)在D上为非减函数设函数∫(x)在[0，】上为非减函数，且满足以下三个条件： @f0)=0®f③=f):®f0-)+)=1则f白+f以5= 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(本题满分13分)已知命题p:xeR,x2-6x+d2=0,当命题P为真命题时，实数a的取 值集合为A, (1)求集合A: (2)设集合B={a3m-2≤aSm-,若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数m的取值 范围。 16(本题满分15分)已知函数f因=4+是(a≠0) (1)当a=1时，根据定义证明函数f(x)在(0，o)上单调递增： (2)若f(x)有最小值4，求a的值 数学试延叁·第3页（共4页） 17.(本题满分15分)某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750m的 矩形花园图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A、B、C三个矩形区域将种植牡丹，郁金香、月 季（其中B、C区域的形状，大小完全相同），设矩形花园的一条边长为xm,鲜花种植的总面积为 Sm2. (1)用含有x的代数式表示a(如图所示)，并写出x的取值范围： (2)当x的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 18.(本题满分17分)设函数f(x)=x2-2r+2,其中1eR. (1)若1=1 ①当x∈[0，)时，求f(x)的最大值和最小值： 的对任意的x∈[0，a+2],都有f(x)≤5，求实数a的取值范围： (2)若对任意的，为∈0,4，都有()-f(名s8,求实数1的取值范围. 19.(本题满分17分) 定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时，f(x)=-x2+4x. (1)求f(x)的解析式： (2)当f(x)的定义域为[a,b](a≥0)时，f(x)的值域为[a,],求a,b的取值： (3)是否存在实数a,b使得当似的定义域为[a,b时，了因的值城为，如果存在， 求出a,b的值：若不存在，请说明理由。 数学试题卷·第4页（共4页）