湖北省咸宁市崇阳县第二高级中学2024-2025学年高二上学期数学限时训练(八)

崇阳县第二高级中学数学限时训练(八) 一、单选题 1. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 2. 已知，两点到直线的距离相等，求a的值（    ） A． B． C．或 D．或 3. 已知向量，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4. 在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（    ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 5. 已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（　　） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为5 三、填空题 6. 已知点是直线上一点，则的最小值为 ． 7. 在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为 . 四、解答题 8. 三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. (4)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角正弦值为？若有求出线长度，若没有请说明理由 试卷第2页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 D C C BC ABC 1．D 【分析】在用截距式求直线方程时需要讨论解决是否为0，截距为0则过原点；截距不为0用截距式设出方程后带点即可. 【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为：，，则 ①，则直线过原点，则直线方程为： ②则，则设直线方程为：，即，则，∴直线方程为： 综上所述：该直线方程为或 故选：D 2．C 【分析】利用点到直线距离公式列出关于的方程求解即可． 【详解】因为点到直线的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或. 故选：C. 3．C 【分析】计算出，得到答案. 【详解】因为， 所以， 当时，等号成立，故的最小值为. 故选：C. 4．BC 【分析】根据题意，得到向量，，，结合空间向量的坐标运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，因为，，所以，可得，所以A错误； 对于B，因为，，所以，所以B正确； 对于C，若，且，则，解得，所以C正确， 对于D，若且，因为，可得，解得，所以D错误. 故选：BC. 5．ABC 【分析】根据直线方程求出定点的坐标，利用两直线垂直的判断方法，勾股定理，三角函数辅助角求最值即可得解. 【详解】因为可以转化为， 故直线恒过定点，故A选项正确； 又因为：，即恒过定点， 由 和, 满足， 所以, 可得, 故B选项正确； 所以, 故C选项正确； 因为, 设为锐角, 则, ， 所以, 所以当时, 取最大值, 故选项D错误. 故选：ABC. 6．5 【分析】根据点关于直线对称，可得可得对称点为，即可利用三点共线求解. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得， 故，故, 故最小值为：5 7． 【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入计算，即可求解. 【详解】由条件可得，， 所以在方向上的投影向量的坐标为 . 故答案为： 8．(1)证明见解析 (2) (3) (4)存在，长度为 【分析】（1）建系标点，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）由题意可知：平面的法向量可以为，利用空间向量求面面夹角； （3）因为，利用空间向量求点到面的距离； （4）设，进而可得，根据线面夹角列式求得，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知：平面，， 如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 因为，即， 且平面，所以平面. （2）由题意可知：平面的法向量可以为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值. （3）因为， 所以点到平面的距离. （4）因为， 设，则， 可得， 由题意可得：， 整理可得，解得或（舍去）， 所以存在点满足题意，此时. 答案第4页，共4页 答案第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$