2.4.2 圆的一般方程 同步练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.4.2　圆的一般方程 A组 1.圆x2+y2-2x+6y+8=0的周长等于(　　) A.π B.2π C.2π D.4π 2.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为(　　) A.-1 B.1 C.3 D.-3 3.方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0表示的曲线为圆,则有(　　) A.A=C≠0 B.D2+E2-4AF>0 C.A=C≠0,且D2+E2-4AF>0 D.A=C≠0,且D2+E2-4AF≥0 4.当点P在圆x2+y2=1上移动时,它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是(　　) A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1 C.(2x-3)2+4y2=1 D.(2x+3)2+4y2=1 5.(多选题)已知点E(1,0)在圆x2+y2-4x+2y+5k=0的外部,则k的值可以为(　　) A. B. C. D.1 6.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,4为半径的圆,则F=　　　　　.  7.如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,且圆的面积为π,那么圆心坐标为　　　　　.  8.设圆x2+y2-4x+2y-11=0的圆心为A,点P在圆上,则线段PA的中点M的轨迹方程是　　　　　.  9.如图所示,从点A(4,0)引圆x2+y2=4的割线ABC,求弦BC的中点P的轨迹方程. 10.求经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程. B组 1.已知A(-2,0),B(1,0)两定点,如果动点P满足|PA|=2|PB|,那么点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　) A.π B.4π C.8π D.9π 2.要使圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴的两个交点分别位于原点的两侧,则有(　　) A.D=0,F=0 B.F>0 C.D≠0,F≠0 D.F<0 3.若圆x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上的所有点都在第二象限,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,2) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(2,+∞) 4.已知圆C:x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任一点关于直线l:x-y+2=0的对称点都在圆C上,则a=　　　　　.  5.由关于x,y的方程x2+y2+x+(m-1)y+m2=0所确定的圆中,最大圆的面积是　　　　　. 6.已知圆C过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线l:2x-7y+8=0上. (1)求圆C的方程; (2)P为圆C上的任意一点,定点Q(8,0),求线段PQ的中点M的轨迹方程. 7.已知圆的方程是x2+y2+2(m-1)x-4my+5m2-2m-8=0. (1)求此圆的圆心坐标与半径; (2)求证:不论m为何实数,它们表示圆心在同一条直线上的等圆. 参考答案 A组 1.C 解析:由圆的方程x2+y2-2x+6y+8=0,得圆的半径是,则圆的周长等于2π. 2.B 解析:由圆的方程x2+y2+2x-4y=0,可得圆心(-1,2). 已知直线3x+y+a=0过圆心,将圆心坐标(-1,2)代入直线方程3x+y+a=0,得a=1. 3.C 4.C 解析:设P(x0,y0),线段PQ的中点(x,y),则x=,y=. 于是有x0=2x-3,y0=2y.① 由已知得(x0,y0)满足方程x2+y2=1,② 把①代入②得(2x-3)2+(2y)2=1. 5.BC 解析:圆的方程化为标准方程为(x-2)2+(y+1)2=5-5k,所以5-5k>0,得k<1, 因为点E(1,0)在圆的外部,所以12-4+5k>0,得k>,综上可得<k<1. 6.4 解析:由题意得 解得D=-4,E=8,F=4. 7.(0,-1) 解析:因为圆x2+y2+kx+2y+k2=0的面积为π,所以圆的半径为1, 即=1,解得k=0. 所以圆的方程为x2+y2+2y=0,得圆心坐标为(0,-1). 8.(x-2)2+(y+1)2=4 解析:圆的方程可化为(x-2)2+(y+1)2=16,表示以(2,-1)为圆心,4为半径的圆. 由题意知点M的轨迹是以(2,-1)为圆心,2为半径的圆,则点M的轨迹方程是(x-2)2+(y+1)2=4. 9.解:设P(x,y),连接OP. ∵P为弦BC的中点,O为圆心,∴OP⊥BC. 当x≠0时,kOP·kAP=-1,即=-1,即x2+y2-4x=0(0<x<1).① 当x=0时,点P坐标为(0,0)满足方程①, ∴弦BC的中点P的轨迹方程为x2+y2-4x=0(0≤x<1). 10.解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 令y=0,得x2+Dx+F=0,则圆在x轴上的截距之和为x1+x2=-D. 令x=0,得y2+Ey+F=0,则圆在y轴上的截距之和为y1+y2=-E. 由题意知x1+x2+y1+y2=-(D+E)=2, ∴D+E=-2.① 又点A(4,2),B(-1,3)在圆上, ∴16+4+4D+2E+F=0,② 1+9-D+3E+F=0.③ 由①②③解得D=-2,E=0,F=-12. 故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0. B组 1.B 解析:设动点P的坐标为(x,y),则由|PA|=2|PB|,得=2,化简得(x-2)2+y2=4,即点P的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆,该圆的面积为4π. 2.D 解析:令方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的y=0,得x2+Dx+F=0. 由题意知,方程x2+Dx+F=0有两个异号实根,即两根之积小于0,所以F<0.此时D2+E2-4F>0,Δ=D2-4F>0,符合题意. 3.D 解析:方程x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0可化为(x+a)2+(y-2a)2=4,则圆心坐标为(-a,2a),半径为2. 由题意知解得a>2.故选D. 4.-2 解析:由题意得圆C的圆心在直线x-y+2=0上, 将圆心坐标代入直线方程,得-1-+2=0,解得a=-2. 5. 解析:所给圆的半径r=. 所以当m=-1时,半径r取最大值,此时圆最大,最大圆的面积是. 6.解:(1)(方法一)直线AB的斜率k==-1, 所以线段AB的垂直平分线m的斜率为1. 线段AB的中点坐标为,即. 因此,直线m的方程为y-=x-,即x-y-1=0. 因为圆心在直线l上,所以圆心是直线m与直线l的交点. 解方程组 所以圆心坐标为C(3,2). 从而半径r=|CA|=, 所以圆C的方程是(x-3)2+(y-2)2=13. (方法二)设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 由题意得解得 所以圆C的方程是(x-3)2+(y-2)2=13. (2)设线段PQ的中点M(x,y),P(x0,y0), 则 将点P(2x-8,2y)代入圆C的方程,得(2x-8-3)2+(2y-2)2=13, 即线段PQ的中点M的轨迹方程为+(y-1)2=. 7.(1)解:圆的方程为x2+y2+2(m-1)x-4my+5m2-2m-8=0,则圆心为(1-m,2m),半径r=3. (2)证明:由(1)知,圆的半径为定值3,设圆心坐标为(a,b),则 即2a+b=2. 故不论m为何实数,方程表示的圆的圆心都在直线2x+y-2=0上,且为等圆. 5 学科网（北京）股份有限公司 $$