2.5.2 圆与圆的位置关系 同步练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.5.2　圆与圆的位置关系 A组 1.圆x2+y2-6x+16y-48=0与圆x2+y2+4x-8y-44=0的公切线有(　　) A.4条 B.3条 C.2条 D.1条 2.圆x2+y2=50与圆x2+y2-12x-6y+40=0的公共弦长为(　　) A. B. C.2 D.2 3.已知半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程是(　　) A.(x-4)2+(y-6)2=6 B.(x+4)2+(y-6)2=6或(x-4)2+(y-6)2=6 C.(x-4)2+(y-6)2=36 D.(x+4)2+(y-6)2=36或(x-4)2+(y-6)2=36 4.过点P(2,3)向圆C:x2+y2=1上引两条切线PA,PB,则弦AB所在直线的方程为(　　) A.2x-3y-1=0 B.2x+3y-1=0 C.3x+2y-1=0 D.3x-2y-1=0 5.(多选题)设集合A={(x,y)|x2+y2≤8},B={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r2(r>0)},则下列r的值满足A∩B=B的是(　　) A.1 B. C. D.2 6.已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=20相交于A,B两点,则AB所在直线的方程是　　　　　.  7.若圆x2+y2-2ax+a2=2和圆x2+y2-2by+b2=1外离,则a,b满足的条件是　 . 8.已知两圆C1:x2+y2+4x-6y+12=0,C2:x2+y2-2x-14y+k=0(k<50).两圆位置关系条件如下: (1)外切;(2)内切;(3)相交;(4)内含;(5)外离. 试确定上述条件下k的取值范围. 9.已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心O2(2,1). (1)若圆O2与圆O1外切,求圆O2的方程; (2)若圆O2与圆O1交于A,B两点,且|AB|=2,求圆O2的方程. 10.已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半,求: (1)动点M的轨迹方程; (2)若N为线段AM的中点,求点N的轨迹方程; (3)判断点M的轨迹与点N的轨迹的位置关系. B组 1.已知C,D是圆A:(x+1)2+y2=1与圆B:x2+(y-2)2=4的公共点,则△BCD的面积为(　　) A. B. C. D. 2.以圆C1:x2+y2+4x+1=0与圆C2:x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦为直径的圆的方程为(　　) A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C. D. 3.若圆C1:x2+y2=4和圆C2:x2+y2+4x-4y+4=0关于直线l对称,则直线l的方程为(　　) A.x+y=0 B.x+y=2 C.x-y=2 D.y=x+2 4.若点P在圆O:x2+y2=1上运动,点Q在圆C:(x-3)2+y2=1上运动,则|PQ|的最小值为(　　) A.3 B.2 C.1 D.4 5.已知两圆C1:x2+y2-4x+2y+1=0与C2:x2+y2-6x=0,则过两圆的交点且过点(2,-2)的圆的方程为　　　　　　　　　　　　.  6.若点A(a,b)在圆x2+y2=4上,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是　　　　. 7.已知圆M:x2+y2=10和圆N:x2+y2+2x+2y-14=0,求过两圆交点,且面积最小的圆的方程. 8.求过点A(4,-1),且与圆C:(x+1)2+(y-3)2=5相切于点B(1,2)的圆的方程. 参考答案 A组 1.C 解析:圆x2+y2-6x+16y-48=0的圆心C(3,-8),半径r1=11,圆x2+y2+4x-8y-44=0的圆心D(-2,4),半径r2=8,则两圆的圆心距|CD|=13,|r1-r2|=3,r1+r2=19.∵|r1-r2|<|CD|<r1+r2, ∴两圆相交.∴公切线有2条. 2.C 解析:将两圆的方程作差,得两圆公共弦所在直线的方程为2x+y-15=0.圆x2+y2=50的圆心(0,0)到直线2x+y-15=0的距离d=3. 因此,公共弦长为2=2. 3.D 解析:由题意知,此圆在x轴的上方,故可设圆的方程为(x-a)2+(y-6)2=36. 由题意得=5,解得a=±4.故选D. 4.B 解析:弦AB可以看作是以PC为直径的圆与圆x2+y2=1的交线,而以PC为直径的圆的方程为(x-1)2+.将两圆的方程相减,可得弦AB所在直线的方程2x+3y-1=0.故选B. 5.ABC 解析:当A∩B=B时,圆(x-1)2+(y-1)2=r2(r>0)内含或内切于圆x2+y2=8,所以两圆的圆心距d=≤2-r,解得0<r≤.故ABC满足条件,D不满足. 6.x+3y=0 解析:圆的方程(x-1)2+(y-3)2=20可化为x2+y2-2x-6y=10.两圆的方程相减,得2x+6y=0,即AB所在直线的方程是x+3y=0. 7.a2+b2>3+2 解析:化圆的方程为标准方程可得(x-a)2+y2=2,x2+(y-b)2=1,则两圆的圆心分别为(a,0),(0,b),半径分别为,1.由两圆外离可得>1+,平方可得a2+b2>3+2. 8.解:将两圆的方程化为标准方程C1:(x+2)2+(y-3)2=1,C2:(x-1)2+(y-7)2=50-k(k<50),则圆C1的圆心坐标C1(-2,3),半径r1=1,圆C2的圆心坐标C2(1,7),半径r2=, 从而圆心距d==5. (1)当两圆外切时,d=r1+r2,即1+=5,解得k=34. (2)当两圆内切时,d=|r1-r2|,即|1-|=5,解得k=14. (3)当两圆相交时,|r1-r2|<d<r1+r2,即|1-|<5<1+,解得14<k<34. (4)当两圆内含时,d<|r1-r2|,即|1-|>5,解得k<14. (5)当两圆外离时,d>r1+r2,即1+<5,解得34<k<50. 9.解:(1)由题意得圆O1的圆心坐标为O1(0,-1),半径r1=2,设圆O2的半径为r. 由两圆外切,得|O1O2|=r1+r,即r=|O1O2|-r1=2(-1), 故圆O2的方程是(x-2)2+(y-1)2=12-8. (2)设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=.已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB所在直线的方程4x+4y+-8=0. 作O1H⊥AB交AB于点H(图略), 则|AH|=|AB|=,|O1H|=. 从而圆心O1(0,-1)到公共弦AB所在直线的距离,解得=4或=20. 故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20. 10.解:(1)设动点M(x,y)为轨迹上任意一点,由两点间的距离公式及|MA|=|MB|可得,平方后再整理,得x2+y2=16. 故动点M的轨迹方程为x2+y2=16. (2)设动点N的坐标为(x,y),M的坐标是(x1,y1). 因为N为线段AM的中点,所以①由(1)知,M是圆x2+y2=16上的点,所以M(x1,y1)满足=16②,将①代入②,整理得(x-1)2+y2=4,所以点N的轨迹方程为(x-1)2+y2=4. (3)由(1)知,点M的轨迹是以原点O(0,0)为圆心,半径为4的圆; 由(2)知,点N的轨迹是以C(1,0)为圆心,半径为2的圆. 两圆的圆心距为|OC|=1,两圆的半径分别为r1=4,r2=2,又r1-r2=2,|OC|<r1-r2. 所以点M的轨迹与点N轨迹内含. B组 1.B 解析:由C,D是圆A:(x+1)2+y2=1与圆B:x2+(y-2)2=4的公共点,可得CD所在直线的方程为2x+4y=0,即x+2y=0.圆B:x2+(y-2)2=4的圆心为B(0,2),半径为2,圆心B到CD所在直线的距离为,所以公共弦长|CD|=2.因此,△BCD的面积为. 2.B 解析:圆心C1(-2,0),圆心C2(-1,-1),则C1C2所在直线的方程为x+y+2=0. 两圆方程相减,得两圆的公共弦所在直线的方程为x-y=0. 由 故所求圆的圆心C(-1,-1). 圆C1的半径r1=,|C1C|=,则所求圆的半径r==1.故选B. 3.D 解析:由题意知,圆C1与圆C2关于直线l对称. 因为=-1,线段C2C1的中点为(-1,1),所以线段C2C1的垂直平分线的方程为y=x+2. 故直线l的方程为y=x+2. 4.C 解析:∵圆O与圆C外离,∴|PQ|的最小值为圆心距减去两圆半径, 即|PQ|min=|OC|-1-1=3-2=1. 5.x2+y2+2x+8y+4=0 解析:由题意可设过两圆C1:x2+y2-4x+2y+1=0与C2:x2+y2-6x=0的交点的圆的方程为x2+y2-4x+2y+1+λ(x2+y2-6x)=0(λ≠-1),即(1+λ)x2+(1+λ)y2-(4+6λ)x+2y+1=0. 把(2,-2)代入上式圆的方程,得4(1+λ)+4(1+λ)-2(4+6λ)-4+1=0,解得λ=-. 因此,所求圆的方程为x2+y2+2x+8y+4=0. 6.外切 解析:∵点A(a,b)在圆x2+y2=4上,∴a2+b2=4. 圆x2+(y-b)2=1的圆心C1(0,b),半径r1=1, 圆(x-a)2+y2=1的圆心C2(a,0),半径r2=1, 则|C1C2|==2. ∵|C1C2|=r1+r2,∴两圆外切. 7.解:设两圆交点为A,B,则以AB为直径的圆就是所求的圆. 由圆M的方程,得圆心M(0,0),半径r1=;由圆N的方程,得圆心N(-1,-1).两圆方程相减,得AB所在直线的方程为x+y-2=0. 两圆圆心MN所在直线的方程为x-y=0. 解方程组得所求圆的圆心坐标为(1,1). 圆心M(0,0)到AB所在直线的距离d=, 所求圆的半径为|AB|==2, 所以,所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=8. 8.解:设所求圆的圆心M(a,b),半径为r.已知圆C的圆心为C(-1,3),切点B(1,2),由两点式,得BC所在直线的方程为,即x+2y-5=0. 因为C,B,M三点共线,所以a+2b-5=0.① 已知A,B两点坐标,可得弦AB的垂直平分线方程为x-y-2=0. 因为圆心M在弦AB的垂直平分线上,所以a-b-2=0.② 联立①②,解得 故圆心坐标为M(3,1),半径r=|MB|=, 所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$