小升初典型奥数：追及问题 (讲义)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

追及问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 一、追及问题的概念： 追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的．由于速度不同，就发生快的追及慢的问题． 二、追及问题公式：根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式： 距离差＝速度差×追及时间 追及时间＝距离差÷速度差 速度差＝距离差÷追及时间 速度差＝快速﹣慢速 三、解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的． 第二部分 典型例题 例题1：下午3点15分，通讯员从营地骑自行车出发，8分钟后，由于要更改命令，连长骑摩托车去追赶他，在离营地4千米的地方追上了他，然后，连长立即返回营地，回到营地后，由于情况再次发生了变化，连长立即回头再次追赶通讯员，再次追上他时，离营地恰好是8千米，问：这时是几点几分？ 【答案】3点39分 【分析】 从图中可以看出，连长第一次追上通讯员，立即折返到第二次追上通讯员，共走了4＋8=12（千米），因此，骑摩托车的速度是骑自行车速度的12÷4=3（倍）．由此可知，通讯员每走“1”份的路程，连长将走“3”份的路程，这样确定通讯员的速度，以及确定第二次追上的时间，就比较容易了． 【详解】解：由条件可知，骑摩托车的速度是骑自行车速度的12÷4=3（倍）因此，从3点23分到连长追上通讯员，连长走了4千米，通讯员走了4×千米．因此，通讯员前8分钟走了4×=（千米）．从而可求出通讯员的速度是÷8=（千米）．因此，进一步可求出通讯员走8千米共用8÷=24（分）．所以，第二次追上的时间是15＋24=39（分），即3点39分． 【点睛】在相同时间内，速度越快，所走的路程越多．这道题目的解答，恰好就是利用了这一变化规律． 例题2：铁路旁一条小路，一列长为110米的火车以每小时30千米的速度向南驶去，8点时追上向南行走的一名军人，15秒后离他而去，8点6分迎面遇到一个向北行走的农民，12秒后离开这个农民，问：军人与农民何时相遇？ 【答案】8点30分 【分析】涉及火车的行程问题中，火车的长度不能忽略，解题关键是找出15秒（12秒）内，火车行驶和人步行与火车车长之间的数量关系。 【详解】火车速度：30×1000÷60＝500（米/分） 火车速度与军人速度的差为：110÷（15÷60）＝440（米/分） 军人的速度：500－440＝＝60（米/分） 农民的速度：110÷（12÷60）－500＝50（米/分） 8点时火车头与农民的距离为：（500＋50）×6＝3300（米） 军人与农民相遇：3300÷（60＋50）＝30（分） 此时的时间为8点30分。 答：军人与农民8点30分相遇。 【点睛】1、此题中有着三个基本问题。火车追及军人，火车农民相遇，军人和农民相遇，找到三者之间的关系就是解决题目的关键。 2、解决行程问题的关键是三步： a：正确画出示意图； b：把复杂的行程问题分解为每一个基本的相遇或追及问题； c：找到这些相遇或追及问题之间的数量关系，包括路程关系，时间关系与速度关系。 例题3：甲的速度比乙的速度每小时快6千米，当甲到终点时乙还要10分钟，当乙到终点时，甲已行了9千米，求路程． 【答案】72千米 【详解】“当甲到终点时乙还要10分钟，当乙到终点时，甲已行了9千米”可以转化为甲十分钟行了9千米，甲的速度是千米/时；乙的速度是千米/时． 甲到达终点的时间是小时 所以路程是千米 【点睛】路程问题、分钟与小时的换算问题 例题4：李华和王明都骑车从甲地出发前往乙地，李华与王明的速度之比是5∶4。已知王明比李华早出发15分钟，但在甲、乙中点处因故停留了8分钟；李华则不停地赶往乙地，最后李华比王明早3分钟到达乙地。那么王明出发多长时间后，李华就超过了王明？ 【答案】43分钟 【分析】根据题意可知，从甲地到乙地，王明比李华多花了（15－8＋3）分钟，根据路程相同，速度比等于时间的反比，可知李华与王明的速度之比是5∶4，时间之比是4∶5；把李华花的总时间看作4份，王明花的总时间看作5份，用（15－8＋3）÷（5－4）即可求出每份是多少，人求出李华花的总时间和王明花的总时间，求出李华行完全程需要40分钟，王明行完全程需要50分钟，当李华行了20分钟恰好到达两地的中点时，王明已经出发（15＋20）分钟，王明行走行程的一半需要（50÷2）分钟，也就是25分钟，据此用35－25－8即可求出王明此时已经离开中点几分钟，也就是2分钟，假设此时还需要x分钟，李华才能追上王明，根据路程相同，速度比＝时间的反比，列比例为：4∶5＝（20＋x）∶（35－8＋x），据此解出方程，然后用（15＋20）加上x的值，即可求出王明出发多长时间后，李华就超过了王明。 【详解】路程相同，李华与王明的速度之比是5∶4，时间之比是4∶5， （15－8＋3）÷（5－4） ＝10÷1 ＝10（分钟） 李华行完全程需要：10×4＝40（分钟） 王明行完全程需要：10×5＝50（分钟） 李华行到中点需要：40÷2＝20（分钟） 15＋20＝35（分钟） 50÷2＝25（分钟） 王明已经离开中点：35－25－8＝2（分钟） 解：设此时还需要x分钟，李华才能追上王明。 4∶5＝（20＋x）∶（35－8＋x） 5×（20＋x）＝4×（35－8＋x） 5×（20＋x）＝4×（27＋x） 100＋5x＝108＋4x 5x－4x＝108－100 x＝8 15＋20＋8 ＝35＋8 ＝43（分钟） 答：王明出发43分钟时，李华就超过了王明。 【点睛】本题考查了较复杂的行程问题，解答本题的关键是明确相同路程王明比李华实际多花的时间，然后利用比例的知识进行解答。 第三部分 高频真题 1．甲、乙的速度之比为5∶2，它们在相距6千米的位置同时出发，同向而行，甲追上乙的时候，乙走了多少千米？ 2．甲、乙两车同时同地出发去同一地点，甲车速度为42千米／小时，乙车速度为35千米／小时．途中甲车停车5小时，结果甲车比乙车迟1小时到达目的地，求两地间的距离？ 3．下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）. 4．甲、乙两人以每分60米的速度同时、同地、同向步行出发。走15分钟后甲返回原地取东西，而乙继续前进。甲取东西用去5分钟的时间，然后改骑自行车以每分钟360米的速度追乙，甲骑车多少分钟才能追上乙？ 5．钟敏家有一个闹钟，每时比标准时间快2分．星期天上午9点整，钟敏对准了闹钟，然后定上铃，想让闹钟在11点半闹铃，提醒她帮助妈妈做饭．钟敏应当将闹钟的铃定在几点几分上？ 6．在一条长400米的环形跑道上，正在进行一场5000米的长跑比赛．1号队员的平均跑步速度是每秒6米，2号队员平均每分钟跑0．8圈．当1号队员与2号队员在比赛开始一段时间后又并肩而跑的时候，l号队员距离终点还有多远？ 7．有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒．问：队伍有多长？ 8．一架飞机从机场出发到某地执行任务，原计划每分钟飞行8千米．为了争取时间，现将飞行速度提高到每分钟12千米，结果比计划早到了40分钟．问机场与目的地相距多远？ 9．列车通过250米的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。又知列车的前方有一辆与它同向行驶的货车，货车车身长320米，速度为每秒17米。列车与货车从相遇到相离需要多少秒？ 10．兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇，问他们家离学校有多远？ 11．甲、乙、丙三人，甲每分钟走30米，乙每分钟走25米，丙每分钟走27米，甲、乙从A镇、丙从B镇，同时相对出发，丙遇到甲后，10分钟后再遇到乙，求A、B两镇的距离？ 12．甲、乙、丙三人每分钟分别行60米、50米和40米，甲从B地、乙和丙从A地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙．求A，B两地的距离． 13．甲、乙两船分别从A港逆水而上，静水中甲船每小时行15千米，乙船每小时行12千米，水速为每小时3千米，乙船出发2小时后，甲船才开始出发，当甲船追上乙船时，乙离开A港多少千米？ 14．龟兔进行1000米的赛跑，小兔心想：我1分钟能跑100米，而你乌龟每分钟只能跑10米，哪是我的对手．比赛开始后，当小兔跑到全程一半时，发现把乌龟甩得老远，便在路旁睡着了．当乌龟跑到距终点还有40米时，小兔醒了拔腿就跑．当胜利者到达终点时，另一个距终点还有几米？ 15．甲、乙两车分别从、两地出发，同向而行，乙车在前，甲车在后．已知甲车比乙车提前出发小时，甲车的速度是千米/小时，乙车每小时行千米．甲车出发小时后追上乙车，求、两地间的距离． 16．小张、小李和小王于某日上午分别步行、骑自行车和开汽车从A地出发沿公路向B地匀速前进．已知小李比小张晚1小时出发，小王比小李晚45分钟出发．他们三人恰在中途某地相遇．若小李比小张早到达B地24分钟，则小王比小张早多少分钟． 17．小美以每秒2米的速度沿着铁路晨跑．这时从后面开来一列客车．客车经过她的身边共用了10秒．已知这列客车车身长130米，求客车的速度是多少？ 18．六年级同学从学校出发到公园春游，每分钟走米，分钟以后，学校有急事要通知学生，派李老师骑自行车从学校出发分钟追上同学们，李老师每分钟要行多少米才可以准时追上同学们？ 19．小明以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明，结果在距学校1000米处追上小明，求小强骑自行车的速度。 20．甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离。 21．甲、乙两车同时从某地出发背向而行，甲车以每小时88千米的速度行驶，乙车以每小时64千米的速度行驶，1.5小时后甲车掉头去追乙车，需要多少小时才能追上？ 22．甲、乙两船分别从A港顺水而上，静水中甲船每小时行18千米，乙船每小时行15千米，水速为每小时3千米，乙船出发2小时后，甲船才开始出发，当甲船追上乙船时，乙离开A港多少千米？ 23．从花城到太阳城的公路长12公里．在该路的 2千米处有个铁道路口，是每关闭 3分钟又开放 3分钟的．还有在第 4千米及第 6 千米有交通灯，每亮 2分钟红灯后就亮 3分钟绿灯．小糊涂驾驶电动车从花城到太阳城，出发时道口刚刚关闭，而那两处交通灯也都刚刚切换成红灯．已知电动车速度是常数，小糊涂既不刹车也不加速，那么在不违反交通规则的情况下，他到达太阳城最快需要多少分钟？ 24．静水中甲乙两船的速度分别是每小时22千米和每小时18千米，两船先后自港口顺水开出，乙比甲早出发2小时，若水速是每小时4千米，问甲开出后几小时可追上乙？ 25．暑假里飞飞与爸爸到海上公园划船，他们沿海向上游划行，一阵风吹来，飞飞的太阳帽被刮到身后，当他们发现并调过船头时，帽子与船已经相距600米，假定小船在静水中的速度是每分钟100米，水流速度是每分钟30米，那么，父子俩追回太阳帽要多长时间？ 26．甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分，出发后45分追上丙；甲比乙晚出发15分，出发后1时追上乙．甲和丙的速度比是多少？ 27．小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去。小新、正南两人的速度分别是每分钟20米和每分钟16米。在他们出发的同时，风间从公园迎面走来，分别在他们出发后6分钟、7分钟、8分钟先后与小新、正南、妮妮相遇，求妮妮的速度。 28．小巧以65米/分的步行速度从家里出发去少年宫．出发16分钟后，妈妈发现小巧把学习资料袋忘在家里了，于是骑车以185米/分的速度去追．已知小巧家与少年宫之间的路程是1800米，妈妈能在小巧到达少年宫之前追上她吗？ 29．甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，出发后6分甲车超过了一名长跑运动员，2分后乙车也超过去了，又过了2分丙车也超了过去．已知甲车每分走1000米，乙车每分走800米，丙车每分钟走多少米？ 30．解放军某部先遣队，从营地出发，以每小时6千米的速度向某地前进，12小时后，部队有急事，派通讯员骑摩托车以每小时78千米的速度前去联络，问多少时间后，通讯员能赶上先遣队？ 31．一辆慢车从甲地开往乙地，每小时行千米，开出小时后，一辆快车以每小时千米的速度也从甲地开往乙地．在甲乙两地的中点处快车追上慢车，甲乙两地相距多少千米？ 32．甲、乙、丙三人从同一地点出发，沿同一路线追赶前面的小舟，这时三人分别用5分钟、8分钟、10分钟追上小舟．已知甲每小时走36千米，乙每小时走30千米．求丙的速度？ 33．小张从家到公园，原打算每分钟走50米，为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米，问家到公园多远？ 34．王芳和李华放学后，一起步行去体校参加排球训练，王芳每分钟走米，李华每分钟走米，出发分钟后，王芳返回学校取运动服，在学校又耽误了分钟，然后追赶李华．求多少分钟后追上李华？ 35．甲、乙两船在静水中的速度分别是每小时24千米和每小时32千米，两船从某河相距336千米的两港同时出发相向而行，几小时相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时后乙船追上甲船？ 36．小胖早上步行从家出发去学校，速度为80米/分，小胖出发900米后，爸爸发现小胖语文书没带，以每分钟200米的速度去追。请问爸爸几分钟后能追上小胖？（列方程解决问题） 37．甲、乙二人在操场的400米跑道上练习竞走，两人同时出发，出发时乙在前，甲在后，出发后8分钟甲、乙第一次相遇，出发后的24分钟时甲、乙第二次相遇．假设两人的速度保持不变，你知道出发时乙在甲前多少米吗？ 38．现有速度不变的甲、乙两车，如果甲车以现在速度的2倍去追乙车，5小时后能追上，如果甲车以现在速度的3倍去追乙车，3小时后能追上．那么甲车以现在的速度去追，几小时后能追上乙车？ 39．在一条马路上，小明骑车与小光同向而行，小明骑车速度是小光速度的3倍，每隔10分有一辆公共汽车超过小光，每隔20分有一辆公共汽车超过小明．已知公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，问：相邻两车间隔几分？ 40．甲、乙二人步行远足旅游，甲出发后1小时，乙从同地同路同向出发，步行2小时到达甲于45分钟前曾到过的地方。此后乙每小时多行500米，经过3小时追上速度保持不变的甲。甲每小时行多少米？ 41．铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？ 42．学校组织学生步行去野外实习，每分钟走80米，出发9分钟后，班长发现有重要东西还在学校，就以原速度返回，找到东西再出发时发现又耽搁了18分钟，为了在到达目的地之前赶上队伍他改骑自行车，速度为260米／分，当他追上学生队伍时距目的地还有120米．求走完全程学生队伍步行需多长时间？ 43．爸爸和儿子跑步锻炼，爸爸的步子比较大，他跑5步的路程，儿子要跑9步，爸爸在儿子后面10米，为了追上儿子，爸爸加快动作，爸爸跑2步的时间，儿子能跑3步，问爸爸至少多少米才能追上儿子？ 44．甲、乙两人都从A地往B地到达C地，甲8点出发，乙8点45分出发，乙9点45分到达B地时，甲已经离开B地20分钟，两人刚好同时到达C地，问：到达C地是什么时间？ 45．甲从A出发，每分钟走50米，甲出发30分钟后，乙也从A出发，去追甲，乙每分钟走80米。那么乙出发多长时间后追上了甲？ 46．甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，甲每小时行驶10千米，乙每小时行驶15千米，问：乙经过多长时间能追上甲？ 47．甲、乙二人进行短跑训练，如果甲让乙先跑40米，则甲需要跑20秒追上乙；如果甲让乙先跑6秒，则甲仅用9秒就能追上乙．求：甲、乙二人的速度各是多少？ 48．甲、乙两车同时由A地到B地，甲车每小时行45千米，乙车每小时行30千米，乙车先出发2小时后甲车才出发，两车同时到达B地。求A，B两地的距离。 参考答案： 1．4千米 【分析】甲、乙的速度之比为5∶2，则假设甲的速度为每小时走5千米，乙的速度每小时走2千米，甲每小时比乙多走3千米，则甲要追上乙得多走6千米，甲追上乙的时候用时2小时，据此求出乙走了多少千米即可。 【详解】 （千米） 答：甲追上乙的时候，乙走了4千米。 【点睛】本题考查行程问题、比的意义，解答本题的关键是利用假设法解题。 2．840千米 【分析】此题也可被看做是追及问题，甲车在中途停留5小时，比乙车迟1小时到达．说明走这段路程甲车比乙车少用5-l=4（小时）．因为甲车的车速比乙车快42-35=7（千米／小时），那么将此题转化为追及问题的形式为，乙车先开出4小时，然后甲车开出，甲、乙两车同时到达目的地．路程差：35×4=140（千米），速度差为7千米／小时，因此追及时间可求，即140÷7=20（小时），也是甲车行驶完全程所需的时间．则两地间的距离可求． 【详解】追及路程：35×（5-1）=140（千米） 追及时间：140÷（42-35）=20（小时） 两地之间的距离：42×20=840千米） 答：两地间的距离是840千米． 【点睛】此题目求解的关键是将题目中的条件转化成追及问题来考虑．由时间差进而确定路程差之后，问题就容易解决了． 3．10分钟 【详解】若经过5分钟，弟弟已到了A地，此时弟弟已走了40×5=200（米）；哥哥每分钟比弟弟多走20米，几分钟可以追上这200米呢？40×5÷（60-40）=200÷20=10（分钟），哥哥10分钟可以追上弟弟. 4．7分钟 【分析】由题意可知，甲返回原地时，已经走了15×2＝30（分钟），取东西用去5分钟，共用了35分钟，也是乙走的时间．即此时两人相距60×35＝2100（米），之后甲每分中比乙多走360－60＝300（米），根据路程差÷速度差＝追及时间求出答案。 【详解】60×（15×2＋5）÷（360－60） ＝60×35÷300 ＝7（分钟） 答：甲骑车7分钟才能追上乙。 【点睛】解答此题应明确：路程差÷速度差＝追及时间。 5．11点35分 【详解】闹钟与标准时间的速度比是62:60="31:30," 11点半与9点相差 150分， 根据十字交叉法，闹钟走了 150×31÷30=155(分),所以 闹钟的铃应当定在11点35分上． 6．1400米 【详解】先统一两个队员跑步的速度单位：l号队员：6×60=360（米／分钟）；2号队员：400×0．8=320（米／分钟） 追及时间：400÷（360-320）=10（分钟） 此时1号队员跑了：360×10=3600（米） 距离终点：5000-3600=1400（米） 答：l号队员距终点还有1400米． 7．600米 【详解】这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长．如果设通讯员从末尾到排头用了秒，那么通讯员从排头返回排尾用了秒，于是不难列方程．设通讯员从末尾赶到排头用了秒，依题意得解得，推知队伍长为（米）． 8．960千米 【分析】将此题可看作是追及问题．一架每分钟飞行8千米的飞机，飞行40分钟后，另一架每分钟飞行12千米的飞机，沿第一架飞机的飞行路线从后面赶来，两架飞机同时到达目的地． 【详解】路程差：8×40=320（千米） 追及时间：320÷（12－8）＝80（分钟），即第二架飞机的飞行时间． 则这段路程：12×80=960（千米） 答：机场与目的地相距960千米． 9．190秒 【分析】列车与货车从相遇到相离的路程差为两车车长，先求出列车速度和车长，在根据路程差÷速度差＝追及时间，可得列车与货车从相遇到相离所用时间，据此解答。 【详解】列车的速度是： （250－210）÷（25－23） ＝40÷2 ＝20（米/秒）， 列车的车身长：20×25－250＝250（米）。 列车与货车从相遇到相离所用时间为： （250＋320）÷（20－17） ＝570÷3 ＝190（秒）。 【点睛】本题考查了追及问题，灵活运用路程差÷速度差＝追击时间，这一公式。 10．900米 【详解】要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。 从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（180×2）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（90－60）米，那么，二人从家出走到相遇所用时间为180×2÷（90－60）＝12（分钟），家离学校的距离为 90×12－180＝900（米）。 答：家离学校有900米远。 11．5928米 【详解】甲、丙在C地相遇，此时乙在D地，10分钟后，乙、丙在E地相遇．甲在C地时，乙在D地，D、C这段距离是乙、丙10分钟内共同走的．距离为：10×（25+27）=520（米），即甲、丙相遇时，乙比甲少走520米．乙比甲少走520米，所需时间：520÷（30-25）=104（分钟），也是甲、丙的相遇时间，则A、B两镇间距离： （30+27）×104=57×104=5928（米） 答：两镇相距5928米． 12．16500米 【分析】从已知条件中唯一的时间量入手，明确甲、乙、丙之间的距离变化关系，逐步求解． 【详解】解：（60＋40）×15＝1500（米） 1500÷（50-40）=150（分） A、B之间的距离为：（60+50）×150＝16500（米）． 答：A、B两地的距离是16500米． 【点睛】此题实质上有着三个行程基本问题：两个相遇问题和一个追及问题．而且这三个问题之间有着相互的联系，甲和丙的相遇路程就是丙和乙的追及路程，丙和乙的追及时间就是甲和乙的相遇时间．利用这些关系层层推进即可解出答案． 13．72千米 【分析】先求出乙船逆水行驶2小时的路程，再由追及时间＝路程÷速度差求出甲船追上乙船的时间，再根据路程＝逆水速度×时间，求出甲船行驶的路程，就是乙船的离岗距离。 【详解】乙船出发2小时的路程： （12－3）×2 ＝9×2 ＝18（千米） 甲船追上乙船所用时间： 18÷（15－12） ＝18÷3 ＝6（小时） 乙船行驶总路程： （15－3）×6 ＝12×6 ＝72（千米） 答：当甲船追上乙船时，乙船离开A港72千米。 【点睛】本题考查追及问题，关键是理解并灵活运用公式：逆水船速＝静水船速－水速，追及时间＝路程÷速度差，路程＝速度×时间。 14．乌龟先到达终点，此时兔子还离终点100米 【详解】试题分析：（1）先求出乌龟跑40米需要多长时间，再求这些时间里兔子可以跑多少米，兔子跑的米数与路程的一半比较，看兔子能否到终点，求出谁先到达终点； （2）需要根据谁先到达终点进行求解： ①如果乌龟先到达终点，兔子离终点距离是半程减去醒来后跑得距离； ②如果兔子先到达终点，先求出兔子从醒来到达终点需要的时间，再求出这段时间里乌龟行的路程，然后用40米减去这个路程即可． 解答：解：（1）40÷10=4（分钟）； 100×4=400（米）； 1000÷2=500（米）； 400＜500，乌龟先到达． （2）500﹣400=100（米）； 答：乌龟先到达终点，此时兔子还离终点100米． 点评：本题考查了速度、路程、时间三者的关系，求解时需要找准这三者之间的对应关系，再根据基本的数量关系求解． 15．160千米 【详解】由已知可求出甲、乙两车的追及时间，利用追及问题的公式求解．追及时间为：(小时),追及路程为：(千米),、两地间的距离为：(千米) 16．42分钟 【详解】解法一：由题目可知小张、小李、小王都是以匀速前进，且无论相遇点之前和相遇点之后总行程都相等，所以我们应当使用“路程相同，速度比等于时间的反比”这条比例关系来解答本题． 首先，小张和小李的相遇前后的两个追及，相遇前的追及路程为小张行走一小时的路程，相遇后的追及路程为小张行走24分钟的路程，所以追及路程比为60：24=5：2，两人速度都不变，所以速度差也不变，所以追及时间比为5：2，所以小李前后行走的时间比也是5：2，即前后两段路程比为5：2． 其次，小王和小张的前后两个追及问题：由于前后路程比为5：2，所以小王的行走时间比为5：2，也即是追及时间比为5：2，速度都不变，所以追及路程比为5：2， 而前段追及路程是小张行走60+45=105分钟的路程，所以后段追及路程是小张行走105÷5×2=42（分钟）所行走的路程，即小王比小张早42分钟到达． 解法二：运用折线示意图，结合基本几何知识，整个行程过程和其中的数量关系即可一目了然，即： ，解得，t=42． 17．15米／秒 【详解】客车经过小美的身边，这一过程客车与小美的路程差是客车的车身长：130米，经过所需的时间是追及时间：10秒． 速度差：130÷10＝13（米／秒） 客车速度：2+13＝15（米／秒） 答：客车的速度为15米／秒． 18．192米 【详解】同学们分钟走（米），即路程差．然后根据速度差＝路程差÷追及时间，可以求出李老师和同学们的速度差，又知道同学们的速度是每分钟米，就可以得出李老师的速度．即（米）． 19．125米／分钟 【详解】（米） ＝400÷5 ＝8（分钟） （米/分钟）。 答：小强骑自行车的速度是125米/分钟。 20．780米 【分析】先画图如下： 若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟。而从A到D则用26分钟，因此，甲走C到D之间的路程时，所用时间应为：26－6＝20（分）。同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC加BD。即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为：50×（26＋6）＝1600（米）。所以，甲的速度为1600÷20＝80（米/分），再根据相遇问题：相遇路程＝速度和×相遇时间，可求出A、B间的距离。 【详解】先画图如下： 根据分析： 甲从C走到D所用时间：26－6＝20（分） 乙从C走到D所用时间：26＋6＝32（分） CD表示的路程为：50×（26＋6）＝1600（米） 甲的速度：1600÷20＝80（米/分） 相遇路程：（80＋50）×6＝780（米） 答：A、B两地的距离是780米。 【点睛】本题主要考查行程问题中的相遇与追及问题，准确找出对应路程，对应速度，对应时间是解题的关键。 21．9.5小时 【分析】根据路程＝速度×时间，先求出1.5小时之后两车相距的路程，再用减法求出两车的速度差，最后用相距的路程除以速度差，即可求出需要多少小时才能追上。 【详解】（88＋64）×1.5 ＝152×1.5 ＝228（千米） 228÷（88－64） ＝228÷24 ＝9.5（小时） 答：需要9.5小时才能追上。 【点睛】本题考查行程问题的计算及应用，先理解题意，再找出数量关系，列式计算即可。 22．252千米 【分析】此题为追及问题，追及时间＝路程÷速度差，要求追及时间，需要知道甲船开始出发时与乙船的距离和两船的速度差，两船距离是乙船顺水行驶2小时的路程，即（15＋3）×2＝36（千米），因为都是顺水行驶，速度差为18－15＝3（千米/小时），据此求出追及时间，再将甲船的顺水速度乘追及时间求出甲船行驶的路程，就是乙船离开A港的距离。 【详解】甲船追上乙船所用时间： （15＋3）×2÷（18－15） ＝18×2÷3 ＝36÷3 ＝12（小时） 乙船离开A港的距离： （18＋3）×12 ＝21×12 ＝252（千米） 答：甲船追上乙船时，乙离开A港252千米。 【点睛】本题考查流水行船中的追及问题，易错点是求乙船离开A港的距离不能直接用追及时间乘乙船的顺水速度求出，还需再加上乙船早出发2小时行驶的路程，或者用甲的顺水速度乘追及时间。关于流水行船问题： 顺水速度＝静水船速＋水速 逆水速度＝静水船速－水速 追及时间＝路程÷速度差 相遇时间＝路程÷速度和 23．24 【详解】画出反映交通灯红绿情况的 s t-图，可得出小糊涂的行车图像不与实线相交情况下速度最大可以是 0.5 千米／分钟，此时恰好经过第 6千米的红绿灯由红转绿的点，所以他到达太阳城最快需要 24分钟． 24．11小时 【分析】先求出乙船顺水开出2小时行驶的路程，再根据追及问题求出甲船追上乙船的时间。 【详解】（18＋4）×2÷（22－18） ＝22×2÷4 ＝11（小时） 答：甲开出11小时可追上乙。 【点睛】本题考查流水行船中的追及问题，关键是求出相距路程和速度差，关于追及问题： 顺水速度＝静水船速＋水速 逆水速度＝静水船速－水速 追及时间＝路程÷速度差 25．6分钟 【分析】根据“他们沿海向上游划行”知飞飞和爸爸在逆水划行，因此掉过头追帽子的过程是顺水划行，船的顺水速度＝船速＋水速，而帽子也在随水速移动，故此时追及速度＝船的顺水速度－水速，再根据时间＝路程÷速度，即可求解。 【详解】600÷（100＋30－30） ＝600÷100 ＝6（分钟） 答：父子俩追回太阳帽要6分钟。 【点睛】本题考查流水行船中的追及问题，解题关键是明确是逆水行船还是顺水行船，逆水船速＝船速－水速，顺水船速＝船速＋水速，追及时间＝路程差÷速度差。 26．25：18 【详解】根据题意可知，乙和丙的时间比为45：50 =9：10 ，即速度比为10：9．甲和乙的时间比为60：75 =4：5 ，即速度比为5：4，甲、乙和丙的速度比为  25：20：18．甲和丙的速度比为25：18 27．13米/分钟 【分析】当小新和风间相遇时，正南落后小新6×（20－16）＝24（米）。依题意知正南和风间走这24米需要7－6＝1（分钟），正南和风间的速度和为24÷1＝24（米／分），风间的速度为：24－16＝8（米/分），风间和小新相遇后又过了8－6＝2分钟，才与妮妮相遇，所以在8分钟中妮妮的行程为20×6－8×2＝104（米），根据速度＝路程÷时间，即可解答。 【详解】风间的速度： （20－16）×6÷（7－6）－16 ＝4×6÷1－16 ＝24÷1－16 ＝24－16 ＝8（米/分） 妮妮的速度： （20×6－8×2）÷8 ＝（120－16）÷8 ＝104÷8 ＝13（米/分） 答：妮妮的速度是13米/分。 【点睛】这是一个多重相遇和追及的问题，考查学生分析与理解能力。 28．能 【详解】追及时间： （65×16）÷（185﹣65） ＝1040÷120 ＝（分钟） 小巧在妈妈追上她时，一共走的路程： 65×16＋65× ＝1040＋563 ＝1603（米） 1603米＜1800米 所以妈妈能在小巧到达少年宫之前追上她。 答：妈妈能在小巧到达少年宫之前追上她。 29．680 【详解】根据题意可知，甲车走了1000×6=6000米 乙车走了800×8=6400米 长跑运动员的速度（6400-6000）÷2=200米/分 丙车速度（200×2+6400）÷10=680米/分 30．1小时 【详解】(小时)． 31．720千米 【详解】慢车先行的路程是：(千米)，快车每小时追上慢车的千米数是：(千米)，追及的时间是：(小时)，快车行至中点所行的路程是：(千米)，甲乙两地间的路程是：(千米)． 32．每小时28千米 【分析】因为三人从同一地点出发追赶小舟，因此他们与小舟的路程差是相等的 【详解】解：设小舟的速度为x米／分钟，36千米/小时=0．6千米／分钟，30千米／小时=0.5千米／分钟．甲与小舟的路程差：（0．6－x）×5．乙与小舟的路程差：（0．5－x）×8． （0．6-x）×5=（0．5-x）×8 三人与小舟的路程差为：（千米） 丙与小舟的速度差：（千米/分钟） 丙的速成度：（千米/分钟） 千米/分钟=（）千米/小时=28（千米/小时） 答：丙的速度是每小时28千米． 33．1500米 【分析】可以作为“追及问题”处理. 【详解】假设另有一人，比小张早10分钟出发.考虑小张以75米/分钟速度去追赶，追上所需时间是50×10÷（75-50）＝20（分钟）· 因此，小张走的距离是75×20＝1500（米）. 答：从家到公园的距离是1500米. 34．21分钟 【详解】已知二人出发分钟后，王芳返回学校取运动服，这样用去了分钟，在学校又耽误了分钟，王芳一共耽误了(分钟)．李华在这段时间比王芳多走：(米)，速度差为：(米/秒)，王芳追上李华的时间是：(分钟) 35．6小时；42小时 【分析】由甲、乙两船同时出发，知它们相遇时共同走完了336千米，且两船行驶时间相同，根据相遇时间＝路程÷速度和，可求出甲、乙两船的相遇时间；如果同向而行，则乙船追上甲船时多比甲船行驶了336千米，根据追及时间＝路程差÷速度差，可求出乙船追上甲船的时间。 【详解】336÷（24＋32） ＝336÷56 ＝6（小时） 336÷（32－24） ＝336÷8 ＝42（小时） 答：甲、乙两船相向而行，6小时相遇；如果同向而行，42小时后乙船追上甲船。 【点睛】本题考查简单的相遇与追及问题，理解并掌握相遇问题和追及问题中速度和（差）、时间和路程（差）之间的关系是解题关键。 36．7.5分钟 【分析】设爸爸x分钟后能追上小胖；爸爸每分钟200米，x分钟走200x米；小胖速度为80米/分，x分钟走80x米，再加上900米就是小胖走的路程，爸爸走的路程＝小胖走的路程，列方程：200x＝900＋80x，解方程，即可解答。 【详解】解：设爸爸x分钟后能追上小胖。 200x＝900＋80x 200x－80x＝900 120x＝900 x＝900÷120 x＝7.5 答：爸爸7.5分钟后能追上小胖。 37．200米 【分析】题目中包含有两个追及问题．第一个追及问题发生在从出发到甲追上乙，即两人第一次相遇，在这个过程中追及时间为8分钟，其他两个量都没有给出．在第二个追及问题中应注意到环形跑道的特殊性，即当两人同时出发到再次相遇，速度快的人比速度慢的人多走了一圈，因此路程差为400米，追及时间为（24-8）分钟．则速度差可求，再把这个速度差代回到第一个问题中，则可求出第一个追及问题中的路程差． 【详解】甲、乙的速度差：400÷（24-8）=25（米／分钟） 甲、乙开始时相距：25×8=200（米） 答：出发时乙在甲前200米． 【点睛】在环形跑道中的追及问题，路程差的计算不同于在直道上的追及问题，它是与跑道周长的倍数相关的，同一地点出发后的第一次相遇路程差是1倍的跑道周长，第二次相遇则为2倍的跑道周长． 38．15小时 【详解】设甲车现在的速度为每小时行单位“1”，那么乙车的速度为：（2×5-3×3）÷（5-3）=0.5 乙车原来与甲车的距离为：2×5-0.5×5＝7.5 所以甲车以现在的速度去追，追及的时间为：7.5÷（1-0.5）=15（小时） 39．8分 【详解】设车速为a，小光的速度为b，则小明骑车的速度为3b．根据追及问题“追及时间×速度差＝追及距离”，可列方程10（a－b）＝20（a－3b），解得a＝5b，即车速是小光速度的5倍．小光走10分相当于车行2分，由每隔10分有一辆车超过小光知，每隔8分发一辆车． 40．4000米 【分析】乙加速之前步行2小时的路程等于甲步行2.25小时的路程，得到甲、乙速度之比2︰2.25，乙的速度是甲的速度的1.125倍；加速之后乙加速之后步行3小时的路程等于甲步行3.75小时的路程，甲乙速度比为3︰3.75，乙的速度是甲的速度的1.25倍，由于乙加速后每小时多走500米，所以甲的速度为500÷（1.25－1.125），依此计算即可。 【详解】加速前甲乙的速度之比为2︰2.25＝8︰9，乙的速度是甲的速度的1.125倍； 加速后甲乙的速度比为3︰3.75＝4︰5，乙的速度是甲的速度的1.25倍， 甲的速度为500÷（1.25－1.125） ＝500÷0.125 ＝4000（米/时）， 答：甲每小时行4000米。 【点睛】先求出甲乙二人的速度比是解答此题的关键。 41．286米 【详解】本题属于追及问题，行人的速度为千米/时=米/秒，骑车人的速度为千米/时=米/秒．火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差．如果设火车的速度为米/秒，那么火车的车身长度可表示为或，由此不难列出方程．设这列火车的速度是米/秒，依题意列方程，得，解得．所以火车的车身长为（米）． 42．53.5分钟 【分析】此题中的追及问题发生在班长返回后，从学校出发追学生队伍，此时学生队伍已走出一段距离．这段距离即路程差．由路程=速度×时间，学生行走速度已知，学生先走的时间：9+9+18=36（分钟），因为以原速返回，则返回学校这段路程所用时间也是9分钟．可求路程差=80×36=2880（米）．由追及时间=路程差÷速度差，可知班长用2880÷（260-80）=16（分钟）追上学生队伍．那么全程可求，学生队伍走这段路所用的时间易知． 【详解】班长从学校出发时与学生队伍的距离：80×（9+9+18）=2880（米） 追上学生队伍所用的时间：2880÷（260-80）=16（分钟） 从学校到实习目的地全程：260×16+120=4280（米） 学生队伍行走所需时间：4280÷80=53.5（分钟） 答：学生走完全程需53.5分钟． 43．60米 【分析】设爸爸每步跑9份，那么儿子每步跑5份，求出他们的速度比。那么爸爸与儿子的速度比就是（2×9）∶（3×5）＝6∶5，不妨设爸爸的速度是6，儿子的速度是5，算出追及时间，然后用求出的追及时间乘上爸爸的速度即可。 【详解】解：设爸爸每步跑9份，那么儿子每步跑5份，那么爸爸与儿子的速度比就是（2×9）∶（3×5）＝6∶5。 设爸爸的速度是6，儿子的速度是5，追及时间为10÷（6－5）＝10，所以爸爸追上儿子至少要跑10×6＝60（米）。 答：爸爸至少60米才能追上儿子。 【点睛】此题解答的关键在于巧妙地设出未知数，根据路程、速度和时间的关系列式解答。 44．10点33分 【分析】由甲8点出发，乙8点45分出发，乙9点45分到达B地时，甲已经离开B地20分钟，可知甲到B地9点25分，可求出甲乙到达B地的时间比为85∶60，速度比为60∶85，根据追及问题的基本关系式：路程差÷速度差＝追及时间即可解答。 【详解】60×20÷（85－60） ＝1200÷25 ＝48（分） 9点45分＋48分＝10点33分 答：到达C地是10点33分。 【点睛】本题主要考查追及问题，根据甲乙二人到达B地所用时间比求出速度比是解答本题的关键。 45．50分钟 【分析】甲早出发30分钟，当乙出发时，甲已经走了米。乙每分钟走80米，乙每分钟追上甲米，那么经过分钟，乙会追上甲。 【详解】（米） （米） （分钟） 答：乙出发50分钟后追上了甲。 【点睛】本题考查追及问题，用两人的距离差除以速度差即可求出追及时间。 46．2小时 【详解】出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短15-10＝5（千米），即两人的速度的差（简称速度差），所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上.10÷（15-10）＝10÷5＝2（小时），还需要2个小时． 47．甲速:5米/秒 乙速:3米/秒 【分析】如果甲让乙先跑40米，然后甲出发追乙，这40米就是二人间的路程差，甲用20秒追上乙是追及时间，根据速度差=路程差÷追及时间，可求甲、乙二人的速度差，即40÷20=2(米/秒)．如果甲让乙先跑6秒，则甲需要9秒追上乙，这一过程中追及时间是9秒，由上一过程的结论可求路程差: 2X9=18(米)，这18米就是乙先跑6秒所跑过的路程，所以可求出乙的速度是18÷6=3(米/秒)，那么甲速可求． 【详解】甲、乙两人的速度差:40÷20=2(米/秒) 乙速:2×9÷6=3(米/秒) 甲速:3+2=5(米/秒)． 答:甲、乙二人的速度分别为5米/秒和3米/秒． 48．180千米 【分析】乙每小时行30千米乙车先出发2小时那就是多行60千米，两车同时到达B地，那么就是说在甲追上乙的那刻二者都到终点，甲每小时可以追到15千米，60千米只要4小时就可以追完；根据速度×时间＝路程，那么总路程就是45×4＝180千米，由此解答。 【详解】45×[30×2÷（45－30）] ＝45×[60÷15] ＝45×4 ＝180（千米） 答：A，B两地的距离是180千米。 【点睛】此题属于追及问题，根据追击的路程÷速度差＝追击的时间，再根据路程、速度、时间三者之间的关系列式解答即可。 学科网（北京）股份有限公司 $$