精品解析：湖北省华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题

华中师大一附中2024-2025学年度上学期期中检测 高二数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：严贤灿 刘晓华 审题人：张丹 曹宗庆 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．） 1. 在长方体中，运算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量对应线段的位置关系，结合向量加减法的几何意义求结果. 【详解】如下图示，. 故选：C 2. 已知圆，若圆C关于直线对称，则的最小值为（ ） A. 8 B. 1 C. 16 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意直线过圆心，进而有，应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】由题意，直线过圆心，则，且， 所以， 当且仅当时取等号，故的最小值为8. 故选：A 3. 已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点，利用题设条件得出利用点差法得到 ，代入结论整理得直线的斜率，即可求出直线的方程. 【详解】设点，因点为线段的中点，则（*） 又在椭圆上，则 ①， ② ， 由，可得， 将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为， 故直线的方程为：，即. 故选：B. 4. 如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，，利用空间向量数量积的运算律及夹角公式求，即可得答案. 【详解】由，，而且， 则 ， 显然，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 5. 已知圆与圆，若圆与圆恰有三条公切线，则实数t的值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】由两圆恰有三条公切线判断两圆外切，再由即可求得t的值. 【详解】由圆与圆恰有三条公切线，可知圆与圆外切. 由配方得：，知圆心半径； 由配方得：，知圆心半径. 由，可得，解得. 故选：B. 6. 已知椭圆，M为椭圆C上的一点，则点M到直线距离最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，与平行且与椭圆相切的直线，其中存在切点到直线的距离最小，再设切线联立椭圆求切线即可. 【详解】由题意，与平行且与椭圆相切的直线，其中存在切点到直线的距离最小， 令切线为，联立椭圆方程有，整理得， 所以，则， 对于，其切点到的距离为， 对于，其切点到的距离为， 显然点M到直线距离最小值为. 故选：C 7. 已知分别是椭圆的左、右焦点和上顶点，连接并延长交椭圆C于点P，若为等腰三角形，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】若，根据椭圆的定义有、，应用余弦定理及得到椭圆参数的齐次方程，即可求离心率. 【详解】由为等腰三角形，则有，而， 又，，若，则，， 所以， 在中， 在中， ，即，整理得，则. 故选：D 8. 设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（ ） A. 2组 B. 3组 C. 4组 D. 5组 【答案】B 【解析】 【分析】写出对应直线的方向向量，讨论直线垂直求参数a，再根据所得参数值研究直线的位置情况，即可得答案. 【详解】由题设，的方向向量分别为，，， 若，则， 此时，，，它们交于一点，不符； 若，则或或， 当时，，，，满足题设； 当时，，，，满足题设； 当时，，重合，不符； 若，则或， 当时，，，，满足题设； 当时，同上分析，不符. 综上，、、时满足要求，故有3组. 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知圆，直线，下列说法正确的是（ ） A. 当或时，圆O上没有点到直线l的距离等于1 B. 当时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1 C. 当时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1 D. 当时，圆O上恰有四个点到直线l的距离等于1 【答案】CD 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，根据选项中参数的范围求得的范围，结合图形，即可一一判断. 【详解】 由题设条件，圆的半径为2，圆心到直线的距离为. 对于A，当或时, ，则，当时， 由图1知，圆O上有一点到直线l的距离等于1，故A错误； 对于B，D，当时，，由图2知，圆O上恰有四个点到直线l的距离等于1，故B错误，D正确； 对于C，当时，，由图3知，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1，故C正确. 故选：CD. 10. 将圆上任意一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到椭圆C，若该椭圆的两个焦点分别为，长轴两端点分别为A，B，则（ ） A. 椭圆的标准方程为 B. 若点M是椭圆C上任意一点（与A，B不重合），P在的延长线上，MN是的角平分线，过作垂直MN于点Q，则线段OQ长为定值4 C. 椭圆上恰有四个点M，使得 D. 若点M是椭圆C上任意一点（与A，B不重合），则内切圆半径的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A若椭圆上点为，则在上代入即可得椭圆方程，B假设是直线与交点，易得为线段的中点，且，结合椭圆定义及中位线性质求；C由为椭圆上下顶点时最大，应用余弦定理求其最大值判断；D利用等面积法列方程求半径. 【详解】若椭圆上点为，则在上，故，所以椭圆，A错； 假设是直线与交点， 因为MN是的角平分线，过作垂直MN于点Q， 所以为线段的中点，且， 而是的中点，故中为中位线， 故为定值，B对； 当为椭圆上下顶点时最大，此时， 又，故， 结合椭圆的对称性，椭圆上恰有四个点M，使得，C对； 若内切圆半径为， 则， 所以，要使最大，只需最大，为， 所以最大，D对. 故选：BCD 11. 如图，正方体透明容器的棱长为分别为的中点，点是棱上任意一点，下列说法正确的是（ ） A. B. 向量在向量上的投影向量为 C. 将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为 D. 向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个 【答案】C 【解析】 【分析】对A：根据正方体易知，利用线面垂直的判断、性质定理可得，又，故与不垂直；对B：若是交点，连接，则所成角，即为所成角，余弦定理求夹角余弦值，进而求向量在向量上的投影向量；对C：令放在桌面上的顶点为，根据正方体的结构特征，要使容器内水的面积最大，即垂直于的平面截正方体的截面积最大，并确定最大截面的形状，求其面积即可；对D：通过直观想象，有第一层小球为个，第二层小球为，且奇数层均为个，偶数层均为，结合上下两层相邻5球的球心构成几何体为正四棱锥并求高，再确定层数，最后求小球个数. 【详解】对A：由正方体性质知：，， 且、面， 所以面，又面，则， 由，故与不垂直，故A错误； 对B：由题意且，若是交点，连接， 所以， 故为平行四边形，则，， 所以所成角，即为所成角， 由题设，易知， 在中， 即夹角为，所以夹角为， 故向量在向量上的投影向量为： ，故B错误； 对C：令放在桌面上的顶点为， 若桌面时正方体的各棱所在的直线与桌面所成的角都相等， 此时要使容器内水的面积最大，即垂直于的平面截正方体的截面积最大， 根据正方体的对称性，仅当截面过中点时截面积最大， 此时，截面是边长为的正六边形， 故最大面积为，故C正确； 对D：由题意，第一层小球为个，第二层小球为， 且奇数层均为个，偶数层均为， 而第一层与第二层中任意四个相邻球的球心构成一个棱长为1的正四棱锥，故高为， 假设共有n层小球，则总高度为，且为正整数， 令，则，而，故小球总共有10层， 由上，相邻的两层小球共有个， 所以正方体一共可以放个小球，故D错误. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：D选项中，注意分析各层小球最多可放入的个数，结合两层相邻的5个球的球心所成几何体的高，结合正方体棱长求总层数为关键. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 对于任意实数，的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据目标式的几何意义是空间任意点到定点距离的和，判断距离和最小时的位置，即可得答案. 【详解】由目标式的几何意义为空间任意点到定点距离的和， 要使它们的距离和最小，只需在线段上，此时最小值为. 故答案为： 13. 已知正方形ABCD中心的坐标为，若直线AB的方程为，则与AB边垂直的两条边所在的直线方程为________________． 【答案】和 【解析】 【分析】依题意，设出与AB边垂直的两条边所在的直线的方程，利用正方形的性质，建立等式，求解即得. 【详解】由,可得，则与AB边垂直的两条边所在的直线的斜率为， 其方程可设为：，即. 由正方形的性质，可知点到直线的距离等于它到直线的距离， 故有，解得或， 故与AB边垂直的两条边所在的直线方程为和. 故答案为：和. 14. 已知点P是椭圆上一动点，过点P作的切线PA、PB，切点分别为A、B，当最小时，线段AB的长度为________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合四边形的面积分析可知当且仅当点P为左顶点时，取到最小值，进而可得线段AB的长度. 【详解】由椭圆方程可知：， 圆的圆心为（也为椭圆的左焦点），半径， 因为，可知四边形的面积， 当最小时，即为四边形的面积最小， 又因为， 可知当取到最小值时，四边形的面积最小，即最小， 且点P是椭圆上一动点， 由椭圆性质可知：当且仅当点P为左顶点时，取到最小值， 此时，由对称性可知：， 即，为等边三角形，则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． （1）求点B的坐标； （2）若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，分析可知的中点在直线上，运算即可； （2）求关于直线的对称点为，进而可求反射光线所在的直线方程. 【小问1详解】 由题意可设点， 因为，则的中点在直线上， 可得，解得， 所以点B的坐标为. 【小问2详解】 设关于直线的对称点为， 则，解得，即 所以反射光线所在的直线方程为，可得. 16. 已知圆和，，． （1）求过点且与圆M相切的直线方程； （2）试求直线上是否存在点P，使得？若存在，求点P的个数，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或 （2）存在, 点有两个 【解析】 【分析】（1）结合图形，将过点且与圆M相切的直线分成斜率不存在和存在两类情况，在斜率存在时，由圆心到直线的距离等于半径即可求得直线斜率，即得切线方程. （2）法一：先求出直线的方程，设出点，利用向量数量积的坐标公式计算即得关于的方程，通过判断方程根的个数即可判断点的个数；法二：先求出直线的方程，设点，根据求出点的轨迹方程为：，从而将问题转化为直线与圆的位置关系，由圆心到直线的距离与半径比较即得. 【小问1详解】 由，可得， 如图1，因过点且斜率不存在的直线恰与圆相切，故有一条切线方程为； 设另一条切线方程为：，即， 由圆心到直线的距离，解得， 故另一条切线方程为：. 综上，过点且与圆M相切的直线方程为或； 【小问2详解】 解法一：如图2，因，，，故,则直线的方程为：， 设在直线AC上存在点，满足， 则有，即， 因，方程有两个不等根， 即在直线AC上存在两个点，满足. 故符合题意的点有两个. 解法二：设在直线上存在点，其坐标为， 因，，，故,则直线的方程为：. 由，可得，化简得：， 即，故点的轨迹是以为圆心，半径为的圆（如图3）， 故要判断点的个数，只需判断直线与圆的位置关系即可. 因圆心到直线的距离为， 可知直线与圆相交，即满足题意的点有两个. 17. 如图，直三棱柱的体积为1，的面积为． （1）求点A到平面的距离； （2）设D为的中点，，平面⊥平面，求二面角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）可得三棱锥的体积为，由等体积法运算即可得解； （2）由垂直关系可得平面，求相应长度，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解. 【小问1详解】 因为直三棱柱的体积为1，则三棱锥的体积为， 设点A到平面的距离为，则， 即，解得， 所以点A到平面的距离为. 【小问2详解】 过作，垂足为， 又平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 在直三棱柱中，平面， 由平面，平面，可得，， 又因为平面且相交，所以平面， 所以两两垂直， 设，则， 由的面积可得， 即，解得， 即，， 又因为的面积为，解得， 以B为原点，建立空间直角坐标系，如图， 则， 则，， 设平面的一个法向量，则， 令，则，可得， 设平面的一个法向量，则， 令，则可得， 则， 设二面角为，则，可得 所以二面角的正弦值为. 18. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸： 步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为A； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P． 现取半径为8的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为，按上述方法折纸．以线段FE的中点为原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程： （2）若点Q为曲线C上的一点，过点Q作曲线C的切线交圆于不同的两点M，N． （ⅰ）试探求点Q到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）是定值，定值为4；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题意分析可知，结合椭圆定义即可得方程； （2）①联立方程，结合相切关系可得和点Q的坐标，进而可得，进而可得结果；②根据垂径定理求面积，结合分析最值即可. 【小问1详解】 由题意可知：， 则， 可知动点P的轨迹是以为焦点的椭圆，且， 所以曲线C的方程为. 【小问2详解】 ①联立方程，消去y可得， 因为直线与曲线C相切，则， 整理可得，则原方程为，解得， 将代入直线，可得， 可知，且， 则，为定值； ②由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为到直线的距离， 可得， 因为，则， 可得， 则面积， 可知当，即时，取到最大值. 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法 （1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解． （2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值)． 19. 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上． （1）求椭圆M的方程； （2）过x轴上的一定点作两条直线，，其中与椭圆M交于A、B两点，与椭圆M交于C、D两点，（A，C在x轴上方，B，D在x轴下方），如图所示． （ⅰ）已知，直线QA斜率为，直线QC斜率为，且，求证：直线AC过定点； （ⅱ）若直线，相互垂直，试求的取值范围． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）证明：由题意，令，，且，且均不为2， 联立，则， 且，所以， 则，， 由， 所以，则， 所以，故或， 当时，，此时过定点； 当时，，此时过定点，不合题意； 综上，直线过定点，得证. （ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）根据离心率、所过的点求椭圆参数，即可得椭圆方程； （2）（ⅰ）令，，且，且均不为2，联立椭圆方程，应用韦达定理得，，结合得到关于的方程，可得的关系，即可证； （ⅱ）利用向量数量积的运算律得，令，，则，且，联立椭圆方程并结合韦达定理、向量数量积的坐标表示得到关于参数t的方程，即可求范围. 【小问1详解】 由题设，可得，故椭圆方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由，，又直线，相互垂直， 即， 所以 ， 若， 则， 所以， 令，则，且， 联立，可得，显然， 则，，同理，， 所以，， ，， 所以 ， 令，则， 所以， 综上， 【点睛】关键点点睛：第二问的二小问，注意应用数量积运算律得到，设，则，且，综合应用韦达定理、数量积的坐标表示得到关于参数t的方程是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华中师大一附中2024-2025学年度上学期期中检测 高二数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：严贤灿 刘晓华 审题人：张丹 曹宗庆 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．） 1. 在长方体中，运算的结果为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆，若圆C关于直线对称，则的最小值为（ ） A. 8 B. 1 C. 16 D. 3. 已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆与圆，若圆与圆恰有三条公切线，则实数t的值为（ ） A. B. C. D. 0 6. 已知椭圆，M为椭圆C上的一点，则点M到直线距离最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 7. 已知分别是椭圆的左、右焦点和上顶点，连接并延长交椭圆C于点P，若为等腰三角形，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（ ） A. 2组 B. 3组 C. 4组 D. 5组 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知圆，直线，下列说法正确的是（ ） A. 当或时，圆O上没有点到直线l的距离等于1 B. 当时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1 C. 当时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1 D. 当时，圆O上恰有四个点到直线l的距离等于1 10. 将圆上任意一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到椭圆C，若该椭圆的两个焦点分别为，长轴两端点分别为A，B，则（ ） A. 椭圆的标准方程为 B. 若点M是椭圆C上任意一点（与A，B不重合），P在的延长线上，MN是的角平分线，过作垂直MN于点Q，则线段OQ长为定值4 C. 椭圆上恰有四个点M，使得 D. 若点M是椭圆C上任意一点（与A，B不重合），则内切圆半径的最大值为 11. 如图，正方体透明容器的棱长为分别为的中点，点是棱上任意一点，下列说法正确的是（ ） A. B. 向量在向量上的投影向量为 C. 将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为 D. 向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 对于任意实数，的最小值为______． 13. 已知正方形ABCD中心的坐标为，若直线AB的方程为，则与AB边垂直的两条边所在的直线方程为________________． 14. 已知点P是椭圆上一动点，过点P作的切线PA、PB，切点分别为A、B，当最小时，线段AB的长度为________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． （1）求点B的坐标； （2）若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 16. 已知圆和，，． （1）求过点且与圆M相切的直线方程； （2）试求直线上是否存在点P，使得？若存在，求点P的个数，若不存在，请说明理由． 17. 如图，直三棱柱的体积为1，的面积为． （1）求点A到平面的距离； （2）设D为的中点，，平面⊥平面，求二面角的正弦值． 18. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸： 步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为A； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P． 现取半径为8的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为，按上述方法折纸．以线段FE的中点为原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程： （2）若点Q为曲线C上的一点，过点Q作曲线C的切线交圆于不同的两点M，N． （ⅰ）试探求点Q到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由； （ⅱ）求面积的最大值． 19. 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上． （1）求椭圆M的方程； （2）过x轴上的一定点作两条直线，，其中与椭圆M交于A、B两点，与椭圆M交于C、D两点，（A，C在x轴上方，B，D在x轴下方），如图所示． （ⅰ）已知，直线QA斜率为，直线QC斜率为，且，求证：直线AC过定点； （ⅱ）若直线，相互垂直，试求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $