精品解析：江西省南昌市第十九中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

南昌十九中2024-2025学年上学期期中考试 高一数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得集合,再根据交集定义求解． 【详解】，又， 所以， 故选：B． 2. 《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分性和必要性的概念，结合文中含义判断即可. 【详解】由文中意思可知，若“天将降大任于斯人也”，则必须“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，反之未必， 所以“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的必要不充分条件， 故选：B 3. 标准对数视力表采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表由14行开口方向各异的正方形“E”形视标所组成，从上到下分别对应视力，且从第一行开始往下，每一行“E”形视标边长都是下一行“E”形视标边长的倍，若视力4.1的视标边长为a，则视力4.9的视标边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知视标边长从上到下是以为公比的等比数列，记视力的视标边长为，则视力4.9的视标边长为，从而可得出答案. 【详解】解：根据题意可知视标边长从上到下是以为公比的等比数列， 记视力的视标边长为， 则视力4.9的视标边长为. 故选：D. 4. 已知，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意函数的定义域即可. 【详解】令， 由， 则，即. 故选：C. 5. 如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为当水流出所用时间为t时，鱼缸水深为h，则函数的图象大致是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据时间和h的对应关系分别进行排除即可． 【详解】函数是关于t的减函数，故排除C，D， 则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B， 故选B． 【点睛】本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键． 6. 存在，使得不等式能成立，则的最小值等于（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可将化为，利用基本不等式即可得到答案． 【详解】因为，所以， 所以， 又，当且仅当，即时取等号， 因为存在，使得不等式能成立， 所以. 所以的最小值等于. 故选：B. 7. 已知定义在上的函数满足，对任意的，且恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】变形给定不等式可得，构造函数可得 单调性，再利用单调性求解不等式. 【详解】由，且，不妨设，即， 得， 即，则，即， 令，即，因此在上单调递减， 不等式中，，则有，又， 于是，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D 8. 定义在R上的函数的图象关于点对称，且满足，，当时，都有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图象关于点对称可得到，进而求得，，反复利用，适当赋值，再结合条件当时，都有即可求解. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以，令，则，又，所以， 由， 令，则， 令，则， 令，则， 令，则， 令，则， 由函数的定义域与对称中心可得， 由， 令，则， 令，则， 令，则， 令，则， 因为当时，都有， 而， 则，， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用，结合赋值法，采用两边夹逼的方法，求出结果. 二、多选题 9. 已知函数，则（ ） A. 的定义域是 B. 在上单调递减 C. 是奇函数 D. 的值域是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，求出函数的定义域判断；对B，由反比例函数单调性判断；对C，求出的解析式判断；对D，由函数解析式求值域判断. 【详解】对于A，由，得，所以的定义域为，故A正确； 对于B，因为可以看成是函数向右平移1个单位得到， 所以在和上单调递减，故B错误； 对于C，因为，所以是奇函数，故C正确； 对于D，因为，所以的值域为，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则（ ） A. B. 的最小值为0 C. 的定义域为 D. 的值域为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用配凑法求出函数的解析式，再逐项判断即得答案. 【详解】由，而， 所以，故A错误； 当时，，因此的最小值为0，故B正确； 在函数中，，即， 所以函数的定义域为，故C正确； ，由，即， 所以，所以的值域为，故D错误. 故选：BC. 11. 已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 若，则x的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】用赋值法先令求得，再令即可求得判断A；然后令可判断奇偶性判断B；任取，则，由可得单调性判断C；利用奇偶性与单调性解不等式判断D. 【详解】对于A，在中， 令得，因此， 再令得，则，故A错； 对于B，令得， 所以，是偶函数，故B正确； 对于C，设，则，， 所以，在上是增函数， 从而，故C正确； 对于D，是偶函数，则，又在上是增函数，所以，解得且，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 12. 已知函数的对应关系如下表： 1 3 5 1 5 1 1 3 5 5 3 1 则满足的的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中条件，求出，，，，，，比较大小，即可得出结果. 【详解】由题意，，，，，， 则，， ，，， 所以，，， 因此，满足的的值为. 故答案为： 13. 如图所示，为迎接国庆节，某花卉基地计划在三块完全相同的矩形花卉四周阴影部分铺设宽度相同的观赏通道已知三块花卉的面积均为平方米．若矩形花卉的长比宽至少多米，则花卉宽的取值范围为_____________________. 【答案】 【解析】 【分析】设草坪的宽为米，则长为米，由长比宽至少多米，则，即可求得花卉宽的取值范围. 【详解】设矩形花卉的宽为米， 因为三块花卉的面积均为平方米，则长为米， 又矩形花卉的长比宽至少多米，所以， 即，即， 解得， 所以花卉宽的取值范围是. 故答案为：. 14. 定义在R上的偶函数满足：对任意的有，则满足的x取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，可得函数在上单调递减，再利用单调性及偶函数性质求解即得. 【详解】函数对任意的有， 则函数在上单调递减，而是R上的偶函数，则在上单调递增， 所以不等式，于是，解得， 所以所求的x取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15. （1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 【答案】（1）；（2）①7；② 【解析】 【分析】（1）利用分数指数幂和根式的运算性质求解； （2）利用平方关系求解. 【详解】（1）原式； （2）①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； 【答案】（1）， （2）函数在上为减函数；证明如下： 任意且， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上为减函数. 【解析】 【分析】（1）根据函数为奇函数，得到，求出，结合，求出，得到函数解析式； （2）定义法求解函数单调性步骤，取值，作差，变形判号，下结论. 【小问1详解】 函数是定义在上的奇函数，， 解得， ∴，而，解得， ∴，. 【小问2详解】 略 17. 数学中有一种推理的方法叫“类比推理”，类比推理是根据两个对象有部分属性相同，从而推出其它属性也相同的推理.这是一种特殊到特殊的推理，推理的结果不一定正确，需要证明方可使用.比如：我们可以通过对二元二次不等式：的不同理解，推理出不同的结果： ①如果我们把不等式的右边看成的两个齐次式，那我们可以推理出二元三次不等式： ②如果我们把不等式的右边看成数字2与ab相乘，那我们可以推理出三元三次不等式： （1）请结合上文中①的推理结果，证明②中的“三元三次不等式”：． （2）已知函数． ①解不等式； ②利用（1）的结论，对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：当时， ，当且仅当时等号成立， 得证①的推理结果， 同理有，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 三式相加可得 ， 又，，， 所以， 得，当且仅当时等号成立. （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先证明，，，再将三式相加结合基本不等式即可证明； （2）①移项通分化为整式不等式，解高次不等式即可得出答案；②由三元不等式求出在上的最小值，可以将题意转为在上恒成立，解不等式即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①，由得，即， 得， 则有，解得或或， 所以不等式解集为. ②因为当时，，当且仅当，即时等号成立， 所以当时，， 对任意恒成立，则， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 18. 已知函数的定义域为，对任意且，都满足. （1）求; （2）判断的奇偶性; （3）若当时，，且，求不等式的解集. 【答案】（1）0；0 （2）偶函数 （3）. 【解析】 【分析】（1）利用赋值法计算可得； （2）对任意非零实数，，令，即可得到，再令，即可得解； （3）首先说明在区间上单调递增，再得到，则不等式转化为，再结合单调性与奇偶性转化为自变量的不等式，解得即可. 【小问1详解】 因为对任意且，都满足， 令，得，， 令，得， . 【小问2详解】 对任意非零实数，，令， 可得. 在上式中，令，得， 即对任意非零实数，都有， 是偶函数. 【小问3详解】 对任意且，有， 由（2）知， 在区间上单调递增. ， ， 是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增， 原不等式转化为， 解得或或， 原不等式的解集为. 19. 已知函数为上的奇函数，且. （1）求实数a，b的值； （2）求函数的单调区间； （3）求函数（其中）的值域. 【答案】（1） （2）递减区间为，递增区间为，. （3）①当时，的值域为； ②当时，的值域为； ③当时，的值域为； ④当时，的值域为. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合和，即可求解； （2）由（1）知，结合函数单调性的判定方法和函数的奇偶性的性质，即可求解； （3）由（2）中函数的单调性，求得，令，转化为函数，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 由函数为上的奇函数，则有，解得， 又由，可得，解得， 此时，故，确为奇函数，故. 【小问2详解】 由（1）知，函数， 因为函数为上的奇函数，先求函数在区间的单调区间， 令， 有 ， ①当时，， 所以，即，所以函数在上单调递减； ②当时，， 所以，即，所以函数在上单调递增， 因为函数为上的奇函数， 所以函数的递减区间为，递增区间为，. 【小问3详解】 由，，，， 及函数的减区间为，递增区间为，. 可知，当时，， 令，有， ①当时，即时，， 此时函数的值域为； ②当时，即时，，，此时函数的值域为； ③当时，即时，，，此时函数的值域为； ④当时，即时，， 此时函数的值域为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌十九中2024-2025学年上学期期中考试 高一数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 标准对数视力表采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表由14行开口方向各异的正方形“E”形视标所组成，从上到下分别对应视力，且从第一行开始往下，每一行“E”形视标边长都是下一行“E”形视标边长的倍，若视力4.1的视标边长为a，则视力4.9的视标边长为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为当水流出所用时间为t时，鱼缸水深为h，则函数的图象大致是　　 A. B. C. D. 6. 存在，使得不等式能成立，则的最小值等于（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 7. 已知定义在上的函数满足，对任意的，且恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在R上的函数的图象关于点对称，且满足，，当时，都有，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知函数，则（ ） A. 的定义域是 B. 在上单调递减 C. 是奇函数 D. 的值域是 10. 已知函数，则（ ） A. B. 的最小值为0 C. 的定义域为 D. 的值域为 11. 已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 若，则x的取值范围为 三、填空题 12. 已知函数的对应关系如下表： 1 3 5 1 5 1 1 3 5 5 3 1 则满足的的值为_____． 13. 如图所示，为迎接国庆节，某花卉基地计划在三块完全相同的矩形花卉四周阴影部分铺设宽度相同的观赏通道已知三块花卉的面积均为平方米．若矩形花卉的长比宽至少多米，则花卉宽的取值范围为_____________________. 14. 定义在R上的偶函数满足：对任意的有，则满足的x取值范围是______. 四、解答题 15. （1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； 17. 数学中有一种推理的方法叫“类比推理”，类比推理是根据两个对象有部分属性相同，从而推出其它属性也相同的推理.这是一种特殊到特殊的推理，推理的结果不一定正确，需要证明方可使用.比如：我们可以通过对二元二次不等式：的不同理解，推理出不同的结果： ①如果我们把不等式的右边看成的两个齐次式，那我们可以推理出二元三次不等式： ②如果我们把不等式的右边看成数字2与ab相乘，那我们可以推理出三元三次不等式： （1）请结合上文中①的推理结果，证明②中的“三元三次不等式”：． （2）已知函数． ①解不等式； ②利用（1）的结论，对任意恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数的定义域为，对任意且，都满足. （1）求; （2）判断的奇偶性; （3）若当时，，且，求不等式的解集. 19. 已知函数为上的奇函数，且. （1）求实数a，b的值； （2）求函数的单调区间； （3）求函数（其中）的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $